四章平稳过程ppt课件

1、第四章 平稳过程v在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。v例如，飞机在某一程度高度h上飞行时，由于遭到气流的影响，实践飞行高度H(t)总是在实际设计高度h程度上下随机动摇，此时飞机的实践飞行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。v此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时，它应不随时间的推移而变幻无常。例如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过程，因此我们在任何时间进展测试都能得到一样的结果。4.1 4.

2、1 定义和例子定义和例子v定义严平稳随机过程：对于恣意的定义严平稳随机过程：对于恣意的t，随机过程，随机过程X(t)的恣意的恣意n维概密度都有维概密度都有 v v 那么称那么称X(t)为严平稳随机过程。为严平稳随机过程。v 研讨平稳过程的意义在于：该过程在任何时辰研讨平稳过程的意义在于：该过程在任何时辰计算它的统计结果都是一样的。由定义知平稳随计算它的统计结果都是一样的。由定义知平稳随机过程的机过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这维概度密度函数不随时间而变化，这一特性详细反映在随机过程的一、二维概率密度一特性详细反映在随机过程的一、二维概率密度及数字特征方面具有如下性质：及数字特征方面具有

3、如下性质：12121212( ,; , , )( ,)XnnXnnPx xx t ttPx xx tttv性质性质4.1 假设假设X(t)为平衡过程，那么它的一为平衡过程，那么它的一维概率密度与时间无关维概率密度与时间无关v 证证 设设X(t)的一维概率密度函数为的一维概率密度函数为 ，由于由于X(t)为平稳过程为平稳过程v v令令 那么那么 v 由此我们可求平稳过程由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方的均值、均方值、方差。值、方差。11( ; )XPx t1111( ; )( ;)XXPx tPx t1t 1111( ; )( ;0)( )XXXPx tPxPx222111( )()XX

4、E XtX Px dx 2221112222( )( )()()( )( )XXXXXxD X tE X tMxMPxdxE XtEX tM 显然，X(t)的均方值、方差都与时间t无关 。由此知，当随机过程为平稳过程时，该过程的一切样本函数总是它们均值程度直线上下动摇，样本曲线偏离程度直线的幅度正好是( )XD X x。如图4.1所示，图中细实线表示随机过程的样本函数，粗实线表示随机过程的数学期望，虚线表示随机过程对数学期望的偏向。v性质性质4.2 平稳过程平稳过程X(t)的二维概率密度只的二维概率密度只v与与 的时间间隔有关，而与时间起点无的时间间隔有关，而与时间起点无关。关。v证：设证：设

5、X(t)的二维概率密度函数为的二维概率密度函数为v由于由于X(t)为平稳过程，所以对恣意为平稳过程，所以对恣意 有有v假设令假设令 ，那么，那么v而而 正是随机过程二维概率密度函数正是随机过程二维概率密度函数的时间间隔，令的时间间隔，令 ，那么：，那么：12,t t1212( ,; , )XPx xt t12121212( ,; , )( ,;,)XXPx x t tPx x tt1t 12121212( ,; , )( ,;0,)( ,;)XXXPx x t tPx xPx x12121221( ,; , )( ,;0,)XXPx x t tPx xtt21tt21ttv此式阐明，平稳随机过

6、程的二维概率密度函数仅依赖于 ，而时间的个别值 无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳过程X(t)的协方差函数应具有什么样的表达方式。12,t t121212121212121212( , )( )( )(; , )(;)( )XXXXRt tE X t X tx x Px x t t dx dxx x Px xdx dxR 1212122( , )( , )( )( )( )( )( )XXXXXXXXXXCt tRt tMt MtRMMRMC又 2( )( )XXXCRM 顺便指出，由一个随机过程的平稳性研讨可推行到关于两个随机过程的平稳性研讨，可以这样说，假设两个随机过程的结合概率密度函数

7、不随时间的平移而变化，与时间的起点无关，那么可称这两个随机过程是结合平衡的，或称平稳相依。v从上面引见的严平稳随机过程的定义知，要判别一个随机过程能否是严平稳，需求确定该随机过程的恣意n维概率密度函数族，它的变化能否与时间的平稳无关，这本身就是一个非常困难的任务，然而在工程上根据实践需求，我们往往只在所谓的相关实际范围内思索随机过程的平稳性问题，这里所指的相关实际，就是指随机过程的数字特征，即数学期望、相关函数和今后要引见的功率普密度等。当在相关实际又可指研讨随机过程的一、二阶矩实际。 前面曾经引见过，对于一个随机过程X(t)，我们当然希望能建立起它的多维分布函数，由于随机过程的多维分函数能较

