第08章轴向拉伸及压缩a

1、一、一、 轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的概念二、二、 轴向拉压杆的内力和应力轴向拉压杆的内力和应力材料力学材料力学三、三、 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形四、四、 材料在拉压时的力学性质材料在拉压时的力学性质五、五、 强度条件、安全系数、许用应力强度条件、安全系数、许用应力六、六、 拉压杆的超静定问题拉压杆的超静定问题轴向拉伸轴向拉伸8.8.1 轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的概念 线方向伸长线方向伸长 的变形形式的变形形式FFFF 载荷的作用线与杆的轴线重合，使杆产生沿轴载荷的作用线与杆的轴线重合，使杆产生沿轴（轴向压缩）（轴向压缩）（缩短）（缩短）木压杆木压杆 8.8.1 轴向拉压杆的概念轴向

2、拉压杆的概念8.8.1 轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的概念8.8.1 轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的概念8.8.1 轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的概念8.8.1 轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的概念8.8.1 轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的概念8.8.1 轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的概念8.8.2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力8.2 8.2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力. 内力的概念内力的概念材料力学中内力指的是：材料力学中内力指的是：物体受到外力作用而产生变形，所引起的物体内部物体受到外力作用而产生变形，所引起的物体内部各质点之间相互作用力改变量的合力。各质点之间相互作用力改变量的合力。由由 F

3、x = 0：得到得到FFmmIII0N FFFF N8.2 8.2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力mmIFFNmmFFN 轴力的符号规定：轴力的符号规定：8.2 8.2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力作用线与杆的轴线重合的内力作用线与杆的轴线重合的内力指离截面为指离截面为 + + ，指向截面为，指向截面为 - - 。轴力图轴力图轴力沿轴线变化的图线轴力沿轴线变化的图线FFmmIIImmIFFN.横截面上的内力横截面上的内力mmFFN解解：F =18kN1F =4kN3F =8kN21- -1截面：截面：03211N FFFF求得：求得：1. .求轴力求轴力由由 Fx= 0：F 1F 3F

4、2FN1kN63211N FFFF118.2 8.2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力F 3F 2FN2kN12322N FFFkN61N F2- -2截面：截面：0322N FFF求得：求得：由由 Fx = 0：F =18kN1F =4kN3F =8kN211解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力228.2 8.2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力F 3FN3kN433N FF03N3N FF求得：求得：由由 Fx = 0：kN122N F3- -3截面：截面：F =18kN1F =4kN3F =8kN23311222- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求

5、轴力kN61N F8.2 8.2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力kN43N FF =18kN1F =4kN3F =8kN21133223- -3截面：截面：2- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力kN122N FkN61N F讨论：讨论： 1在求内力时，能否将外力进行平移在求内力时，能否将外力进行平移 ？注意：注意： 1在用截面法求内力时不能随意进行力的平移；在用截面法求内力时不能随意进行力的平移； 2用截面法一次只能求出一个截面上的内力。用截面法一次只能求出一个截面上的内力。 2能否一次求出两个截面上的内力能否一次求出两个截面上的内力 ？8.2 8.2 轴向拉

6、压杆的内力轴向拉压杆的内力kN43N F 轴力图不仅能显示出各段的轴力大小轴力图不仅能显示出各段的轴力大小2. .作轴力图作轴力图 而且能显示出各段的变形是拉伸还是压缩而且能显示出各段的变形是拉伸还是压缩FOxN6kN4kN12kNF =18kN1F =4kN3F =8kN21133223- -3截面：截面：2- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力kN122N FkN61N F由轴力图可见由轴力图可见kN502NmaxN, FF试作图试作图a所示杆的轴力图。所示杆的轴力图。例题例题 2一一. . 研究应力的意义研究应力的意义 在求出截面上的内力后，并不能判断构件是

