易错题高中数学高中数学选修5重要的不等式测试含答案解析

1、、选择题若实数x2y3z1,则22.一yz的最小值为（）A.14B.114C.292.已知a,R,b22b的取值范围为（A.3a2bC.3a2bB.2133aD.不确定2b2133.若正实数a、c满足abbcac2a2,则2abc的最小值为（）A.B.1C.2D.4.已知a,0,A.18B.9D.5.函数A.2j6x的最大值是B.5C.3D.6.已知Aa,0C0,c,AC2,BC1,ACBC0,O为坐标原点，则OB的最大值是a.2C.2B.2D.57.已知a,b,则3a13b13c1的最大值为（）A.3C.18D.8.已知空间向量OA(1,0,0),OB(1,1,0),OC(0,0,1),向量

2、OPxOAyOBzOC,且4x2yz4,则OP不可能是A.B.1C.D.9.二川三+9-'的最大值是（）A.B.C.10.函数fx1c,c、，-，-W2x（x0）的最小值为（xA.3B.4C.D.611.若a,b,cR,bc1,则VaJbVc的最大值是A.2B.C.35D.312.用反证法证明:”，应假设（）A.a>bb.QWb、填空题13 .已知x,yR,且xy3,则41254的最小值是.222214 .已知O为坐标原点，圆M：x1y1,圆N：x2y4.A,B分别为圆M和圆N上的动点，则S,、oab的最大值为.15 .已知实数a,b,c,d满足条件abcd1,求8a23b22c

3、2d2的最小值是16 .已知x,y,zCR有下列不等式：x2+y2+z2+3>2(x+y+z);|x+y|w陷+|y+2|;x2+y2+z2>xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是17 .已知a,b,c均为正数，且a+b+c=1,则J3a103b1J3c1的最大值为2.22.18 .已知正实数a,b,c,且abc1,则a14b9c的最小值为.11119 .已知3、C是三角形三个角的弧度数，则的最小值.国L20 .选彳4-5:不等式选讲已知定义在R上的函数fxx1|x2的最小值为a.(i)求a的值；(n)若p,q,r为正实数，且pqra,求证：p2q2r23.三、解答题21

4、.已知函数fxx3x1.(1)求不等式fx4的解集；(2)设函数fx的最小值为n,若正实数a,b,c,满足abcn,证明22,已知a,b,c为非负实数，函数f(x)|2xa|2xb|c(1)若a2,b6,c1,求不等式f(x)11的解集;，一、r149八(2)若函数f(x)的最小值为2,证明：923.已知函数fxa,当x3时fx的最小值是2.求a；22,(2)若m2na,求证：5mn1.24 .已知函数f(x)收2x1|2x41的最大值为t.(1)求t的值；2，3，若存在，求出满(2)是否存在正实数a,b,c满足abct且a24b2c2足条件的一组解；若不存在，请说明理由.25 .已知a,b,

5、c为正实数，且a+b+c=1.Illc(I)证明：一1118;abc(n)证明:26 .已知a、b、cCR+,且abc6.，、1(1)当c5时，求1a1，一，:1的最小值;b2证明：a2b22bc24c2.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1.B解析：B【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：x2y2z214922y3z1,即x2y2z2,14113当且仅当x,y-,z时等号成立.14714故选：B.【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力2. B解析：B【分析】首先分析题目已知a2b24,求3a2b的取值范围.考虑到应用柯西不等式，

6、首先构造出柯西不等式求出(3a2b)2的最大值，开平方根即可得到答案.【详解】解：由柯西不等式得3a2b2a2b2322252,当且仅当2a3b时取等号.则2.133a2b2.13故选：B.【点睛】此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于柯西不等式的二维形式22.2、，2.2、计算量(acbd)W(ab)(cd)应用广泛需要同学们理解记忆，题目涵盖知识点少,小，属于基础题.3. D解析：D【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可.详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2,(a+b)(a+c)=2,又a,b,c均为正实数，-2a+b+c=(a+b)+(a+c)>2j