8、完好地描画随机过程的统计特性，但是要建立多维分布函数往往很困难，因此我们普通在相关实际范围内也就是用数字特征来描画过程的重要特性，这种用数字特征来描画过程X(t)统计特性变化规律，对很多实践问题往往已能获得很好的效果，可以提取到所需的参数。 v定义宽平稳过程：给定随机过程定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，假，假设设 常数常数 v且且v那么称那么称X(t)为宽平稳过程广义平稳过为宽平稳过程广义平稳过程。程。v显然由宽平稳定义可知，要求显然由宽平稳定义可知，要求v就要思索就要思索X(t)的一维概率密度函数的一维概率密度函数 和和二维概率密度函数二维概率密度函数 。( )XE X tM21212

9、( ),( , )( )( )( )XXE XtRt tE X t X tR 21tt12 ( ),( , )XE E tRt t11( , )XPx t1212( ,; , )XPx xt tv下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间的关系。对于一个随机过程X(t)，假设它是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有界 ，那么由严平稳 v 双因严平稳的一维概率密度与时间无关，即 v 常数 v 又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔有关，即2( )E Xt 111212( ,; , )( ,;,)XnnXPxxttPxxtt111( ; )( )XXPx tPx( )XE X tM121212(,; ,)(

10、,; )XXPx x t tPx x21tt12( , )( )XXRt tR 222111( )()XXE Xtx Pxdx 综上所述，严平稳一定是宽平稳 反之不一定成立，除非是高斯过程正态过程。类似地，我们还可以给出两个随机过程结合宽平稳定义。定义结合宽平稳：对于平稳过程 假设1( ), ( )X tY t1221( , )( ),XYXYRt tRtt 那么称( ), ( )X t Y t结合宽平稳。 顺便指出，今后凡提到“平稳过程，通常是指宽平稳过程。 例4.1 设Y是随机变量，试分别思索随机过程 的平稳性。 解 Y是随机变量， 这一过程是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何n维概率密

11、度函数 与时间无关，所以是一个严平稳。 是严平稳 , 只需 那么X1(t)是宽平稳。对于 12( ),( )X tY XttY1( )X tY1(,)YnP yy1( )X tY221( )E X tE Y2( ),XttY2( ) E E tE tYtE Yv都与时间 有关，所以 为非平稳。v 例4.2 设 是一周期为T的函数， 是0,T上具有均匀分布的随机变量，称为v 随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。v解 由题设知 的概率密度函数为22122122121 2( , )( )( )XRt tE Xt XtE tYt Yt t E Y12,t t2( )XttY( )S t( )()X t

12、S t10( )0Tf tT其它v要讨论X(t)的平稳性，由宽平稳定义知，需求求 。v当取定 为一随机变量 的函数 ，由求随机变量函数的数学期望公式知v v 令 ，那么12( ),( , )XE X tRt t,( )()tX tX t时()Yg X ( ) ( )E Yg x f x dx001( )()( )()TTE X ttfdS tdTt 011( )( )( )t TTtE X tSdSdTT常数 v又v令120( , )( ,)( )() ()()() () ( )XXTRt tRt tE X t X tE S tS tS tS tfd,t 01( )( ) ()1( ) ()(

13、 )ttTXE X tSSdTSSdRT4.2 4.2 遍历性定理遍历性定理v1. 各态历经问题的提出v 对于一个随机过程X(t)，我们当然希望知道它们的分布函数，但很困难，于是我们退而求其次，思索求它的数字特征即数学期望、相关函数等。但要求X(t)的数字特征，首先需求知道它的一、二维概率密度函数，即 v 这实践上又很难办，进而为我们求数字特征又带来困难。怎样处理这个问题呢？实践上，在工程中，要求X(t)的数字特征，我们自先是经过实验来产生一族时间样本函数 111212( ; ),( ,; , )XXPx tPx x t t1( ),( ),nx tx tvX(t)或者是做实验产生一个样本函数

