第1课时双曲线简单性质

1、3.2 双曲线的简单性质 第1课时 双曲线的简单性质 oyxF1F2A1A2B2B1标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率22221(0)xyababaxa byb 对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点A1,A2,B1,B201cea(-c,0)(c,0)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) 有一首歌有一首歌, ,名字叫做名字叫做悲伤双曲线悲伤双曲线, ,歌词如下歌词如下: :如果如果我是双曲线我是双曲线, ,你就是那渐近线你就是那渐近线. .如果我是反比例函数如果我是反比例函数, ,你你就是那坐标轴就是那坐标轴. .虽然我们有缘虽然我们有缘, ,

2、能够生在同一个平面能够生在同一个平面. .然然而我们又无缘而我们又无缘, ,漫漫长路无交点漫漫长路无交点. .为何看不见为何看不见, ,等式成立等式成立要条件要条件. .难道正如书上说的难道正如书上说的, ,无限接近不能达到？为何无限接近不能达到？为何看不见看不见, ,明月也有阴晴圆缺明月也有阴晴圆缺, ,此事古难全此事古难全, ,但愿千里共婵但愿千里共婵娟娟. . 这是一首情歌这是一首情歌, ,有意思的是其歌词形象地利用了双有意思的是其歌词形象地利用了双曲线中的简单几何性质曲线中的简单几何性质. .双曲线到底有哪些迷人的几何双曲线到底有哪些迷人的几何性质性质, ,让我们一起来探讨吧让我们一起

3、来探讨吧! !1.1.会根据双曲线的标准方程研究双曲线的范围、对会根据双曲线的标准方程研究双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质. .（重点（重点, ,难点）难点）2.2.能根据双曲线的标准方程求双曲线的几何性质能根据双曲线的标准方程求双曲线的几何性质. .（重点）（重点） 类比椭圆几何性质的研究方法，我们根据双曲线类比椭圆几何性质的研究方法，我们根据双曲线的标准方程的标准方程 得出双曲线的范围、得出双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质？对称性、顶点等几何性质？22221(0,0)xyabab一、范围一、范围22221(0)xyabab,axa

4、 byb 22221(0,0)xyababxaxa 或22222211,xyxaxaab 即yRyxA1F1F2OA2yxF1F2OA2B2A1B122221(0)xyabab对称轴：对称轴： x轴、轴、y轴轴.对称中心对称中心: 原点原点 (椭圆椭圆的中心的中心)22221(0,0)xyabab 用用-y代替代替y, 方程不变方程不变对称轴：对称轴： x轴、轴、y轴轴.对称中心对称中心: 原点（双原点（双曲线的中心）曲线的中心） 用用-x代替代替x, 方程不变方程不变用用-x、-y代替代替x、y, 方程不变方程不变yxF1F2OA2B2A1B1yxA1F1F2OA2二、对称性二、对称性222

5、21(0)xyabab实轴实轴 : A1A2 虚轴虚轴 : B1B2 : A1(-a,0), A2(a,0) B1 ( 0,-b), B2( 0 ,b)长轴长长轴长 =2a , 短轴长短轴长=2b实轴长实轴长 =2a 虚轴长虚轴长=2b22221(0,0)xyabab顶点顶点 : A1(-a,0), A2(a,0)220yxaxa 令得即220 xyb 令得长半轴长长半轴长 = a , 短半轴长短半轴长= b实半轴长实半轴长 = a 虚半轴长虚半轴长= b12(0,),(0, )Bb Bb设长轴长轴 A1A2，短轴，短轴 B1B2yxF1F2OA2B2A1B1xyB1B2OF2F1A2A1三、

6、顶点三、顶点22221(0)xyabab22221(0,0)xyababcea离心率：01)e（(1)e cea离心率：yxF1F2OA2B2A1B1xyB1B2OF2F1A2A1四、离心率四、离心率,cea222,caba b c e在 , , , 四个参数中，知二可求二（1 1）等轴双曲线的离心率）等轴双曲线的离心率e= ?e= ?2( 2 )2e离心率的双曲线是等轴双曲线,根据以上几何性质能够较准确地画出椭圆的图形根据以上几何性质能够较准确地画出椭圆的图形y yx xF F1 1F F2 2O OA A2 2B B2 2A A1 1B B1 1思考：思考：根据以上几何性质能否较准根据以上

7、几何性质能否较准确地画出双曲线的图形呢？确地画出双曲线的图形呢？C2C1xyOC3思考思考: : 双曲线向远处伸展时有什么规律双曲线向远处伸展时有什么规律? ? . xaby . xabyyyxx1yx1yx 五、渐近线五、渐近线OO思考思考: : 双曲线向远处伸展时有什么规律双曲线向远处伸展时有什么规律? ? .byxa猜想为双曲线的渐近线22221,xyab因为2222,0,1.abaxyxxaxbyxa 当时与直线无限接近22221. bbayxaxaax所以. xaby . xabyMQ 0.MxMQbMyxa则点向远处运动， 随着增大，就逐渐减小，点就无限接近于直线002222220

