2021年九年级中考复习数学考点训练——几何专题：《四边形综合》(四)及答案

1、备战2021年九年级中考复习数学考点训练几何专题：四边形综合（四）1已知四边形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB4，BC3（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作PCQD，请问对角线PQ，DC能否互相垂直，为什么？（2）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？（3）如图1，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由（4）如图2，若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DEnPD（n为常数），再以PE、PC为边作PCQE，请探究对角线

2、PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出这个最小值；如果不存在，请说明理由2如图1，菱形ABCD中，ABC120°，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PAPE，PE交CD于F，连接CE（1）证明：ADPCDP；（2）判断CEP的形状，并说明理由；（3）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，直接写出线段AP与线段CE的数量关系3四边形ABCD中，点E是AB的中点，F是AD边上的动点连结DE、CF（1）若四边形ABCD是矩形，AD12，CD10，如图（1）请直接写出AE的长度；当DECF时，试求出CF长度（2）如图（2），若四边形ABCD是平行四边形，

3、DE与CF相交于点P探究：当B与EPC满足什么关系时，成立？并证明你的结论4如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变（1）计算：O1D ，O2F （2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2 （3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）5如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的

4、一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC边于点G，连接DF，DG（1）依题意补全图形，并证明FDGCDG；（2）过点E作EMDE于点E，交DG的延长线于点M，连接BM直接写出图中和DE相等的线段；用等式表示线段AE，BM的数量关系，并证明6如图，在平面直角坐标系中，ABOC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b+18；一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点C出发在线段CO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动设运动时

5、间为t（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当t为何值时，四边形APQO是矩形？并求出此时P，Q两点坐标；（3）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并判断其是否可以成为菱形？7如图2，将（1）中的条件改为：在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在l上，并且有BDAAECBAC，其中为任意锐角或钝角请问结论DEBD+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）如图3，过ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点8如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90°，点D是BC的中点作正方形D

6、EFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG（1）请写出线段BG和AE的位置关系及数量关系；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度（0°90°）时（图），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（3）若BCDE4，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度（0360°）过程中，当AE为最大值时，请直接写出AF的值9如图，在长方形ABCD中，AB8cm，BC6cm，点E是CD边上的一点，且DE2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿ABCE运动，最终到达点E设点P运动的时间为t秒（1）请以A点为原点，AB所在直线为

7、x轴，1cm为单位长度，建立一个平面直角坐标系，并用t表示出点P在不同线段上的坐标（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P点使APE的面积等于20cm2时，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由10同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法【问题提出】如图，在正方形ABCD中，MAN45°，点M、N分别在边BC、CD上求证：MNBM+DN证明思路如下：第一步：如图，将ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上第二步：证明A

8、EMANM请你按照证明思路写出完整的证明过程【初步思考】如图，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到DCG和BCE下列关于这两个三角形的结论：周长相等； 面积相等； CBECDG其中所有正确结论的序号是 【深入研究】如图，分别以ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL若ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为 参考答案1解：（1）当对角线PQ，DC互相垂直，则PCQD是菱形，故PDPC，当PDPC时，此时APBC3，ADBP1，即当APBC3，ADBP1时，对角线PQ，DC互相垂直；（2）过点D作DEBC于点E，梯形ABCD，ADBC，A

9、BBC四边形ABED是矩形，DEAB4，BEAD1，CEBCBE2，DC2，四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，设PBx，则AP4x，在RtDPC中，PD2+PC2DC2，即x2+32+（4x）2+1（2）2，化简得x24x+30，（4）24×1×340，解得：x11，x23，即对角线PQ与DC可能相等，此时AP1或3；（3）如图2，作QHBC，交BC的延长线于H，APQHQP，APD+DPQPQC+CQH，PDQC，DPQCQP，APDCQH，在ADP和HCQ中，ADPHCQ（AAS），ADCH1，BHBC+CH3+24，当PQAB

10、时，PQ的长最小，即为4（4）如图3，作QHBC，交BC的延长线于H，ABQH，APD+DPQPQC+CQH以PE，PC 为边作PCQE，PECQ，DPQPQC，APDCQH，RtADPRtQHC，即，DEnPD，AD1，HCn+1，BC3，BH3+n+1n+4由图知，当PQAB时，PQ的长最小值为n+4，2解：（1）在菱形ABCD中，ADCD，ADPCDP，在ABP和CBP中，ADPCDP（SAS），（2）由（1）得：ADPCDPPAPC，DAPDCP，PAPE，PCPE，DAPE，DCPE，CFPEFD，CPFCDFABCADC120°，CPFEDF180°ADC60&

11、#176;，CPE是等边三角形，（3）CE，证明如下：如前同理可证：PCPE，EPCCDE，在正方形ABCD中，ADC90°，EPCCDE90°，CPE是等腰直角三角形三角形，CE3解：（1）四边形ABCD是矩形，ADBC，ABCD，AADC90°AD12，CD10，BC12，AB10点E是AB的中点，AEAB5DECF，DPCDPF90°，DFC+DCF90°，DFC+FDP90°，DCFFDPAADC，CFDDEA，在RtAED中，由勾股定理，得ED13，CF答：CF的长度为；（2）当B+EPC180°时，成立证明：四边

