立体几何中的向量方法2ppt课件

1、3.2 3.2 立体几何中的向量方法一立体几何中的向量方法一ala给定一个点给定一个点A和一个和一个向量向量a,过点过点A，以向，以向量量a为法向量的平为法向量的平面是完全确定的。面是完全确定的。方法指点：方法指点：怎样求平面法向量？怎样求平面法向量？普通根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量处理相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：设直线设直线l,m的方向向量分别为的方向向量分别为a,b，平面，平面， 的法向量分别为的法向量分别为u,v,那么那么线线平行：线线平行：lm a b a=kb;线面平行：线面平行：l au au=0;面面平行：面面平行： u v

2、u=kv.线线垂直：线线垂直：l m a b ab=0;面面垂直：面面垂直： u v uv=0.线面垂直：线面垂直：l a u a=ku;例例1、在棱长为、在棱长为1的正方体的正方体 中，中，求平面求平面 的法向量。的法向量。1111ABCDABC D1ACD ABCDxyA1B1C1D1z图1二、讲授新课二、讲授新课1 1、用空间向量处理立体几何问题的、用空间向量处理立体几何问题的“三步曲。三步曲。 1建立立体图形与空间向量的联络，用空间建立立体图形与空间向量的联络，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；何问题转化

3、为向量问题； 2经过向量运算，研讨点、直线、平面之间的经过向量运算，研讨点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间间隔和夹角等问题；位置关系以及它们之间间隔和夹角等问题；3把向量的运算结果把向量的运算结果“翻译成相应的几何意义。翻译成相应的几何意义。化为向量问题化为向量问题进展向量运算进展向量运算回到图形问题回到图形问题 例例1：如图：如图1：一个结晶体的外形为四棱柱，其中，：一个结晶体的外形为四棱柱，其中，以顶点以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有

4、什么关系？的长与棱长有什么关系？ A1B1C1D1ABCD图图1解：如图解：如图1，设，设 BADADAAAB， 11 6011DAABAA化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法那么，根据向量的加法法那么，11AAADABAC 进展向量运算进展向量运算2121)(AAADABAC )( 2112122AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以6|1 AC回到图形问题回到图形问题这个晶体的对角线这个晶体的对角线 的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。1AC6思索：思索：1此题中四棱柱的对角线此题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长的长与棱长有什么关系

5、？有什么关系？ A1B1C1D1ABCD11BBBCBABD 60 120 11BCBABBABC，其其中中分析分析:思索：思索： 2 2假设一个四棱柱的各条棱假设一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于点的各棱间的夹角都等于 , , 那那么有这个四棱柱的对角线的长可么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗以确定棱长吗? ?a aA1B1C1D1ABCD分析分析:a a 1111 DAABAABADxAAADABaAC，设设11 AAADABAC 则则由由)( 211212221AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23

6、222a axxa 即即axa acos631 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。3 3此题的晶体中相对的两个平面之间的间此题的晶体中相对的两个平面之间的间隔是多少？提示：求两个平行平面的间隔，隔是多少？提示：求两个平行平面的间隔，通常归结为求两点间的间隔通常归结为求两点间的间隔A1B1C1D1ABCDH 分析：面面间隔分析：面面间隔回归图形回归图形点面间隔点面间隔向量的模向量的模. 11HACHAA于于点点平平面面点点作作过过 解：解：. 1的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA111 AAADABBADADAABA 且且由由. 上

7、上在在 ACH3 360cos211)(22 ACBCABAC1111()cos60cos601.AA ACAAABBCAA ABAA BC 31|cos 111 ACAAACAAACA36sin 1 ACA36sin 111 ACAAAHA 所求的间隔是所求的间隔是。 36A1B1C1D1ABCDH练习练习: : 如图如图2 2，空间四边形，空间四边形OABCOABC各边以及各边以及ACAC，BOBO的长都是的长都是1 1，点，点D D，E E分别是边分别是边OAOA，BCBC的中点，的中点，连结连结DEDE，计算，计算DEDE的长。的长。 OABCDE图图2 例例2 2：如图：如图3 3，