8、0(,)1M xyxyabbbyxaMyxaa设为第一象限内双曲线上的任一点，则.到直线的距离为22000022222002200()bxb xabxayMQcabbbaxxaccxxaxyB1B2OF2F1A2A1. xaby . xabyMQ 22222222,11.cabbcaceaaa 1.由等式可得xyB1B2OF2F1A2A122(0.) xymxmy2.等轴双曲线的渐近线为bea因此 越大， 也越大，.,.这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知 双曲线的它离心率越大开口就越大的x a或xayay a或(,0)a(0,)abyxaayxbcea关于关于坐标坐标轴和轴和原点原点

9、都对都对称称性性质质双曲线双曲线22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab范围范围对称对称 性性 顶点顶点 渐近渐近 线线离心离心 率率图像图像222cab其中其中例例1:1:求双曲线求双曲线的实轴长、虚轴长、的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程.解解: :由题意可得由题意可得实轴长实轴长:2a=4,:2a=4,虚轴长虚轴长: :焦点坐标焦点坐标: :离心率离心率: :渐近线方程渐近线方程: :3.2 yx22143xy22 3b，(7,0),( 7,0). 72cea，顶点坐标顶点坐标: :(-2,0)(-2,0

10、)，(2,0).(2,0).【变式练习变式练习】求双曲线求双曲线16x16x2 29y9y2 2144144的实轴长、虚轴长、焦点的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标坐标、离心率、顶点坐标. .解析：解析：把方程把方程16x16x2 29y9y2 2144144化为标准方程得化为标准方程得由此可知，实轴长由此可知，实轴长2a2a8 8，虚轴长虚轴长2b2b6 6，c c焦点坐标为焦点坐标为(0(0，5)5)，(0,5)(0,5)；离心率离心率e e顶点坐标为顶点坐标为(0(0，4)4)，(0,4).(0,4).2222yx143，22ab5.c5a4 ；1.1.双曲线双曲线 的渐近线方

11、程为（的渐近线方程为（ ）22149xyA.A.23yx B.B.49yx C.C.32yx D.D.94yx C C22221xyab22.2.如果双曲线如果双曲线 的两条渐近线互相垂的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为直，则双曲线的离心率为_3.3.双曲线双曲线x x2 2+ky+ky2 2=1=1的离心率为的离心率为2 2，则实数，则实数k k的值为的值为( )( ) A.-3 B.- C.3 D. A.-3 B.- C.3 D. 【解析解析】双曲线方程可化为双曲线方程可化为 则则a a2 2=1,=1,131322yx1,1k2221cbb,e1,kaa1112,k.k3 又离心率

12、B B4.4.中心在原点，实轴长为中心在原点，实轴长为1010，虚轴长为，虚轴长为6 6的双曲线的双曲线的标准方程为（的标准方程为（ ）A.A.221259xyC.C.22110064xyB.B.221259xy221259yx或或D.D.22110064xy22110064yx或或B B5.5.双曲线双曲线 的虚轴长是实轴长的的虚轴长是实轴长的2 2倍，则倍，则m m的值为的值为_._.221mxy146.(20116.(2011山东高考山东高考) )已知双曲线已知双曲线 =1(a=1(a0,b0,b0)0)和椭圆和椭圆 =1=1有相同的焦点，且双曲线的离心率有相同的焦点，且双曲线的离心率是

13、椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_._.2222xyab22xy169【解析解析】由题意知双曲线的焦点为由题意知双曲线的焦点为(- ,0)(- ,0)、( ,0)( ,0)，即，即c= ,c= ,又因为双曲线的离心率又因为双曲线的离心率为为 ，所以，所以a=2,a=2,故故b b2 2=3, =3, 双曲线的方程为双曲线的方程为7772 7422xy1.4322xy143双曲线的几何性质双曲线的几何性质标准方标准方程程 性性质质 图形图形 焦点焦点 2222xy1ab(a0b0) ，2222yx1ab(a0b0) ， F F1 1(-c(-c，0)0)，F F2 2(c,0)(c,0) F F1 1(0(0，-c)-c)，F F2 2(0(0，c) c) 性性质质 焦距焦距范围范围对称性对称性顶点顶点轴轴离心率离心率渐近线渐近线x-ax-a或或xaxa，yRyRy-ay-a或或yaya，xRxR对称轴：坐标轴；对称中心：原点对称轴：坐标轴；对称中心：原点ce(1,)abyxa ayxb A A1 1(-a,0)(-a,0)，