14、x(t)，然后再对样本函数x(t)取不同时辰，如 ，得所对应的结果 ，即此时随机过程可表示为 。v对恣意指定时辰 的数学期望可近似表示为v 协方差函数可近似表示为 v 来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数xk(t)很多。但这在实践工程又经常又很难做到，于是人们自然想到能不可以经过测试一个样本函数如 01,nt tt01( ), ( ),( )nnx tx tx t0( ) ( ), ( ),nX tx tx t1,( )t X t1111( )( )nkhE X tx tn121211( ,)( )( )nXkkkRt tx t x tn(

15、 ),1,2,ix t i v用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随机过程的均值和相关函数，假设能，这为我们求随机过程的数学特征就带来了很大方便。v这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如x1(t)的均值呢？我们以下式来表示v 显然x1(t)不同其积分结果普通不同。v 于是对一个随机过程， ，其样本函数的积数结果能够不同。此时显然用一个样本函数的数字特征如 ，近似 是不正确的。但是假设当时间区间T充分大时，假设X(t)的绝大多数样本函数的均值 111( )2TxTMx t drT1( ) ( ),( ),nX tx tx t1xM( )E X t111( )lim( )2TTTx t

16、x t dtT都有那么我们可用其中一个样本函数的均值 作为 X(t)的近似，即 定义随机过程的时间均值和时间相关函数：称为随机过程的时间相关函数。221( )lim( )2TTTx tx t dtT1( )lim( )2TnnTTx tx t dtT12( )( )( )nx tx tx t( )nx t( )( ),1,2nx tE X tn1( )()lim( )()2TTTX t X tX t X tdtTv留意：定义中 普通都是随机变量常数可看作特殊的随机变量。v由上述分析可知，是不是任何一个随机过程 ，它的数学期望、相关函数都可用其中的一个样本函数的均值和协方差函数来近似呢，显然不一

17、定，一个自然的问题是X(t)在什么条件下可用一个样本函数的均值和协方差函数作为整个过程X(t)的均值，协方差函数的近似呢？( ),( )()X tX t X t1( ) ( ),( )nX tx tx tv2. 平均随机过程的各态历经性v 要回答上述的问题，我们设当X(t)为平稳过程且满足一定条件时，可用一个样本函数的均值和协方差函数作为过程X(t)的数字特征近似，为此我们给出如下定义：v定义：设X(t)是一个平稳过程 v1假设 v 以概率1成立，那么称随机过程X(t)均值具有各态历经性这里依概率1成立是指对X(t)的一切样本函数即( )( )XX tE X tM1( )( ),( )( )X

18、nxx tE X tMx tE X tMv由此知，此时，我们可用一个样本函数的均值如 v 的值作为 的近似值。反之，假设知X(t)的均值各态历程，那么可用一个样本函数的均值作为过程X(t)的均值。v2假设 v 以概率1成立，那么称X(t)的协方差函数具有各态历经性。11( )lim( )2TTtx tx t dtT( )E X t1( )lim( ),1,2,2TnTTE X tx t dt nT( )()( )()( )XX t X tE X t X tR 这里假设X(t)的协方差函数各态历经，就是指我们可用过程X(t)的一个样本函数、xn(t)的时间相关函数 即 作为过程的相关函数。3假设

19、X(t)的均值和协方差函数都具有各态历经性，那么称X(t)是宽各态历经过程，简称X(t)为各态历经过程。综上所述，假设X(t)是各态历经过程，那么必为平稳过程，此时可用过程的一个样本函数的数字特征作为过程的数字特征近似。( )()( )()( )nnXx t x tE X t X tR1( )lim( )()2TXnnTTRx t x tdtTv例4.3 设随机过程v 式中 为参数，是0.2, 上均匀分布随机变量。v 求证X(t)是宽平稳过程；v 该过程能否是各态历经过程。v解 0( )cos()X tAt0,A2001( )cos()02E X tAtd000200022000020( )(

20、)cos()cos()coscos(22 )21coscos(22 )22cos( )2XE X t X tE AtAtAEtAdAR X(t)为一宽平稳过程。 01( )limcos()2TTTX tAtdtT00cossinlim0TATT( ,)XRt t显然由、结果再由随机过程各态历经定义知 X(t)为宽各态历经过程。00020cos() cos()( )()limcos2TTTAtdrX t X tA ( )( )0X tE X t0( )()( )()( )2XX t X tE X t X tRA v假设两个随机过程X(t)，Y(t)，当它们各自都是各态历经时，并且时间相互关函数与

