很好的拉普拉斯变换讲解教学文案

1、很好的拉普拉斯变换讲解第7章拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用.本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用.7.1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算3N6.283器202(1.164)5是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为1 3lgNlg6.28-(lg5781lg9.82lg20)-lg1.1643 5,然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N.这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是

2、另一种化繁为简的做法.7.1.1拉氏变换的基本概念feptdt定义设函数f当t0时有定义，若广义积分0在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P),即F(P)f(t)eptdt0(7-1)称(7-1)式为函数f的拉氏变换式，用记号LfF(P)表示.函数F(P)称为f的拉氏变换(Laplace)(或称为f的象函数).函数f称为F(P)的拉氏逆变换(或称为F(P)象原函数)，记作11_LF(P)f(t),即f(t)LF(P).关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1)在定义中，只要求f在t0时有定义.为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在t0时，f(t)0.(2)在较

3、为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值.为了方便起见，本章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用.(3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换.一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的.例7-1求一次函数fat(tLatateptdt解0p00aeptdt丹ept0p0p0，a为常数)的拉氏变换.td(ept)atept0-eptdtpp0ap2(p0)7.1.2单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t0)进

4、入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i，以Q表示上述电路中的电量，则Q(t)0,t0,1,t0.120edtlimedt00lim10Lept011ep一limLmSim上1p01由于电流强度是电量对时间的变化率，即dQ(t)Q(tt)Q(t)i(t)limdtt0t,所以，当t0时，i(t)0；当t0时，Q(0t)Q(0).1.i(0)limlim()t0tt0t.上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度.为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数.定义0,t01(t)0t设0t，当0时，的极限(t)lim0(t)称为狄拉克(Dirac)函数，简称

5、为函数.当t。时，(t)的值为0；当t。时，的值为无穷大，即0,t0(t),t0.和的图形如图7-1和图7-2所示.即(t)dt-dt1(t)dt1显然，对任何0,有0，所以工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于1的有向线段来表示(如图7-2所示)，这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度.例7-2求的拉氏变换.解根据拉氏变换的定义，有1ZL(t)(t)epdt(lim-)epdtlim0000(t)1.u(t)例7-3求单位阶梯函数0,t01，t0的拉氏变换.ptpt1pt1Lu(t)u(t)epdt1epdtepo解00pp,(p例7-4求指数函数f(

6、t)eat(a为常数)的拉氏变换.1atatpt(pa)tLeeedtedt(pa)解00pa,即Leat(pa)pa0)Lsint类似可得,一-p2(p0)Lcost22(p0)p.p习题7-1求1-4题中函数的拉氏变换1. e2. f(t)召.3. f(t)/4. f(t)sin(t)(，是常数).7.2拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换.性质1(线性性质)若科,也是常数，且Lf1'(P),Lf2F2(p),则Laj1(t)a2f2(t)WL"。)a?Lf2&Fi(P)a2F2(p).(证明La#1(t)a2

7、f2(t)a1f1(t)a2f2(t)eptdta1f(t)eptdta2f2(t)eptdt000北匹azLKt)aFKp)a?F2(p)例7-5求下列函数的拉氏变换：f(t)工(1eat)(1)a；解(1)1at1at1L-(1e)-L1eL1aaaf(t)sintcostat111,Le-)appa1p(pa)1121LsintcostL-sin2t222p2p4性质2(平移性质)若LfF(P),则atLef(/F(Pa)(a为常数).(7-3)Leatfeatf(t)eptdtfe(pa)tdtF(pa)证明00位移性质表明：象原函数乘以eat等于其象函数左右平移a个单位.例7-6求L

8、teat,Leatsint和LeatcostLt解因为即得Lteat2Lsint2Lcost22p,p,p,由位移性质1一122，(pa)Leatsint2,(pa)Leatcostpa(pa)2性质3(滞后性质)若Lff(P),则Lf(ta)eapF(p)(a0)(7-4)证明aLf(ta)f(ta)eptdtf(ta)eptdtf(ta)eptdt0=0a,在拉氏变换的定义说明中已指出，当t0时，f0.因此，对于函数f(ta)，当ta0(即ta)时，f(ta)0,所以上式右端的第一个积分为0,对于第二个积分，令ta，则Lf(ta)f()ep(a)deapf()epdeapF(p)00滞后性