7、否破坏在求出截面上的内力后，并不能判断构件是否破坏 构件的破坏与构件的破坏与单位面积上的内力单位面积上的内力有关有关FFAFF2A下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？ 应力应力 单位面积上的内力（即内力的集度）单位面积上的内力（即内力的集度）MAFMpAFp 平均应力AFAFpdd lim0A一点的应力压为负拉为正正应力, Pa101Pa,1GPa1011MPaPa101Pa,1kPa1mN1 :9632单位 产生逆时针力矩为负产生顺时针力矩为正应力剪切 , 一、应力的概念一、应力的概念1、几何分析、几何分析 变形现象：变形现象： 推知：推知： （1）横

8、截面变形后仍为平面，且仍垂直于轴线横截面变形后仍为平面，且仍垂直于轴线 平面假设平面假设 （2）两横截面间的纵向线段伸长相同两横截面间的纵向线段伸长相同( (均匀变形）均匀变形） 两横向线相对平移两横向线相对平移adcbFFadcb 即：应力均匀分布即：应力均匀分布 （2）应力的方向与轴力相同。应力的方向与轴力相同。 的的应力应力相同相同 （1）横截面上各点横截面上各点FF N 结论：结论：2. .物理分析物理分析adcbFFadcb正应力的符号规定：正应力的符号规定： 拉应力为拉应力为 + +，压应力为，压应力为 - -。 拉应力拉应力背离截面的应力背离截面的应力 压应力压应力指向截面的应力

9、指向截面的应力AFN 二、横截面上的应力二、横截面上的应力adcbFFadcbFF N （2）不适应于集中力作用点附近的区域不适应于集中力作用点附近的区域 （圣文南原理）（圣文南原理） （1）载荷的作用线必须与轴线重合）载荷的作用线必须与轴线重合适用范围适用范围 试求图试求图a所示正方形所示正方形砖柱由于荷载引起的横砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。截面上的最大工作应力。已知已知F = 50 kN。 例题例题1. .作轴力图如图所示。作轴力图如图所示。 段柱横截面上的正应力段柱横截面上的正应力 段柱横截面上的正应力段柱横截面上的正应力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0

10、()m24. 0(N10506311N1 AF ( (压应力压应力) ) MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2 AF ( (压应力压应力) )实验表明：实验表明： 有些构件是沿横截面破坏的有些构件是沿横截面破坏的 有些构件则是沿斜截面破坏的有些构件则是沿斜截面破坏的低碳钢轴向拉伸铸铁轴向压缩1. .斜截面上的内力斜截面上的内力 斜截面上：斜截面上：FF NFF N8.3 8.3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力 横截面上：横截面上：FFkkN N 即：即：NNFF FFkk mn横截面上：横截面上：斜截面上：斜截面上：全应力全应力AFAFN co

11、sAA AFpN 2. .斜截面上的应力斜截面上的应力FFkkN N p FFkk mA A cosAF cos 8.3 8.3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力正应力和切应力：正应力和切应力： cos p cosp sinp 8.3 8.3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力结论：结论： 和和 是是 的函数。的函数。三、三、斜截面上的应力斜截面上的应力2. .斜截面上的应力斜截面上的应力 2cos12 2sin2 Fkkp nt FFkk mA ApFFkkN N 1. .横截面横截面 = = 0 0 ，max0 2. .纵截面纵截面 = = 90 0 ，09090 3. .斜截面斜截面 =

12、= 45 ， ,245 4. .斜截面斜截面 = = - -45 ， ,245 F 0 ,0 max452 min452 8.3 8.3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力 2cos12 2sin2 几个特殊截面上的应力几个特殊截面上的应力一、纵向变形和横向变形一、纵向变形和横向变形二、胡克定律二、胡克定律三、纵向变形和横向变形关系三、纵向变形和横向变形关系8.4 .4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律 纵向线应变：纵向线应变：1. .纵向变形纵向变形lll 1ll 符号：伸长为符号：伸长为 +，缩短为，缩短为 l 纵向伸长：纵向伸长：Flll 1F 线应变无量纲线应变无量纲