8、甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水处，乙站在水坝斜面上的点坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 库底与水坝的交线库底与水坝的交线的间隔的间隔ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD ,CD的长为的长为 , AB , AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd解：如图，解：如图，. dABcCDbBDaAC ，化为向量问题化为向量问题根据向量的加法法那么根据向量的加法法那么DBCDACAB 进展向量运算进展向量运算222)(DBCDACABd )(2222DBCDDBACCDACBDCDAB

9、 ABCDa a 图图3DBACbca 2222DBCAbca 2222于是，得于是，得22222dcbaDBCA CADB 因此因此.cos22222dcbaab 设向量设向量 与与 的夹角为的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的就是库底与水坝所成的二面角。二面角。所以所以.2cos2222abdcba 回到图形问题回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为库底与水坝所成二面角的余弦值为.22222abdcba 例例2 2：如图：如图3 3，甲站在水库底面上的点，甲站在水库底面上的点A A处，乙站在水坝斜面上的点处，乙站在水坝斜面上的点B B处。从处。从A A，B B到直线到直线 库底与水坝的交

10、线的间隔库底与水坝的交线的间隔ACAC和和BDBD分别为分别为 和和 ,CD ,CD的长为的长为 , AB , AB的长为的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 labcd思索：思索： 1此题中假设夹角此题中假设夹角 可以测出，而可以测出，而AB未知，未知，其他条件不变，可以计算出其他条件不变，可以计算出AB的长吗？的长吗？ ABCDa a 图图322)( DBCDACAB 由由)(2222DBCDDBACCDACBDCDAB 分析：分析： cos2222abbca 可算出可算出 AB 的长。的长。 2假设知一个四棱柱的各棱长和一条对假设知一个四棱柱的各棱长

11、和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？吗？ 分析：如图，设以顶点分析：如图，设以顶点 为端点的对角线为端点的对角线长为长为 ，三条棱长分别为，三条棱长分别为 各棱间夹角为各棱间夹角为 。A1B1C1D1ABCDAd， cba 21212)( CCACABCAd 则则 cos)(2222acbcabbca )(2cos 2222acbcabcbad 3假设知一个四棱柱的各棱长都等于假设知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点，并且以某一顶点为端点的各棱

12、间的夹角都等于为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？个夹角的余弦值吗？a A1B1C1D1ABCD分析：分析：二面角二面角平面角平面角向量的夹角向量的夹角回归图形回归图形 解：如图，在平面解：如图，在平面 AB1 内过内过 A1 作作 A1EAB 于点于点 E，EF在平面在平面 AC 内作内作 CFAB 于于 F。 cos sin 1aBFAEaCFEA ，则则 CFEAFCEA cos coscos 11，a a|11CFEACFEA 221sin)()(aBFCBAEAA 2222222sincos)cos(cos)cos

13、(coscosaaaaa cos1cos 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习：练习： 1 1如图如图4 4，6060的二面角的的二面角的棱上有棱上有A A、B B两点，直线两点，直线ACAC、BDBD分分别在这个二面角的两个半平面内，别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直且都垂直ABAB，知，知ABAB4 4，ACAC6 6，BDBD8 8，求，求CDCD的长。的长。 B图图4ACDa 2三棱柱三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边中，底面是边长为长为2的正三角形，的正三角形，A1AB45，A1AC60，求二面角，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。 ABCA1B1C1图图5 如图如图6，在棱长为，在棱长为 的正方体的正方体 中，中， 分别是棱分别是棱 上的动点，且上的动点，且 。 1求证：求证： ； 2当三棱锥当三棱锥 的体积取最大值时，求二的体积取最大值时，求二面角面角 的正切值。的正切值。aCBAOOABC FE、BCAB、BFAE ECFA BEF