9、质指出：象函数乘以eap等于其象原函数的图形沿t轴向右平移a个单位(如图7-3所示).由于函数f(ta)是当ta时才有非零数值.故与f相比，在时间上滞后了一个a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质.在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在f(ta)这个函数上再乘u(ta),所以滞后性质也表小为Lu(ta)f(ta)eapF(p)例7-7求Lu(ta).Lu(ta)eap解因为Lup,由滞后性质得p.(Qf(t)(2)例7-8求Leu(t)Leat-Lea(t)u(t)e解因为pa,所以例7-9求下列函数的拉氏变换：Ci,0ta,f(t)f(t)(1)c2,at.(2)解(1)由图7-4容

10、易看出，当ta时,，(pa)3,0t2,1,2t4,0,4t.f的值是在G的基础上加上了c1),即(c2Ci)u(ta).故可把f写成Ciu(t)(C2G)u(ta),于是Lf(t)c1c_&eapPPaPc(。2G)ep仿(1),把f写成f羽4u(t2)u(t4),于是34e2pLf(t)pp我们可以用拉氏变换定义来验算例4p2p4pe34eepp7-9所得的结果.由例7-9看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子.f(t)例7-10已知0,t0c,0ta2c,at3a0,t3a，求Lf(t)解：如图7-5所示，f可用单位阶梯函数表示为f(t)cu(t)cu(tLf(t

11、)a)2cu(t3a)于是Lcu(t)cu(ta)2cu(t3a)ccap_c3ap一一e2一eppp由拉氏变换定义来验证：aLf(t)ceptdt0-(1eap2e3ap)p3a2cepdtacap(1ep2eap2e3ap)cap3ap、(1e2e)p性质4(微分性质)若Lf(t)F(p),并设f在0,+上连续，f为分段连续，则Lf(t)pF(p)f(0)(7-5)证明由拉氏变换定义及分部积分法，得Lf(t)f(t)eptdtf(t)eptoPf(t)eptdt001 iflimf(t)ept0可以证明，在Lf(t)存在的条件下，必有t.因此，Lf(t)0f(0)pLf(t)pF(p)f(

12、0)微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p,再减去函数的初始值.应用上述结果，对二阶导数可以推得2 _Lf(t)pLf(t)f(0)ppF(p)f(0)f(0)pF(p)pf(0)f(0)同理，可得一3一2一Lf(t)pF(p)pf(0)pf(0)f(0)以此类推，可得Lf(n)(t)pnF(p)pn1f(0)pn2f(0)f(n1)(0)(7.6由此可见，f各阶导数的拉氏变换可以由p的乘方与象函数F(p)的代数式表示出来.特别是当初值f(0)f'(0)'a%。)0时，有更简单的结果Lf(n)(t)pnF(p),(n1,2,).(7-7利用这个性

13、质，可将f的微分方程转化为F(p)的代数方程.例7-11利用微分心解令f(t)sint式，得2.Lsin即移项化简得cost利用上述结果，1LcostL(sin斤求Lsint和Lcost则f(0)0,f(0),ftLf(t)p2Lf(t)2LsintpLsintLsint-2p(sint)及(7-5)1t)L(sint)p22022,sint,由7-6pf(0)f(0)式，可得1，、pLsintsin0p2性质5(积分性质)若LfF(p)(p0),且设f连续，则tLf(x)dx0F(p)p(7-8)(t)证明令得L(t)pL(t)tf(x)dx0,显见(0)0,且因(t)f，由微分性质,(0)

14、而L(t)Lf(t)F(p),所以有F(p)pL(t)tpLf(x)dxL0,即.1f(x)dx-F(p)p积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换,以参数p.等于这个函数的象函数除例7-12求Ltn(tt1dx,解因为0以由(7-8)式即得n是正整数).t2t2xdx,0t33x2dxtntnnxdx,所LttL1dx0支p1pLt2L2txdx0p2LtLt3L3tx2dx0p-23Ltp1!2,p2!33,p3!4,p般地，有LtnLntn1-Ixdt0Lf(t)nLtnpF(p)1Lf(t)F(p)Lf(t)F(p)例7-13求LtsintLsint解因为Ltsintn!n1pLf(a