13、 横向线应变：横向线应变： 横向缩短：横向缩短：横向变形与纵向变形反号横向变形与纵向变形反号bbb 1bb bbb 2b 212. .横向变形横向变形8. .4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律Flll 1F8.4 .4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律1. . 第一种形式第一种形式实验表明：当载荷小于某一数值时实验表明：当载荷小于某一数值时引入比例常数引入比例常数E，因，因F=FN，有，有AFll EAlFlN Flll 1F E材料的弹性模量。材料的弹性模量。反映材料抵抗弹性变形的能力，反映材料抵抗弹性变形的能力，单位：单位：Pa EA杆的抗拉杆的抗

14、拉( (压压) )刚度。刚度。表明杆抵抗纵向弹性变形的能力表明杆抵抗纵向弹性变形的能力2. .第二种形式第二种形式 将第一种形式改写成将第一种形式改写成即即llEAF N E 称为应力称为应力应变应变关系关系8.4 .4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律Flll 1FEAlFlN 实验表明：当载荷小于某一数值时实验表明：当载荷小于某一数值时式中式中 泊松比泊松比，为，为无量纲量，无量纲量， ( (Poisson, 法国科学家法国科学家) )即即 为材料常数为材料常数 8. .4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律bbb 2b 21Flll 1F2 2）构件

15、的工作应力）构件的工作应力p（线弹性范围内）；3 3）轴力）轴力FN、横截面面积、横截面面积A为常量为常量等直杠两端等直杠两端受轴向力；受轴向力；讨论讨论：1.1.轴力变化时轴力变化时1）l为为“+”+”时伸长，为时伸长，为“-”-”时缩短，符号规定时缩短，符号规定与轴力一致。拉为与轴力一致。拉为“+”+”，压为，压为“-”-”。BCABlllEAlFEAlFBCAB2N1N2.2.横截面变化时：横截面变化时：BCABlll3P1PBC1l2l2PACAB阶梯状杆AElFlxxEAxFld)()(dNlxxEAxFld)()(N徐变截面杆：xdxdx)(xFN)(NxF锥角锥角较度小，如较度小

16、，如 10lFF 8. .4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律 例例 图示杆，图示杆，1段为直径段为直径 d1=20mm的圆杆，的圆杆，2段为段为边长边长a=25mm的方杆，的方杆，3段为直径段为直径d3=12mm的圆杆。的圆杆。已知已知2段杆内的应力段杆内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个，求整个杆的伸长杆的伸长l解:KN75.182530222AF33N322N211N1AElFAElFAElFl4012. 02 . 0025. 04 . 0402. 02 . 010210187502229l缩缩短短）( mm272. 0123FFm2 . 0m2 . 0

17、m4 . 0 8. .4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律解:cos221PFFNNcos2121EAPlEAlFllNEAPll2cos1 8. .4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律解:0,21NNFPFlPlEAl120,1NF2NFPAxctgEAPlctglx1yEAPlly1 8. .4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律lddl10 dl5 ltbAl3 .11 Al65. 5 ldFFFFO lbseFp ladcbdhf efgllAF Obsepadcbdhf efgpeObsepadcbdhf efgpeE 常数常

18、数 tan E Obsepadcbdhf efgpe E Obsepadcbdhf efgpeObsepadcbdhf efgpe45 滑滑移移线线Obsepadcbdhf efgpeObsepadcbdhf efgpeObsepadcbdhf efgpe卸卸卸卸 E Obsepadcbdhf efgpelAlA%100 lll %100 AAA lAlA 有些材料拉伸过程中没有些材料拉伸过程中没有明显屈服阶段，如有明显屈服阶段，如Mn钢钢 通常规定以产生通常规定以产生0.20.2的的塑性应变塑性应变所对应的应力所对应的应力作为屈服极限，并称为名作为屈服极限，并称为名义屈服极限，用义屈服极限，