21、统计相关函数以概率1相等时，我们有如下定义：v定义两个随机过程结合各态历经：v 设X(t)，Y(t)各自都各态历经v 那么称X(t)，Y(t)为结合各态历经过程。v 同理当X(t)，Y(t)结合各态历经时，可用它们的一对样本函数的数字特征作为X(t)，Y(t)的数字特征近似。( ) ()( ) ()( )XYX t Y tE X t Y tRv3. 随机过程成为各态历经过程的断定随机过程成为各态历经过程的断定v 从前面的分析知，假设一个随机过程能从前面的分析知，假设一个随机过程能成为一个平衡过程，这对我们研讨各态历成为一个平衡过程，这对我们研讨各态历经，那么该过程一定是平衡过程，反之那经，那么

22、该过程一定是平衡过程，反之那么一定成立，于是很自然提出这样一个问么一定成立，于是很自然提出这样一个问题，能不能给出一些断定定理，使其可以题，能不能给出一些断定定理，使其可以很方便地断定一个平稳过程成为各态历经很方便地断定一个平稳过程成为各态历经过程。经过对平稳过程的分析研讨，我们过程。经过对平稳过程的分析研讨，我们给出如下的几个断定定理。给出如下的几个断定定理。v 性质性质4.3 平稳过程平稳过程X(t)的均值具有各态历的均值具有各态历经性的充要条件是经性的充要条件是v v 式中：式中： 为平稳过程的协方差函数；为平稳过程的协方差函数； 为平稳过程的数学期望。为平稳过程的数学期望。2201li

23、m1( )02TXXTRMdTT( )XRXMv例4.4 知随机电报信号X(t)，它的 ， ，问X(t)能否均值各态历经。v解 ( )0E X t( )XRe 2201lim1( )2TXXTRMdrTT2| |02| |0222201lim1021lim12111lim02TTTTTTTedrTTedTTeTTT X(t)是均值各态历经的。v性质4.4 平衡过程X(t)的协方差函数具备各态历经性的充要条件是v 式中v 平稳过程X(t)和Y(t)的相互关函数具有结合各态历经性的充要条件4.7式类似，只是将4.7式中相应的协方差函数改为相互关函数即可。2211101lim1 ( )( )02XT

24、TBRdT111( )()()()( )BE X tX tX tX tv性质4.5 对于高斯平稳过程，假设它的均值为零，协方差函数延续，那么该过程各态历经的一个充分条件是v 综上所述，对一个平稳随机过程X(t)经过性质1、2断定以后，假设X(t) 各态历经了，那么对于该过程的数字特征，即求 ，我们可用0|( )|XRdr ( ),( )XE X tR11( )( )lim( )2TTTX tE X tx t dtT111( )()( )lim()( )2TXTTRX tX tx tx t dtTv也就是当X(t)各态历经时，我们可用一个样本函数的时间均值和时间协方差函数作为过程X(t)的数学期

25、望、协方差函数的近似。v最后顺便阐明，对于许多实践问题，假设要从实际上断定一个过程能否为各态历经过程，往往是比较困难。因此工程上经常都是凭阅历把各态历经性作为一种假设，在后根据实验来检验这个假设能否合理。v在实践运用普通不能够给出随机过程X(t)的样本函数x(t)的表达式，因此，确定各态历经过程的数学期望、协方差函数，有两种方法：v第一种方法用模拟协方差分析仪，自动画出协方差曲线。v这种仪器的功能是当输入样本函数时，X-Y记录仪自动描画出协方差函数的曲线。它的任务原理如图4.2所示。图4.2 第二种方法用数字处置方法即近似计算方法。 如图4.2把0，T等分为N个长为 的小区间，再在时辰 ， 取

26、样，得N个函数值 。于是再把积分表过式表示为根本区间上的和，就有数字估计式4.8。类似可以写出在 时的协方差函数估计式4.9式，由这个估计式可算出协方差函数的一系列近似值，从而可作出协方差函数的近似图形，见图4.3。 TtN 1()2ktkt1,2,( )kNxt对( ),1,2,kkxx tkNrr t v最后指出，工程上遇到的很多平稳过程，我们普通都把它看成各态历经过程，然后用各态历经的方法来确定过程X(t)的统计特性，看处置出来的结果能否与实践相符合，假设不相符合，再对过程的假设作修正。 111( )( )lim( )2NTkTTkE X tx tX t dtxTN1( )()( )li