15、t)F(-)a(7-9)(1)Ltnf(t)f(t)t存在，则L*1)nF(p)F(p)dpp由(7-10)式可得包()2p1(22)/22、2dpp(p)(7-10)(7-11)1sintLsintlim吧1解因为p1,而且t0t,所以由(7-11)式可得sint1L-dparctgp|p-arctgptpp12snteptdtarctgp即0t2.因此，当p0时，得到一个广义积分的值则出0t2这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的.现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下：表7-1拉氏变换的性质厅P设Lf(t)F(p)1La#1a2f2(t)邛"

16、;azLf。)2at_Lef(t)F(pa)3Lf(ta)u(ta)eapF(p)(a>0)4Lf'(t)pF(p)f(0)Lf(n)(t)pnF(p)pn1f(0)pn2f'(0).f(n1)(0)5Lf(x)dxF0p6Lf(at)工F(卫)aa(a>0)7Ltnf(t)(1)nF(n)(p)8Lf(t)F(p)dptp表7-2常用函数的拉斯变换表厅pf(t)F(p)1(t)12u(t)Jp3t12p4tn(n1,2,.)n!n1p5ate1pa6aat1eaP(Pa)7,atte1(Pa)28natte(n1,2,)n!n1(Pa)9sint22P10cost

17、p22P11sin(t)psincos22P12cos(t)pcossin22P13tsint2P(P22)214sinttcost23z22、2(P)15tcost22p(p22)216at.,esint(Pa)2217eatcostPa(Pa)22181、(1cosat)a122P(Pa)19.atbteeab(Pa)(pb)202户P、1'P2111/p习题7-2求5-12题中函数的拉氏变换4t53e65sin2t3cost7sln2tcos2t8sln3t.0t4,t4.I。0t2,2t4,4t.12.f(t)f(t)sint,0tt,t.natte7.3拉氏变换的逆运算前面我

18、们主要讨论了怎样由已知函数f求它的象函数F（p）的问题.运算法的另一面是已知象函数F（p）要求它的象原函数f（t）,这就是拉斯逆变换问题.同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出.1LaF1(p)a2F2(p)性质2（平移性质）性质3（滞后性质）a1L1F1(p)1_LF(pa)L1eapF(p)a2L1F2(p)eatL1F(p)f(ta)u(ta1f1(t)a2f2(t)eatf(t)a)性质1（线性性质）例7-15求下列象函数的逆变换:F(p)(1)F(p)(3)1p3.2p52-p(4)F(p)F(p)解（1）将a3代入表二（5）,得f(t)1(p2)3.4P3p24L1p3t3

19、e（2）由性质2及表二（4）,得11f(t)L13(p2)3(3)由性质1及表二12p5f(t)L12-p1.22tte22t,1r1ieL-p(2)、(3)2L2，行11r25tp工5Lp2te（4）由性质1及表二（9）、14p3f(t)L匕p4F(p)例7-16求1p4L-p42p3(10),得312-L2p44cos2t3一sin2t22p2P5的逆变换.f(t)L解2L13(p1)2412p3.12(p1)5p22p5(p1)242e，L1，5t1-el42*2etcos2t5e，sin2t2et2cos2t-sin2t2用待定系数法求得A-1_17f(t)L1F(p)L1-P26,所

20、以7L1-P2P12P95P6L176P2P3,于是-7e2t6e3tP3F(P)例7-18求3,2p4P4P的逆变换.在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数.p9J(P)-2P«一例7-17求p5p6的逆变换.解先将F(P)分解为两个最简分式之和：解先将F(P)分解为几个简单分式之和:用待定系数法求得P34p24PP(P2)34CC(P2)2F(p)p34p24P1234P所以34P2(P2)2于是2tf(t)113L1F(p)L1-4P1P2(P2)

21、21te2t23l114P3l4(P2)2习题7-3求13-18题中函数的拉氏逆变换2F(p)F(p)13.p3.14.4Pp216F(p)15.F(p)17.2p8-2rrp36.16p22p36p29pF(p)1p(p1)(p2)F(p)18.p212P(P1)7.4拉氏变换应用举例下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用.例7-19求微分方程x(t)2x(t)0满足初值条件x(0)3的解.解第一步对方程两边取拉氏变换，并设Lx(t)X(p)：Lx'(t)2x(t)L0Lx(t)2Lx(t)0pX(p)x(0)2X(p)0将初始条件x(0)3代入上式，得(p2)X(p)3这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程.3第二步解出X(p):X(0=p2.11342tx(t)LX(p)L-3e第三步求象函数的拉氏逆变换：p2.2t这样就得到了微分方程的解x(t)3e.由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程