7、'(a_b)(a)=2衣,当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号.故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题.4. C解析：C【分析】利用柯西不等式，即可求出4a1Jb3的最大值.【详解】2由题意，Va1Vb311a1b318,当且仅当Jb3时等号成立,故.a1.13.的最大值为3.2.属于较易题故选：C.本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键5. B解析：B【分析】利用柯西不等式求解【详解】.22_因为yx526x,、x56x1222.5当且仅当.x5-6x，即x26时，取等号.25故选：B【点睛】本题主要考查柯西不等式的

8、应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.6. C解析：C【分析】设Bx,y，利用两点间的距离公式可得x2y21axcy,再利用柯西不等式进行放缩，从而求得,x2y2的最大值.【详解】设Bx,y,则a2c24,x2yc21,2222222222xay5xy1axcy1.acxy12xy,取等号条件：aycx；令OBJx2y2d,则d212d,得d721.故选：C.【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件7. B解析：B【分析】2先利用柯西不等式求得03a1V3b1J3c

9、1的最大值，由此求得43a173b1J3c1的最大值.【详解】由柯西不等式得：121221,3a13b1、3c1121212.3a1、3b1,3c133abe318,所以J3a1J3b1J3c13质，当且仅当.1abc时，等号成立，故选B.3【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题8. A解析：A【分析】由题求得OP的坐标，求得OP,结合4x2yz4可得答案.【详解】=+rOC=jr(1,0T0)-t-1J,O)(1,0,1)xy,y,z,OPJxy2y2z22_2,2222_2利用柯西不等式可得421xyyz4x2yz16,2OP1621故选A.【点睛】本题考查空间向量的线性

10、坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题9. D解析：D【解析】由柯西不等式可得y=5'R.+-?了=5Vx-1+寸3X43-*式；鼻5+3j(x-1+-x)=2#14故选D.10. A3,故选A.解析：A,11【解析】由题意得，因为x0,则y方2x二xxx1当且仅当xx1时等号成立的，所以函数的最小值为x11. C解析：C【解析】bc3,因此，1,_一，八bc一时取等号，故选C.32一一一试题分析：1、a1、b1、-c111aa而点73,当且仅当«««,即a111考点：柯西不等式.12. B解析：B【解析】试题分析：反证法反设时要假设所要证明的结论反面成

11、立，因此需假设考点：反证法二、填空题13. 【分析】凑配进而根据柯西不等式结合已知求解即可【详解】解：根据柯西不等式得：当且仅当时上述两不等式取等号所以因为所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题解题的关键在于解析：3.5【分析】凑配2212Jx2122421y2225、外2、5府12%5'y2-4,5,进而根据柯西不等式结合已知求解即可.【详解】解：根据柯西不等式得:_2222212x21_22_2_222x1,y222224222y8当且仅当x2,y1时，上述两不等式取等号所以.?HM2x1，.22-421y222-2y8因为xy3,所以了72

12、9;5附12、5'2453,52212x21、2242y2222x12y82xy95.55当且仅当x2,y1时，等号成立故答案为：3.5.【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值问题，解题的关键在于根据已知条件凑配使得R2k,再根据柯西不等式求解，考5查运算求解能力，是中档题14. 【分析】如图所示以为直径作圆延长交新圆于点交新圆于点首先证得将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果【详解】如图所示以为直径作圆延长交新圆于点交新圆于点连接则与解析：3"32【分析】如图所示，以ON为直径作圆，延长AO交新圆于E点，BO交新圆于F点，首先证得S.O

13、ABS,.OEB2SAOEF,将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.【详解】如图所示，以ON为直径作圆，延长AO交新圆于E点，BO交新圆于F点，连接FE,NF,则NF与OB垂直，又NB=NO，所以F为OB中点，由对称性可知OAOE,C1.S,0AB=,OAOBsinc1一.Soeb=OBOEsin八1-八AOBOBOEsinAOB2所以S.，oab.OEB2S.OEF因此当SOEF最大值时，S±OAB最大,故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形AABC的面积最大值,_1,一圆内接三角形的面积SaabsinC,由正弦定理得a2sinA,b