27、m( )()2TXTTRX tX tX t X tdrT11(),0,1,2,()N rXrkk rkRx xNrrm mn1. 平稳过程协方差函数的性质 对于一个随机过程，它的根本数字特征是数学期望和相关函数，但是当随机过程为平稳过程时，它的数学期望是一个常数，经中心化后可以变为零，所以当过程X(t)平稳后其根本数字特征实践上就是相关函数。此外，相关函数不仅可向我们提供随机过程各形状间的关联特性的信息，而且也是求取随机过程的功率谱密度以及从噪声中提取有用信息工具。为此下面我们专门研讨一下平稳过程相关函数的性质。v性质 4.6 v证 v当 ，v即平稳过程的均方值可自在相关函数 得到。v性质 4

28、.7 ，即平稳过程的协方差函数为偶函数。v同理 v证 2(0)( )XRE Xt( )( )()XRE X t X t2(0)( )XRE Xt0( )XR令 =0( )()XXRR( )()XXCC( )( )(),()( )(),XXRE X t X tRE X t X tut v性质4.8 平稳过程X(t)协方差函数的最大点在 处 ，即v证 任何非负函数的数学期望恒为非负值， 的平方均值，即v vvv又 X(t)平稳， v 0(0)|( )|XXRR( )()X tX t2|( )()| 0EX tX t22( )2( )()()E XtX t X tXt022( )2( )()()0E

29、 XtE X t X tE Xt22( )2( )()()0E XtE X t X tE Xt( )()( )XE X t X tR22( )2( )()0 xE XtRE Xtv 平稳随机过程的一维率密度函数不随时间的平缓而变化，即v v v v同理 22()( ,)XE Xtx Px tdx( ; )( ;)XXPx tPx t22( )()(0)XE XtE XtR2(0)2( )0XXRR(0)XXRR|( )|(0)XXCC|( )|22( )( , )XE Xtx Px t dxv对于 v性质4.9 周期平稳过程X(t)的协方差函数是周期函数，且与周期平稳地程的周期一样，即v证 设

30、 v v性质4.10 非周期平稳过程X(t)的协方差函数满足()( )XXRtTR( )()X tX tT()( )()( )()( )xXRTE X t X tTE X t X tR2lim( )( )XXXRRM 222( )(0)( )( )( )XXXD X tRRE XtEX tv例4.6 非周期平稳过程X(t)的协方差函数。v求 。v解 v vv为了方便表征随机过程在两个不同时辰形状之间的线性关联程度，我们给出协方差系定义：v定义协方差系数： 29( )161 3XR( ),( )E X tD X t229lim( )lim16161XXMR4XM 2(0)( )25 169XXX

31、RR 222( )( )( )XXXXXXCRMv特别取 ，v普通有v显然，协方差系数越接近1，形状之间的关联程度越高。也可以说，当形状与形状之间的时间间隔越小，形状之间的关系越高。因此相关系数可直观地阐明随机过程不同两个形状的协方差程度的强弱或随机过程起伏的快慢。 0222(0)(0)(0)0XXXXXXCRM22222( )1XXXXE XtM|( )|1Xv相关时间 是另一个表示随机过程相关程度的量，它是利用相关系数来定义的。v普通相关时间的定义有两种，一种是把满足时的v 作为相关时间 。其物理意义为：假设随机过程X(t)的相关时间为 ，那么以为随机过程的时间间隔大于 的两个时辰的取值不

32、相关。另一种定义相关时间间隔大于的两相时辰的取值不相关。 0()0.05X0000v另一种定义相关时间方法是将 曲线在v 之间的面积等效成 的矩形，如图4.3所示。因此有( )X1,0(0)X00( )Xd图图4.3 协方差系数协方差系数2. 随机过程协方差函数性质v设 为两个平稳过程。v性质4.11 普通情况下，相互关函数 是非奇非偶函数，同理，互协方差函数 v 也是非奇非偶函数。v 性质4.12 相互关函数的幅度平方满足v 同理，互协方差函数满足( ), ( )X t Y t( )XYR( )XYC2( )(0)(0)XYXYRRR222( )(0)(0)XYXYXYCCCv性质4.13

