第6章第四节定积分的应用1

1、2022-4-30南京邮电大学 邱中华12022-4-30南京邮电大学 邱中华2表示为niiixfU10)(lim1、什么问题可以用定积分解决、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量 ;一、微元法的基本思想一、微元法的基本思想2022-4-30南京邮电大学 邱中华3 平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。在实际应用时，xxfA)(

2、为面积元素。称dA然后把dA在a, b上作定积分， babaxxfAAd)(d则得这就是所说的微元法或元素法。ab xyo)(xfy xxxd Ad应用方向：应用方向：Ad 2 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?元素的几何形状常取为: 条条, 带带, 段段, 环环, 扇扇, 片片, 壳壳 等2022-4-30南京邮电大学 邱中华43. 应用微元法的一般步骤应用微元法的一般步骤：(1)根据具体问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间a, b；(2) 在 a, b上，任取一小区间x, x+dx；xxfAd)(d 求出 babaxxfAAd)(d)3(所求量2022-4-

3、30南京邮电大学 邱中华5二、平面图形的面积二、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd2022-4-30南京邮电大学 邱中华6xxy22oy4 xy例例1. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算

4、, 选取 y 作积分变量,则有yyyd 42A2022-4-30南京邮电大学 邱中华7oyxababoyx一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 )()(tytx给出时, 按顺时针方向顺时针方向规定起点和终点的参数值21,tt则曲边梯形面积21d)()(tttttA)(1axt对应)(1bxt对应2. 参数表示的情形参数表示的情形2022-4-30南京邮电大学 邱中华8abxoyx例例2. 求椭圆12222byax解解: 利用对称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202

5、dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxd2022-4-30南京邮电大学 邱中华93. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A 2022-4-30南京邮电大学 邱中华10 xo)(22 )(11 d212122A2022-4-30南京邮电大学 邱中华112coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例3. 计算心形线与圆所围图形的面积 . 解解: 利用对称性 ,

6、)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa22245aa ar 22022-4-30南京邮电大学 邱中华12a2sin2a例例4. 求双纽线所围图形面积 . 解解: 利用对称性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0则所求面积为42a思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆sin2ar 所围公共部分的面积 .2Adsin2026ad2cos21462ayox44答案答案:2022-4-30南京邮电大学 邱中华13三、立体的体积三、立体的体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(bax

7、A在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,1. 平行截面面积已知的立体的体积平行截面面积已知的立体的体积2022-4-30南京邮电大学 邱中华14例例5. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .oRxyx2022-4-30南京邮电大学 邱中华

8、15xyoabxyoab)(xfy 考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时,有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy2. 旋转体的体积旋转体的体积2022-4-30南京邮电大学 邱中华16ayxb例例6. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 将方程改写为)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2x2022-4-30南京邮电大学 邱中华17例例

9、7. 圆 绕x= -b (0ab) 旋转一周所生成 立体的体积。 222ayx 解解 建立坐标系 21VVV aaybyaVd)(2221 aaybyaVd)(2222ba222 - -b O a xy aayyabVd4222022-4-30南京邮电大学 邱中华18四、平面曲线的弧长四、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称2022-4-3

10、0南京邮电大学 邱中华19sdyxabo(1) 曲线弧由直角坐标方程给出曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs2022-4-30南京邮电大学 邱中华20(2) 曲线弧由参数方程给出曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs2022-4-30南京邮电大学 邱中华21(3) 曲线弧由极坐标方程给出曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令

11、因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :注意注意: : 求弧长时积分上下限必须上大下小。上大下小。2022-4-30南京邮电大学 邱中华22例例8. 求抛物线 被圆 所截下的有 限部分的弧长 。221xy 322 yx 321222yxxy由 12122211yxyx，得 202d12xys由对称性解：解：2022)1ln(1xxxx )32ln(6 O yx 202d12xx2022-4-30南京邮电大学 邱中华23例例9. 求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd

12、2cos22200sin22222x42022-4-30南京邮电大学 邱中华24五、曲率及曲率半径五、曲率及曲率半径在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为2022-4-30南京邮电大学 邱中华25例例10. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,RssKs0limR1可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .sRMM2022-4-30南京邮电大学 邱中华26有曲率近似计算公式,1时当

13、yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由2022-4-30南京邮电大学 邱中华27曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线KRDM1把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的

14、切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使2022-4-30南京邮电大学 邱中华28六、六、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(2022-4-30南京邮电大学 邱中华29S例例11.体, 求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .ab建立坐标系如图.xxd

15、x 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 2022-4-30南京邮电大学 邱中华30例例12. .半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球 的比重与水相同，现将球从水中取出,需作多少功？ 相应于区间x，x+dx的球体中的薄片的体积约为 xxRVd)(d22 当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的路程为R+x，xxRxRgWd)(d22 解：解：建立如图所示坐标系克服重力做功为O xR+x x水面水面x

16、+dx由于球的比重与水相同，则这部分的球由x提升到水面不做功 RRxxRxRgWd)(22于是 RRxxRRgd)(22434Rg 奇函数2022-4-30南京邮电大学 邱中华31面积为 A 的平板七、液体侧压力七、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hpgh当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为2022-4-30南京邮电大学 邱中华32小窄条上各点的压强xpg33g2R例例13. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力元素RP0 xx

17、Rxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 2022-4-30南京邮电大学 邱中华330arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 说明说明:当桶内充满液体时, )(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令oxyRxxxd2022-4-30南京邮电大学 邱中华34例例14. 一底为10cm, 高为6cm的等腰三角形薄片,铅直地 沉入水中,顶在上,底边在下且与水面平行,而顶离 水面3cm, 试

18、求它的一个侧面所受的水压力。解：解：建立坐标系如图所示。2565 xy直线AB的方程为xxgxFd)2565(2d 93d)2565(2xxxgFxx+dx)(210Ng xB(9,5)A(3,0)Oy2022-4-30南京邮电大学 邱中华35八、引力问题八、引力问题质量分别为21, mm的质点 , 相距 r ,1m2mr二者间的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力, 则需用积分解决 .2022-4-30南京邮电大学 邱中华36课堂练习课堂练习解：解：1. 求曲线所围图形的面积.1lnlnyx显然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,ln xex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye,1exy 中曲线为面积为同理其它.eyx1exy exy exy S11dex)1(exexex1d)(exxe2121ee又故在区域2022-4