最全通项公式求法(你值得拥有!)

1、类型一类型一 观察法：观察法：已知前几项，写通项公式已知前几项，写通项公式一、普通数列：一、普通数列：121211 2 - - , - 32532 7 77 777 77773 ba b a（ ） ， ，（） ， ， ，（） ， ，12( 1)nnan 7(101)9nna ( 1)22nnababa 方法规律总结：方法规律总结：1.正负号用正负号用(-1)n或或(-1)n+1来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。

2、2.如如0.7，0.77,0.777类的数列，要用类的数列，要用“归九法归九法”3.两个循环的数列是两个循环的数列是0,1,0,1的变形。可以拆成一个常数列的变形。可以拆成一个常数列b,b,b,b与与0,a-b,0,a-b.的和，分别写通项然后相加再化简。的和，分别写通项然后相加再化简。类型二、类型二、前前n项和法项和法 已知前已知前n项和，求通项公式项和，求通项公式11 (1) (2)nnnSnaSSn 设设an的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足Sn=n2+2n-1,求求an n的通项公式的通项公式.例例2：设数列设数列an满足满足a1=1, an=-SnSn-1(n2，nN*）求求a

3、n n的通项公式的通项公式.例例3：2 1 21 2nnann 1 1 1 2(1)nnann n 提示：把提示：把an代换成代换成Sn-Sn-1设各项正数数列设各项正数数列an的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足2Sn= an+1/ an，求求an n的通项公式的通项公式。( (有点难哦！有点难哦！) )练习：练习：1nann 例例2：在在an中，已知中，已知a1=1,an=an-1+n (n2),求通项求通项an.练：练： 111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中, ,证证明明：类型一、类型一、累加法累加法 形如形如 的递推式的递推式1( )nnaaf n1

4、1223343221 1 2 3 . 3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1) =1+2 an 得得二、递推数列：二、递推数列：条件：条件：f（1）+ f（2）+ f（n-1）的和要可以求出才可用）的和要可以求出才可用例例4： 12,3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通项项练：练： 122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通项项类型二、类型二、累乘法累乘法形如形如 的递推式的递推式1( )nnaf na123412312342322123211 3, 3, 3, 3

5、. 3 , 3 3 3333 2 3nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 解解：以以上上各各式式相相乘乘得得1 2 3( -1)( -1)2( -1)2 2 3 2 3nn nn nna 条件：条件：f（1）f（2） f（n-1）的积要可以求出才可用）的积要可以求出才可用例例5： 111,21 .nnnnaaaaa 数数列列满满足足, 求, 求类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式1( )nnapaf n分析：构造等比分析：构造等比数列数列an+x，若可以观察，若可以观察x值更好值更好1 1、形如、形如1nnapaq通用方法：通用方法：待定系数法待定系数法2 2、形如

6、、形如1nnapaAn B类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式1( )nnapaf n分析：构造等比分析：构造等比数列数列an+kn+b，3 3、形如、形如21nnapaAnBnC类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式1( )nnapaf n分析：构造等比分析：构造等比数列数列an+xn2+yn+z，4 4、形如、形如1nnnapaAqB类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式1( )nnapaf n分析：构造等比分析：构造等比数列数列an+xqn+y，例例6： 111,21nnnnnaaaaaa 数数 列列满满 足足 : :求求通通 项项 公公 式式取倒法取倒法构造辅助数列构造辅

7、助数列类型四、形如类型四、形如 的递推式的递推式1nnnpaaqar111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列111(1)221 21nnnnnaaan 类型五、（类型五、（1）形如）形如 的递推式的递推式11nnnaAaB A例例7： 1113,33,nnnnaaaaa n n数数列列满满足足: :求求通通项项公公式式. .11111 33 133 133 -11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列（） 相除法

8、相除法类型五、（类型五、（2）形如）形如 的递推式的递推式11nnnaAaB C相除法相除法11-3,35 2nnnaaaa n n 1 1求求变式：变式：类型五、（类型五、（3）形如）形如 的递推式的递推式11nnnnapaqaa例例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1 (-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以为为首首项项，以以为为公公差差的的等等差差数数列列（）两边同除以两边同除以an+1an相除法相除法类型六、（类型六、（1）形如）形如 的递推式的递推式1rnnapa分析

9、：取对数分析：取对数后后构造等比构造等比数列数列分析：分析：先先转化转化后后取对数取对数再再构造等比构造等比数列数列类型六、（类型六、（2）形如）形如 递推式递推式1()rnnaxp ax 类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根法、不动点法（一）理论部分：（一）理论部分：21nnnapaqa类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根法、不动点法（一）理论部分：（一）理论部分：1nnnpaqarah类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根法、不动点法（二）特征根法：（二）特征根法：特征根解法如下：特征根解法如下：试求斐波那契数列（兔子数列）：试求斐波那契数列（兔子数列）：1,1,2,3,5,8,

10、13,21,34,55,89 的通项公式的通项公式类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根法、不动点法（三）不动点法：（三）不动点法：类型七、特征根法、不动点法类型七、特征根法、不动点法（三）不动点法：（三）不动点法：不动点法理论纯字母推导比较难，看一个具体的例题，帮助理解不动点法理论纯字母推导比较难，看一个具体的例题，帮助理解特征根法对待定系数的妙用：特征根法对待定系数的妙用：类型八、其他方法类型八、其他方法（一）开方、平方法（一）开方、平方法 求递推数列的通项的主要思路是通过转化求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知构造新的熟知数列数列,使问题化陌生为熟悉使问题化陌生为熟悉.

11、我们要根据不同的递推关系式我们要根据不同的递推关系式,采取采取不同的变形手段不同的变形手段,从而达到转化的目的从而达到转化的目的. 类型八、其他方法类型八、其他方法（二）裂项叠加法（二）裂项叠加法类型八、其他方法类型八、其他方法（三）换元法（三）换元法类型类型方法方法1、已知前几项、已知前几项观察法观察法2、已知前、已知前n项和项和Sn前前n项和法项和法3、形如、形如 的递推式的递推式累加法累加法4、形如、形如 的递推式的递推式累乘法累乘法5、形如、形如 的递推式的递推式待定系数法待定系数法6、形如、形如 的递推式的递推式取倒法取倒法7、形如、形如 的递推式的递推式相除法相除法8、形如、形如 的递