14、2sinB,S2sinAsinBsinC3sinAsinBsinC2-3由于fxsinx,x0,时为上凸函数,可得3sinAsinBsinC3-3sinABC3即S.ABC当且仅当A【点睛】c3时等号成立，西，故答案为史22本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题15.-24【分析】设z=由柯西不等式可求得z的最小值为【详解】设2=所以由柯西不等式即化简得而所以此时填-24【点睛】柯西不等式（1）设为实数则当且仅当时等号成立（2）若（）为实数则当且仅当（）或存在一解析：-24【分析】设z=8a23b22c2d2,由柯

15、西不等式-2，111、，.、2C(8a3b2c)(-)(abc),可求得23zd248d24,z的最小值为8312Clc、(d48d24)min.23【详解】设z=8a23b22c2d2,所以8a23b22c2zd2,22211122232由柯西不等式(8a23b22c2)(-)(abc)2,即(zd2)()(1d)2,83224化简得23zd248d24,而(d248d24)min2423,所以24,此时d24,8a3b2c24,填-24.【点睛】柯西不等式(1)设a,b,c,d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc时等号成立.(2)右a,bi(in)为实数，则2

16、222222(aa?an)(bb2bn)(aqa2b2anbn),当且仅当h0(in)或存在一个数k,使得aikb(in)时，等号成立.16.【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法正确；当时不成立说法错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x-2|+|y+2|?|（x-2）+（解析：【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可.【详解】逐一考查所给的四个说法：222222xyz32xyzx1y1z10,222则xyz32xyz,说法正确；当xy1时，L_y.>y不成立，说法错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x-2|+|y+

17、2|?|(x-2)+(y+2)|=|x+y|,说法正确;2221222xyzxyyzzxxyyzzx0,2贝Ux2y2z2xyyzzx,说法正确.综上可得，一定成立的不等式的序号是.【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17 .【解析】分析：根据柯西不等式将原式进行配凑并结合已知条件加以计算即可得到的最大值详解：根据柯西不等式可得当且仅当即时的最大值为18因此的最大值为点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题在解题的过解析：32【解析】分析：根据柯西不等式(x1ylx2y2x3y3)2(x12x22x32)(y

18、12y22y32),将原式进行配凑，并结合已知条件abc1加以计算，即可得到用FV3b-l痛的最大值.详解：根据柯西不等式，可得(3a13b13c1)2(13a11.3b11.'3c1)2(121212)(J3a1)2(J3b1)2(J3c1)2313(abc)318,.一.-1当且仅当43a1J3b1J3c1,即abc时，3(J3a1J3b1J3c1)2的最大值为18,因此J3a1J3b1J3c1的最大值为麻34.点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题，在解题的过程中，需要对柯西不等式的形式要熟悉，并能对式子进行正确的配凑，从而求得结果18 .【解析】试题分析：因为所以得当且仅

19、当即时有最小值考点：柯西不等式解析:14449试题分析：因为a,b,cR,abc1,所以111a124b29c24911a1-2b-3c23a124b29c2144tt_23u187,.当且仅当夕+14。一,即a,b,c时49494949222144a14b9c有最小值49考点：柯西不等式.19 .【解析】试题分析：所以原式转化为根据基本不等式所以原式等号成立的条件是所以求原式的最小值转化为求的最小值令当时函数单调递减当函数单调递减所以当时函数取得最小值当时取得最小值最小值等于考点：1基本不等-9解析：死【解析】试题分析：.二二-.，所以，原式转化为17i-A二-,所以原式-BC1+，根据基本

20、不等式,堂,襄一A“'14所以求原式的最小值转化为求一-A甯一A1i的最小值，ft八二-.令/Q)=o/+二，一时，尸(川。，函数单调递减，当,-，函数单调递减，所以当H=J时，函数取得最小值，当=三时，B=C二二，取得最小值，最小值等于3339无考点：1.基本不等式；2.导数研究函数的极值与最值.20 .(1)(2)见解析【解析】试题分析：(1)利用绝对值不等式的几何意义可得从而得的值；(2)利用柯西不等式即可证明试题解析:1 1)a3(2)见解析析】试题利用绝对值不等式的几何意义可得从而得a的值；2 )利用柯西不等式121212试题(1)因为3,当且仅当2时,所以x的最小值等于3,

21、即a3.(2)证明：由(1)知pqr3,又因为p,q,r是正实数,222,2,2,2pqr111222cpqr3.考点：绝对值的几何意义；不等式的证明三、解答题21.(1)4,0；(2)证明见解析(1)由X可得出答案;x14,分x3,3x1,x1三种情况，分别解不等式，进而(2)先求出fX的最小值,进而利用柯西不等式，可证明结论成立(1)fx4,即x3原不等式等价于14'解得0,综上,原不等式的解集为4,0.因为fX2,所以函数则正实数a,b,c,满足a2,由柯西不等式，可得2二J61a1"b2工11c16,当且仅当bc时，等号成立.4所以一a【点睛】本题考查绝对值不等式的解

22、法,力，属于中档题.考查不等式的证明，考查学生的推理能力与计算求解能22.(1)X|X7二或x23.、;(2)证明见解析.(1)当a2,段函数表示即可;1时，不等式化简得|x1|x3|5,结果分类讨论用分(2)由绝对值三角不等式可得f(x)|2xa|2xb|c14abbc)(ac),借鉴柯西不到abc2,接下来解法不唯一，可将原式先拼凑为1149一(ab)(b4abbcac2222222等式abcdefadbecf进行放缩即可求解；也可直接在第一ba八步的基础上，借鉴基本不等式一一2的形式进行化简，两两组合，再进一步放缩即可ab【详解】(1)当a2,b6,c1时，不等式f(x)2x22x611

23、1,化简彳导:|x1|x3|5,采用零点讨论法，设g(x)x1|x3,当x1时，gx2x2；当3x1时，gx4；当x1时，gx2x2；故g(x)2x2(x1)2x2(x1)4(3x1),由g(x)5,解得：x所以，不等式f(x)11的解集为x|x(2)因为f(x)|2xa|2xb|c2.函数f(x)的最小值为2,abc证法一：根据柯西不等式可得：149_11abbcac4ab9(ab)(bc)(ac)ac.ac)2=-36=94一40,c一时等式成立.3，1当且仅当：ab211综上，ab、,1证法二：ab9(ab)(bc)(ac)ac1彳/bc4(ab)ac9(ab)4(ac)9(bc)14+

24、4abbcabacbcac1一.八一八2.八4.一(14+4+6+12)=9,当且仅当a一，b0,c一等式成立.433综上,本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式的应用，柯西不等式及基本不等式的应用，其中柯西不等式的使用对于公式的理解和应用要求较高，基本不等式的使用要注意几种常见形式，形如：1 baab2Taba,bR,a-2a,bR，2ab0,解题时还需注意检验aab等号成立的条件23. (1)a1或a5;(2)证明见解析.【分析】(1)因为x3,所以fx3xxa,再分别求出a3和a3两种情况下fx的最小值，据此列式求解即可;(2)由(1)知a1或a【详解】5两种情况下，分别利用柯

25、西不等式进行证明(1)因为x3,所以x30,所以fxx3xa3xxa,2xa3,xa当a3时，fx,3a,ax3所以fx.fa3a,min由3a2,得a1；当a3时，fx2x3a,所以fxminf33a,由3a2,得a5;综上所述，a1或a5.(2)当a1时，则m2n1,所以5m2n21222m2n2m2n21,12当且仅当n2m即m,n时上式取等号；55当a5时，则m2n5,-222-222_2_所以5mn12mnm2n251,2时上式取等号;当且仅当n2m即m1,n22综上所述，5mn1.本题考查绝对值不等式及柯西不等式的应用，考查学生的计算分析能力，难度不大24. (1)3；(2)不存在，理由见解析.【分析】(1)化简函数f(x)|x1|x2|x2|,结合绝对值三角不等式，即可求解(2)若存在正实数a,b,c满足