33、相互关函数和互协方差函数的幅度满足v同理v性质4.14 相互关系数v为了研讨两个平稳过程的相互关联程度，我们引入相互关系定义v定义相互关系数：v可以证明v ，且当 时 互不相关。1( )(0)(0)2XYXYRRR2211( )(0)(0)22XYXYXYCCC( )( )(0)(0)XYXYXYCCC( )1XY( )0XY( )( )X tY t和习题四v1. 思索一个具有随机相位的余弦波，它由如下定义的随机过程描画： ，其中 是常数， 服从 上的均匀分布，证明X(t)是宽平稳过程。v2. 思索一个具有随机振幅的正弦波，它由如下定义的随机过程描画v其中，A、B为两个随机变量，且满足 ， ，

34、度X(t)为宽平稳过程。 ( )cos()X tt(, ) ( )2sin2X tAxostt( )( )0,( )( )1E AE BD AD B()0E AB v3. 设随机过程 是方差不为零的随机变量，试讨论其各态历经性。v4. 设X(t)是雷达的发射信号，遇到目的后前往接纳机的微弱信号是 是信号前往时间，由于接纳到的信号总是伴有噪声，记噪声为 ，于是接纳机收到的全信号 v 。v假设X(t)和Y(t)是结合平稳，求相互关函数 。v在的条件下，假设N(t)的均值为零，且X(t)是相互独立，求 这是利用相互关函数从全信号中检测小信号的接纳法。( ),X tY Y111,(),aX ta( )

35、N t1( )()( )Y taX tN t( )XYR( )XYRv5. 设有随机过程 ，其中A是具有瑞利分布的随机变量，其概率密度为v 是在0, 2 上具有均匀分布且与A相互独立的随机变量， 是一个常数，问X(t)能否是宽平稳过程。( )cos ()X tAt2220( )200aaeat aa3.功率谱密度v当我们在时间域内研讨某一函数的特性时，假设确定起来不方便，在数学上我们可以思索将此函数经过某种变换将它变换到另一区域，比如说频率域内进展研讨，最终目的是使问题简化。傅里叶变换提供了一种方法，就是如何将时间域的问题转换到频率域，进而使问题简化。在频率域内，频率意味着信息变化的速度。即，

36、假设一个信号有“高频成分，我们在频率域内就可以看到“快的变化。这方面的运用在数字信号分析和电路实际等方面运用极广。v是不是任何一个时间函数都可以将其经过傅氏变换变到频率域去研讨呢？我们说当时间函数v 满足绝对可积条件时可以。v 然而，随机过程的样本函数，即 v 普通不满足绝对条件，因此随机过程不能直接进展付氏变换。此外，很多随要过程的样本函数极不规那么，无法用方程描画。这样，假想象直接对随要过程进展谱分解，显然也不行。但是，对随机过程进展某种处置后，同样可对随机过程施行傅里叶变换。( )()X tt ( )x t dt 1() (), , (), nX tx tx t1( ),( )nx tx

37、 t3.1 功率谱密度v为了研讨随机信号的傅氏变换，我们首先简单复习一下确定信号 的频谱、能谱密度及能量概念，然后再引入随机过程的功率谱密度概念。v定理3.1 设S(t)是一个确定信号，且在 上，那么S(t)的傅氏变换存在，或者说具有频谱 v记为( )S t(,) ( )S( )( )j tSS t edt1( )( )2j tS tSed1( )( )FFS ts ( )( )F S tSv普通频谱 是一个复数，且有 ，*表示共轭。我们知道，对于复数有v v对于定理的物了解释是，或 代表电流或电压，那么定理条件要求 ，即是要求v 的总能量必需有限。 v由积分变换的巴塞伐能量公式有1 ( )(

38、 )FSS t( )S*( )()SS22*;,Zabi zabzabi2*2222(1)()( )z zbi a biabiabz ( )S t( )s t dt ( )S t221( )( )2St dtSdv下面我们来解释一下公式的物理含义v等式左边表示 在 上的总能量，而右边积分中被积函数 相应地称为能谱密度。巴塞伐公式了解为时间域上的总能量可用频率域上的频谱能量表示。v然而，工程技术上有许多重要的时间函数总能量是无限的，不能满足傅氏变换绝对可积条件，如正弦 就是。我们要研讨的随机过程，由于继续时间是无限的，所以其总能量也是无限的，即v所以随机过程的频谱不存在。 ( )S t(,) 2

