D13函数的极限04121PPT学习教案

1、会计学1D13函数的极限函数的极限041211. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 ,要求 Ax2确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx第1页/共23页)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xUx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0极限存在函数局部有界(P36定理2) 这表明: AA几何解释几何解释:OAx0

2、xy)(xfy 第2页/共23页)(lim0为常数CCCxx证证:Axf)(CC 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0CC因此CCxx0lim总有第3页/共23页1)12(lim1xx证证:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时, 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx第4页/共23页211lim21xxx证证:Axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x第5页/共23页00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且.0 x而0 x可用0 xx因此,)( A

3、xf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有Ox0 xx第6页/共23页左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P39 题*11 )Ax0 xy)(xfy 0 x0 x第7页/共23页例例5. 给定函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨

4、论 0 x时)(xf的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以不存在 .xyO11 xy11 xy第8页/共23页定理定理1 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xUx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 xU当时, 有.)(AxfA当 A 0 时, 取正数,A则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(A则存在( A 0 ),(0 xU),(0 xUx),(0 xU(P37定理3)0(AA0 x0 xAx0

5、xy)(xfy O第9页/共23页|)(|)(| )(|AxfAAxfAxf若取,2A存在邻域 若,0)(lim0Axfxx则存在使当时, 有.2)(Axf2|A-)(|Axf),(0 xU, ),(0 xU),(0 xUx(P37定理3)分析分析:AA0 x0 xAx0 xy)(xfy O有2|A|)(| )(|AxfAxf第10页/共23页0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx则. 0A)0(A证证: 用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 ,使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0A(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的条件

6、改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 A 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf第11页/共23页,0,0当当时时, 有有 Axf)(Axfxx)(lim0,0X,)(,AxfXx有时当,0Axfx)(limXxXx或AxfA)(XXAAOxy)(xfy A几何解释几何解释:|00 xx第12页/共23页Axfx)(lim则：直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .第13页/共23页. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平渐近线为xyyOxyxy1第14页/共

7、23页Axfx)(lim,0,0X当当Xx 时时, 有有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当当Xx时时, 有有 Axf)(XXAAOxy)(xfy A第15页/共23页Oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直线直线 y = A 仍是曲线仍是曲线 y = f (x) 的渐近线的渐近线 .几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线都有水平渐近线. 1y又如，Oxyx21x21Axfx)(limAxfx)(lim第16页/共23页函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理1. Axfxx)(lim0:nx,0 x

8、xn有定义,),(0nxxn任意Axfnn)(lim为确定起见 , 仅讨论的情形.0 xx 有)(nxfxnx第17页/共23页定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且设,)(lim0Axfxx即,0,0当,00时xx有.)( Axf:nx)(,0nnxfxx 有定义 , 且, )(0nxxn对上述 ,Nn 时, 有,00 xxn于是当Nn 时.)( Axfn故Axfnn)(lim.)(limAxfnn有证：证：当 xyA,N“ ”“ ”0 xO第18页/共23页定理定理1.Axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且.)(limAxfnn有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf)(x)(nx第19页/共23页例例1. 证明xx1sinlim0不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列21nxn及221nxn有nnx1sinlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn第20页/共23页1. 函数极限的或X定义及应用2. 函数极限的性质: