电子科大数学物理方法第四章

1、第四章第四章 解析函数解析函数的级数展开的级数展开4.1 复数项级数的基本概念复数项级数的基本概念 定义定义 4.1.1 复数项无穷级数复数项无穷级数 设有复数列，设有复数列， 其中其中 则则 (4.1.1) 称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数. 前前n项和项和 称为级数的部分和称为级数的部分和. ni , 1,2,nnnabn121nnn12nnS 若部分和复数列若部分和复数列 存在有限极限，则称无穷级数存在有限极限，则称无穷级数 收敛，而这极限值称为该级数的和收敛，而这极限值称为该级数的和, 即即 (4.1.2)记作记作 (4.1.3)定义定义4.1.2 级数收敛级数收敛 nS1nnli

2、mnnSS1nnS定义定义4.1.3 级数发散级数发散 nS1nn若部分和数列若部分和数列无有限的极限，则称无有限的极限，则称级数发散级数发散 4.1.2 复数项级数的判断准则复数项级数的判断准则根据上式判断级数是否收敛，实际上比较根据上式判断级数是否收敛，实际上比较困难困难.事实上，由于事实上，由于 111innnnnkkkkkSab 根据实数项级数收敛的有关结论，可根据实数项级数收敛的有关结论，可以得出判断复数项级数收敛的简单方法以得出判断复数项级数收敛的简单方法.定理定理4.1.2 1nn1nna1nnb i(1,2,)nnnabn设设 ，则级数，则级数收敛的收敛的充分必要充分必要和和虚

3、部虚部都收敛都收敛.条件条件是级数的实部是级数的实部lim0nn定理定理 4.1.4.收敛的收敛的必要条件必要条件是是1nn级数级数 考察考察级数级数11i2nnn的敛散性的敛散性.11nn112nn11nn【解解】 由定理由定理4.1.2 知，只需讨论级数的实部级数知，只需讨论级数的实部级数 和虚部级数和虚部级数的敛散性的敛散性. 因为级数因为级数发散，故原级数发散发散，故原级数发散.定义定义4.1.4 绝对收敛级数绝对收敛级数 若级数若级数 1nn1nn收敛，称原级数收敛，称原级数为为绝对收敛级数绝对收敛级数.1nn1nn1nn定义定义4.1.5 条件收敛级数条件收敛级数 若复数项级数若复

4、数项级数收敛，但级数收敛，但级数发散，则称原级数发散，则称原级数为为条件收敛级数条件收敛级数.1nn1nn说明说明： 级数级数的各项均为非负实数，因此的各项均为非负实数，因此为正项实级数，故可按正项级数的收敛性判别法则，为正项实级数，故可按正项级数的收敛性判别法则，如比较判别法，比值判别法或根式判别法等判断如比较判别法，比值判别法或根式判别法等判断其收敛性其收敛性.1nn1nn定理定理4.1.5 若级数若级数收敛，则级数收敛，则级数必收敛；必收敛；即为调和级数，故发散即为调和级数，故发散.11( 1)1|i|nnnnn是收敛的，但由于是收敛的，但由于11( 1)( 1)iinnnnnn例如级数

5、例如级数但反之不一定成立但反之不一定成立.innnab1|,nna另外，若有另外，若有 ，则则 2211111|+ |nnnnnnnnnnnbabab (4.1.5)因此又可以得到下面的定理因此又可以得到下面的定理:定理定理 4.1.6 1nnb1nna1nn级数级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数与与都绝对收敛都绝对收敛.定理定理 4.1.7 绝对收敛级数的各项可以重排顺序，而不改绝对收敛级数的各项可以重排顺序，而不改变其绝对收敛性与和变其绝对收敛性与和.定理定理 4.1.8 S LSL1211111(1)11()()() nnnnnnnnnknknk 1

6、1,nnnnSL若已知两绝对收敛级数若已知两绝对收敛级数 则两级数的柯西乘积则两级数的柯西乘积 也绝对收敛，且收敛于：也绝对收敛，且收敛于： (4.1.6)例例4.1.2 判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还判定下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？是绝对收敛？(1)0(8i)!nnn； 【解解】绝对收敛绝对收敛. 8i8!nnnn2084!2nnbbacna 0(8i)!nnn 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知 收敛，故级数收敛，故级数(1) 因因(2)1( 1)1i2nnnn1( 1)nnn112nn1( 1)nnn (2) 因因，都收敛，故原级数收敛，但

7、因都收敛，故原级数收敛，但因为条件收敛，所以原级数为条件收敛为条件收敛，所以原级数为条件收敛. 是定义在区域是定义在区域D上的复变函数上的复变函数 序列，则称表达式序列，则称表达式4.2 复变函数项级数复变函数项级数定义定义 4.2.1 复变函数项级数复变函数项级数设设( ),(0,1,2,.)nfzn 0120( )( )( )( )( )nnnfzfzf zfzfz为复变函数项级数（简称复函数项级数）为复变函数项级数（简称复函数项级数）.(4.2.1)该级数前该级数前n项和项和0( )( )nnkkSzfz称为级数的称为级数的部分和部分和.一致收敛一致收敛4.3 幂级数幂级数4.3.1 幂

8、级数概念幂级数概念另一部分命题用反证法证明另一部分命题用反证法证明. C RC C 图 4.1 R x y 定义定义4.3.2 收敛圆收敛圆 收敛半径收敛半径4.3.3 收敛半径的求法收敛半径的求法通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数函数.现在我们来研究与此相反的问题，就是：现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值个问题不但有理论意义，而且很有实用价值. 0z z R 图 4.2 C 因此，我们可以用它的正幂项级数因此，我们可以用它的正幂项级数(4.5.2)和负幂项级数和负幂项级数(4.5.3)的敛散性来定义原级数的敛散性的敛散性来定义原级数的敛散性. 我们规定：我们规定：当且仅当当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原