39、( )Ssin( ) t dt ( ),1,2,nx tdtnv那么该如何运用傅氏变换工具来对随机过程进展化简研讨呢？我们是这样思索的，一个随机过程 ，虽然它的样本函数总能量是无限的，但它的平均功率是有限的，即v这是随机过程的样本函数在时间域上的平均功率表示。v这样，对随机过程的样本函数而方，虽然研讨它的频谱没有意义，但研讨它的平均功率确有意义。1( ) ( ),( ),nX xx tx t21lim( )2TeTTWx tT 图图3.1 .1 及其截取函数及其截取函数 怎样详细表示随机过程一个样本函数的平均功率呢，我怎样详细表示随机过程一个样本函数的平均功率呢，我们是这样操作的：首先定义们是

40、这样操作的：首先定义 的一个样本函数，无妨的一个样本函数，无妨设为设为 ，再次地样本函数，再次地样本函数 恣意截取一段，长度为恣意截取一段，长度为2T，并记为，并记为 。称。称 为原样本函数为原样本函数 的截取函数，的截取函数，如图如图5.1所示。所示。( )x t( )Tx t( )X t( )x t( )x t( )Tx t( )Tx t( )x tv用公式表示即为v于是 满足绝对可积条件。v 存在付氏变换，即v这里 称 为的频谱函数。( )| |( )0| |Tx ttTx ttT( )Txtdt ( )Tx t( )( )( )j tTj tTTTTxx t edtx t edt1(

41、)()2jtTTxtxed t ( )Tx( )Tx tv又由于随机过程 在随机实验中取哪一个样本函数具有不确定性。因此，不同的实验结果，就意味着随机过程能够取不同的样本函数，亦即样本函数与实验结果有关，为此，可将样本函数进一步表示为 ，当然该样本函数的截取函数也可相应表示为 ，显然它的傅氏变换也可表示为 。v又 1( ) ( ),( ),nX tx tx t( , )x t e( , )Tx t e( , )Tx t e21lim( )2TeTTWx tdtT21lim( , )2TTTx t edtT11lim( , )( , )22Tj tTTTTx t exe eddtT()11lim

42、( , )( , )22TjtTTTTxext e edt dT11lim( , )(, )22TTtxe xe dT*11lim( , )( , )22TTtxe xe dT211lim( , )22TTxedT1( , )2XGe dv由于引入随机过程样本函数的截取函数定义，所以又可给出上式随机过程的样本函数平均功率在频率域的表示方式。v在上式中，令v那么称3.1式为随机过程X(t)的样本函数的功率谱密度函数。v定义样本函数的功率谱密度v式中， 为截取函数 的频谱。21( , )lim( , )2XTTGexeT21( , )lim( , )2XTTGexeT( , )Txe( , )Tx

43、 t ev又 随机过程是由一族样本函数组成，即v显然对每一个样本函数，按照上面类似的方法都呆以求出它的一个样本函数的功率谱密度，于是对一切的样本函数取统计平均就可给出随机过程的功率谱密度定义。v定义随机过程的功率谱密度：1( ) ( ),( ),nX tx tx t221( )( , )lim( , )21lim( , )2XXTTTTGE GeExeTE XeTv随机过程的一个样本函数的平均功率的表示方式，有两种v类似的，可求出X(t)的一切样本函数的平均功率表示方式，然后取统计平均，那么可以给出随机过程的平均功率定义，定义随机过程的平均功率：11lim( , )22eTTWxe dT21lim( , )2TeTTTWx t edtT211lim( , )22eTTWE WExedT211lim( , )22TTE xedT1( )2XGd21lim( , )2TeTTWE WEx t edtT221lim| ( , )| 21lim( )2TTTTTTEx t edtTE x tdtTv由随机过程平均功率定义可知，要求随机过程的平均功率可用两种方法，一种方法是求出 ，即过程的功率谱密度，然后再积分，另一种方法是先求出过程的增方值 ，再积分。v特别地，当我们研讨的随机过程是平稳过