12、形ABCD是平行四边形，BADC，ADBC，B+A180°，B+EPC180°，AEPCFPD，FDPEDA，DFPDEA，BADC，B+EPC180°，EPC+DPC180°，CPDCDF，PCDDCF，CPDCDF，即当B+EPC180°时，成立4解：（1）O1D2×÷22；O2F×÷21故答案为：2，1；（2）点D、F重合时有一个公共点，O1O22+13故答案为：3；（3）两个正方形的边长有两个公共点时，1O1O23；无数个公共点时，O1O21；1个公共点时，O1O23；无公共点时，O1O23或0O

13、1O215解：（1）依题意补全图形如图1，证明：四边形ABCD是正方形，DADC，AC90°，点A关于直线DE的对称点为F，ADEFDE，DADFDC，DFEA90°，DFG90°，在RtDFG和RtDCG中，RtDFGRtDCG（HL），FDGCDG；（2）DEEMADEFDE，FDGCDG，EDGADC45°，EMDE，MED90°，EMDEDM45°，DEEM；BMAE证明如下：如图2，过点M作MNAB交AB的延长线于点N，连接BM，AED+NEM90°，AED+ADE90°，NEMADE，又EADMNE90

14、°，DEEM，DAEENM（AAS），AEMN，ADEN，ADAB，ABENAE+BEBE+BN，AEBNMN，BNM是等腰直角三角形，BMMNAE6解：（1）由题意得，a21，b18，B点坐标为（21，12），点C的坐标为（18，0）；（2）由题意得：AP2t，QO18t，AOC90°，当APQO时，四边形APQO是矩形，2t18t，解得：t6，当t6时，四边形APQO是矩形，此时，P点的坐标为（12，12），Q点的坐标为（12，0）；（3）由题意得：212tt，解得：t7，当t7时，四边形PQCB是平行四边形，过点B作BEx轴于点E，则BE12，CE3，BCCQ，平行四

15、边形PQCB不是菱形7（1）证明：BD直线l，CE直线l，BDACEA90°，BAC90°，BAD+CAE90°，BAD+ABD90°，CAEABD；在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AEBD，ADCE，DEAE+ADBD+CE；（2）解：成立：DEBD+CE证明如下：BDABAC，DBA+BADBAD+CAE180°，DBACAE，在ADB和CEA中，ADBCEA（AAS），AEBD，ADCE，DEAE+ADBD+CE；（3）解：如图，过E作EMHI于M，GNHI的延长线于N，EMIGNI90°，由（1）和（2）的结论可知

16、EMAHGN，EMGN，在EMI和GNI中，EMIGNI（AAS），EIGI，I是EG的中点8解：（1）结论：BGAE，BGAE理由：如图1，延长EA交BG于KABC是等腰直角三角形，BAC90°，点D是BC的中点，ADBC，BDCD，ADBADC90°四边形DEFG是正方形，DEDG在BDG和ADE中，ADEBDG（SAS），BGAE，BGDAED，GAKDAE，AKGADE90°，EABG（2）结论成立，BGAEBGAE理由：如图2，连接AD，延长EA交BG于K，交DG于O在RtBAC中，D为斜边BC中点，ADBD，ADBC，ADG+GDB90°四边

17、形EFGD为正方形，DEDG，且GDE90°，ADG+ADE90°，BDGADE在BDG和ADE中，BDGADE（SAS），BGAE，BGDAED，GOKDOE，OKGODE90°，EABG（3）BGAE，当BG取得最大值时，AE取得最大值如图3，当旋转角为270°时，BGAEBCDE4，BG2+46AE6在RtAEF中，由勾股定理，得AF2，AF29解：（1）正确画出直角坐标系如下：当0t4时 P1（2t，0）当4t7时 P2（8，2t8）当7t10时P3（222t，6）；（2）存在，如图1，当0t4时，SAPE×2t×620，解得

18、t（s）；P（，0）如图2，当4t7时，SAPE48SADESABPSPCE，2048×6×2×8×（2t8）×6×（142t）解得：t6（s）；P（8，4）如图3，当7t10时，SAPE×6×（202t）20，解得t（s）7，t（应舍去），综上所述：当P（，0）或 P（8，4）时，APE的面积等于20cm210【问题提出】（1）证明：将ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到ABE，在正方形ABCD中，BADABMD90°，由旋转可知ADNABE，DABE90°，DANBAE，ANAE，DNBE，ABE+ABM180°，E、B、M三点在一条直线上，MAN45°，DAN+BAM45°，DANBAE，BAE+BAMEAM45°，EAMMAN，ANAE，AMAM，AEMANM（SAS），MEMN，MEBE+BM，MNDN+BM，【初步思考】解：BEDG，DCG和BCE的周长不一定相等，故不正确；正方形CEFG绕点C旋转过程中，CBECDG不正确；如图1，过点E作BC的平行线，过点B作CE的平行线，两线交于点H，连接CH则四边形BHEC为平