广东高三上学期四校联考数学理答案

1、广东省2010届高三上学期四校联考数学（理科）答案及说明说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数.、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题次234567

2、81答案BCACBCDD二、填空题：本大题共7小题,考生彳答6小题，每小题5分，共30分.,一，29.4；10.12；11.0或；12.30；13.一4；14.4；15.xy3=0.3三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题满分12分)I11尸吊4已知向量a=(cos8x+J3sin8x,1),b=(f(x),cosccx),其中co>0,且a/b,又函3数f(x)的图像两相邻对称轴之间的距离为3%.2(1)求切的值；5二(2)求函数f(x)在区间国一上的取大值与取小值及相应的x值.一2一才,：解：(1),a/b,f(x)=cosx(co

3、sx-3sinx)=1cos2x3sin2x1,_，冗=一+sin(26x+).26,r2兀1由题意，函数f(x)的最小正周期为3冗，又切0,工3后七二=.23一、1,2二、(2)由(1)知f(x)=一+sin(x+),236-5：'.I2.5二11二*x仁In1,_x+uI1_,23x6_6,6,2 二5二,当x+=，即X=n时，f(x)取得最大值1,9分3 66.2二9一1当一x+=，即x=2n时，f(x)取得取小值一.12分366217.(本小题满分12分)某休闲会馆拟举行“五一”庆祝活动，每位来宾交30元的入场费，可参加一次抽奖活动抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为1,2,3

4、,4,5,6的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球的分值之和为12分，则获得价值为m元的礼品；若抽得两球的分值之和为11分或10分，则获得价值为100元的礼品；若抽得两球的分值之和低于10分，则不获奖.(1)求每位会员获奖的概率;(2)假设这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则m应为多少元?解：(1)两次抽取的球的分值构成的有序数对共有36对，其中分彳1之和为12的有1对，分值之和为11的有两对，分值之和为10的有3对，所以每位会员获奖的概率为1231P=366(2)设每位来宾抽奖后，休闲宾馆的获利的元数为随机变量则之的可能取值为30m、一70、30.5分P&#

5、171;7-30-m)-,36235P(=-70)=,36365P=30)=1-P(=-70)-P(=30m)=一,6.155580一m则兵馆狄利的期望为E-=(30一m)+x(-70)十一父30=.3636636若这次活动会馆既不赔钱也不赚钱，则E1=0,即580一m=0,3611分所以，m=580.“一一，1答：(1)每位会员获奖的概率为一；(2)m应为580兀.12分618.(本小题满分14分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=J2,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证：AM/平面BDE;(2)求二面角A-DFB的大小；(3)试问：在线段AC上是否存在一点

6、P,使得直线PF与AD所成角为60°?解：方法一：(1)记AC与BD的交点为O,连接OE,O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形,四边形AOEM是平行四边形，AM/OE.OE仁平面BDE,AM也平面BDE,AM/平面BDE.(2)在平面AFD中过A作AS_LDF于S,连结BS,AAB_LAF,AB_LAD,ADAF=A,:AB，平面ADF,AB±DF,又ABAS=A，:DF_L平面ABS_DF_LBS,，NASB是二面角A-DFB的平面角.6分在RtAASB中，AS=直，AB=tan/ASB=B=V3/ASB=603AS.二面角A-DFB的大小为60s(3)设&

7、;t=(0<t<2),#PQ_LAB于Q,则PQ/AD,E.PQ_LAB,PQ_LAF,ABAF=A,PQ，平面ABF,QFu平面ABF,.PQ_LQF.在RtAPQF中，ZFPQ=60°,PF=2PQ.2APAQ为等腰直角三角形，PQ=(2-t).2又APAF为直角三角形，PF=v'(2-t)2+1,J(2-t)2+1=2-(2t),.t=1或t=3(舍去).214分.点P是AC的中点.方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.设ACQBD=N，连接NE,则点N、E的坐标分别是(,0)>(0,0,1),.NE=(-,-2,1),2222又点A、M的坐标分

8、别是（J2,y'2°）、（/，三2,1），二aM=（01）NE=aM且NE与AM不共线，.二NE/AM.又.NEu平面BDE,AM0平面BDE,AM/平面BDF.(2)'AB1AF,AB_LAD,AFnAD=A,.AB，平面ADF.AB=(J2,0,0)为平面DAF的法向量.NEM=（走走,1）（四,四,0）=0,22靠指_/2.2,2,2NENF-(-，,1)(,1)=0,2222得NE_DB,NE_NFNE为平面BDFcos<AB,NE>=1,-AB与NE的夹角是600.2即所求二面角ADFB的大小是60t9分(3)设P(t,t,0)(0<t&l

9、t;72),得PF=(V2-t,V2-t,1),.DA=(0,V2,0),(，2-t)2又PF和AD所成的角是60°.acos60、下,.(2-t)2(2-t)212解得t14分.2,3,2或t=（舍去），即点P是AC的中点.19.（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD中，AD_LAB,BC_LAB,AD=3,AB=4,BC=J3,点E在线段AB的延长线上.曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等.(1)建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；(2)试问：过点C能否作一条直线l与曲线段DE相交于两点M、N,使得线段MN以C为中点？若能，则求直线l的方程；若不能，则说明理

10、由.解：(1)以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2,0),B(2,0),C(2,73),D(-2,3).14AAD+BD=3+5=8aAB,二依题意，曲线段DE是以A、B为左、右焦点，长轴长为的椭圆的一部分.3二22xV故曲线段DE的万程为+2=1(x之2,y之0).6分1612(2)设这样的直线l存在，由直线x=2与曲线段DE只有一个交点(0,3),知直线l存在斜率，设直线l的方程为yJ3=k(x2)，即y=k(x2)+J3,22将其代入a+工=1得1612(3+4k2)x2+(8向k16k2)x+16k216a36=09分设M(x,y1)，N(x2

11、,y2)，则由x1x2c.,8x3k-16k2312分=2,知x1+x2=4;.2=4,斛得k=234k22.32一一当k=时，万程化为：x-4x=0,解得x1=0,x2=4.2即M(0,2黔,N(4,0),适合条件.14分3一故直线l存在，其万程为y=、3x+2j3,即J3x+2y43=0.220.(本小题满分14分)已知函数f(x)=ln(1+x2)+ax,其中a为不大于零的常数讨论f(x)的单调性;11.1*(2)求证：(1+)(1+)(1+f)<e(nWN,e为自然对数的底数).242n22xax2xa八解：(1)f'(x)=2+a=2.1分1x1x当a=0时，：f

12、9;(x)>0u2xA0,f'(x)<0u2x<0,.f(x)在(0,收弹调递增，在(g,0弹调递减；3分a:0，即aM-1时，f(x0对xwR恒成立.<0二f(x)在(-,")上单调递减;当1<ac0时,-11-a-1-.1-a:二x:aa2ax2xa:0=乂父.伊山才或*>一.a2aa-11-a2-1-l1-a2:“乂)在(,)上单调递增,一1一？1-a2-1一：/1-a2,在(血,)和(，依)上单调递减;aa综上所述，当aM-1时，f(x)在(，,依)上单调递减，当1<a<0时，f(x)在(-1)"-1,-1-%

13、'1-1)上单调递增,aa-1.1-a2-1-1-a2工在5a)和(L-a-,+s)上单调递减.aa当a=0时，f(x)在9y泮调递增，在(-馅,0)上单调递减.8分(2)由(1)知，当a=-1时，f(x)在(_8,十g比单调递减,当xW(0,y阳，由f(x)<f(0)=0得ln(1+x2)<x10分111111ln(1-2)(1三).(1F)=ln(1三)ln(1方)ln(1)24224221.(本小题满分14分)设an是关于x的方程xn十nx1=0(nwN*,xw(0,")的根.试证明:(1)anW(0,1)；(2)(3) a；+a22+IH+a；<1.

14、证明：(1)设f(x)=xn+nx1,f(0)=1<0,f(1)=n>0,且函数f(x)的图象在(0,)上是连续的，二f(x)在(0,1)上至少有一个零点，即方程xn+nx1=0在(0,1)内至少有一个根.3分'x(0,+=c),f(x)=nxn_L+n>0,f(x)在(0,收)上是增函数.二方程xn+nx1=0在(0,十整)内有唯一根，且根在(0,1)内，即4w(0,1).5分方法一：fd)31)"A0,f(')=(')n+。1=(')n,M0,nnn1n1n1n1n1且函数f(x)的图象在(0,+B)上是连续的，1111,一,.一二f(x)在,一)内至少有一个零点，即万程xn+nx1=0在，一)内至少有一个根.n-1nn1n又由(1)知函数f(x)在(0,依)上单调递增，n1111二方程x+nx1=0在,一）内有唯一根，<an<8分n1nn1n1.1“-an+<-,an+<an2n1方法二：由(1)知，ann+nan1=0,an由n*+(n+1)an41=0,两式相减得:an+n41+(n+1)an+annnan=0,若存在nWN1使得an中至an,则an+至anAann,从而an+n*+(n+1)an书-ann-nan>(n+1)an噂一annnan=an由-ann+nan由一nan