19、用P0.2P0.2来表来表示示名义屈服极限名义屈服极限2 . 0p02%.O拉拉伸伸 压缩压缩OFF拉压时低碳钢的拉压时低碳钢的P、e、s几几乎相同，低碳钢的拉压性能相乎相同，低碳钢的拉压性能相同同 压缩压缩拉伸拉伸 bbcO灰铸铁的拉压性能不同，灰铸铁的拉压性能不同，耐压不耐拉耐压不耐拉 胡克定律胡克定律颈缩颈缩 材料不产生残余变形材料不产生残余变形屈服极限和强度极限屈服极限和强度极限 抵抗破坏的能力抵抗破坏的能力伸长率和断面收缩率伸长率和断面收缩率 脆性材料脆性材料塑性材料塑性材料 bsu sO bO 脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料 bbssunnn maxNmax AFmaxN AF

20、maxmaxNmax AFmaxN FA N AF 试选择如图试选择如图 ( (a) )所示桁架的钢拉杆所示桁架的钢拉杆DI的直径的直径d。已知已知：F =16 kN， =120 MPa。例题例题 1. 用用m-m截面将桁架截开截面将桁架截开由图中由图中( (b) )所示分所示分离体的平衡方程离体的平衡方程S SMA=0，即，即kN82N FF0m3m6N FF2. 求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径求所需横截面面积并求钢拉杆所需直径mm2 . 9m102 . 9)m107 .66(44m107 .66Pa10120N1083262693N AdFA 由于圆钢的最小直径为由于圆钢的最小直径为1

21、0 mm，故钢拉杆，故钢拉杆DI采采用用f f10的圆钢。的圆钢。解解：kN75:, 0 NPFMABC得得由由NABFA 751016010364687 10468742.mcm2选边厚为的 号等边角钢 其342359mmcm2,.A FFFA1221FFFA1221B3340 :0FFFFBAy21ll ,1111111N1AElFAElFlA2222222N2AElFAElFlBABlll12CFFAB1F2FAFN1FBFN2FllFlllFFllFlllFBA12112212 ,1222112111221 ,1lAElAEFFlAElAEFFBA 例例 一平行杆系，三杆的横截面面积、

22、长度和弹性一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用模量均分别相同，用A A、l l、E E 表示。设表示。设ACAC为一刚性横为一刚性横梁，试求在荷载梁，试求在荷载F F 作用下各杆的轴力作用下各杆的轴力解解: : (1)(1)受力分析受力分析-平衡方程平衡方程0, 03N2N1NSFFFFY05 . 05 . 05 . 1, 03N2N1NSFFFMD1 2 3 l a a a 2 B C A D F F D A B C F N1 N2 F N3 F (2)(2) 变形分析变形分析协调条件（求补充方程）协调条件（求补充方程）(3) (3) 胡克定理胡克定理(4)(4)联立求

23、解得联立求解得3121)(2llllEAlFlEAlFlEAlFl3N32N21N1,3N2N1N2FFF127,3,123N2N1NFFFFFFA B B C l 1 l 2 C l 3 得出补充方程得出补充方程解：静力平衡条件：解：静力平衡条件：变形协调条件：变形协调条件：2131cos2NNNNFFFFllh21coshEAlFEAlFNNcoscos12引用胡克定律：引用胡克定律：1NF2NF3NFFFxx0 T0 TlTlT 例例 图示的等直杆图示的等直杆AB的两的两端分别与刚性支承连接。设端分别与刚性支承连接。设两支承间的距离两支承间的距离(即杆长即杆长)为为L,杆的横截面面积为杆

24、的横截面面积为A，材料，材料的弹性模量为的弹性模量为E，线膨胀系，线膨胀系数为数为，试求温度升高，试求温度升高t时时杆内的温度应力。杆内的温度应力。解：温度升高以后，杆将自由地伸长解：温度升高以后，杆将自由地伸长(图图b)。现因刚性支承。现因刚性支承B的的阻挡，使杆不能伸长，相当于在杆的两端加了压力而将杆顶住。阻挡，使杆不能伸长，相当于在杆的两端加了压力而将杆顶住。由平衡方程可知两端的轴向压力相等，而压力的大小仍不知道。由平衡方程可知两端的轴向压力相等，而压力的大小仍不知道。 变形几何方程变形几何方程L=Lt - LF F=0计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。计算表明，在超静定