材料力学-扭转问题

1、第三章第三章 扭扭 转转3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例工程上有很多承受扭转变形杆件,例如搅拌器的主轴 实例实例实例实例传动轴传动轴实例实例汽车传动轴汽车传动轴实例实例汽车方向盘汽车方向盘实例实例丝锥攻丝丝锥攻丝实例实例 扭转变形是指杆件受到大小相等扭转变形是指杆件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用, ,使杆件的横使杆件的横截面绕轴线产生转动。截面绕轴线产生转动。 扭转的概念扭转的概念工程上，把承受扭转变形的杆件称工程上，把承受扭转变形的杆件称“轴轴”。其横截面大都是圆形的。其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭

2、转。所以本章主要介绍圆轴扭转。MeMe横截面之间的相对角位移横截面之间的相对角位移 ,称为扭转角。称为扭转角。直接计算直接计算FdMe 3.23.2、外力偶矩的计算、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图一一. 外力偶的计算外力偶的计算 按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算已知已知轴转速轴转速n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率Pk 千瓦千瓦力偶矩力偶矩Me e)()()(9459mNmprnWkPkMe二二. 扭转内力扭转内力 : MeMeMeTMeTnn仍采用截面法仍采用截面法:扭转内力正负号规则扭转内力正负号规则 : 右手螺旋法则右手螺旋法则 ,确定内力正负确定内力正负 扭矩扭矩

3、 T扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+),(+),反之为反之为 负负(-)(-)例例 已知已知PkA=19kW,PkB=44kW, PkC=25kW, n =150rpm求求: :作图示传动轴的扭矩图作图示传动轴的扭矩图. .MAMBMC解解: 1. 求外力偶求外力偶 150199549MA= =1210Nm 同理 MB=2800Nm, MC=1590Nm MAMBMC1-12-2T1- MA=0 讨论：交换讨论：交换ABAB轮的位置扭矩轮的位置扭矩 将如何变化？将如何变化？1210-1590 xT-2800-1590 x

4、TMAnT1 T2- MA+ MB=0 MBMAT2n2.截面法求内力截面法求内力( 设正法设正法)3.作内力图作内力图 T1 = 1210 Nm T2 = -1590 Nm3.3 纯剪切纯剪切lXMelX（1） 实验观察实验观察:各纵向线倾斜角度相同各纵向线倾斜角度相同；正方形网格正方形网格,加外力偶后变加外力偶后变成同样大小的平行四边形成同样大小的平行四边形。各圆周线的形状、大小和各圆周线的形状、大小和间距不变，只是绕轴线作相间距不变，只是绕轴线作相对对转动；转动；一 圆轴扭转时切应力圆轴扭转时切应力lXMe二二 推论推论：存在切应力存在切应力, 且同一圆周上的且同一圆周上的切应力相同切应

5、力相同 横截面上无正力横截面上无正力；(横截面上任意点的切应力的方横截面上任意点的切应力的方向和半径垂直。向和半径垂直。)R由现象由现象A 由现象由现象Bxyzdxdydz dxdzdy )(dydxdz)(=单元体单元体 纯剪切状态纯剪切状态沿纤维、木纹方向开裂可以证明沿纤维、木纹方向开裂可以证明实验证明实验证明:当切应力不超过材料当切应力不超过材料的的剪切比例极限剪切比例极限时时,G剪切剪切G:称为材料的切变模量称为材料的切变模量反映材料的抗剪切变形的反映材料的抗剪切变形的能力能力.(MPa, GPa)12EG剪切剪切21evG22ABCD dxdydz10)(dxddydzdW10)(d

6、VddWdV10ddVdVv当切应力当切应力不超过材料的剪切比例极限不超过材料的剪切比例极限dydzdx3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力lXMelX 实验现象：平面假设：圆杆的横截面变形后仍圆杆的横截面变形后仍为保持为平面为保持为平面一一 变形几何关系变形几何关系 圆轴横截面像刚性平面一样圆轴横截面像刚性平面一样,绕绕轴线转过一角度轴线转过一角度T表面Rddx 内部ddx dxd二二 物理条件物理条件：dA三三 平衡条件平衡条件：AdAdxdGddxdxdGGAdAdTTdAAdAdxdG2TT内部一一 变形几何关系变形几何关系 dTPGITdxdPITTdAAdA

7、dxdGT2APdAI2极惯性矩极惯性矩APdAI2324DIp实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴DdDdDIp444413232tppWTRITRITmax空心圆DdDWt43116Wt 抗扭截面系数抗扭截面系数实心圆163DWt圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件:对阶梯轴，因各段的对阶梯轴，因各段的Wt不同不同 ,最大切应最大切应力不一定在最大力不一定在最大T所在截面，须综合考所在截面，须综合考虑虑T和和Wt，确定确定T/ Wt极值。极值。dNmmprnWkPMe)()(9459 tWTmax由163DWt MPaWTEt54.1611max MPaWTCt98.2133maxMPaWTH

8、t69.2222max解解：36431029116mDWt MPaWTt7 .51max强度满足。强度满足。 tWTmax2.3222dDdAAGG空心优于实心空心优于实心（1）改用实心轴，在改用实心轴，在最大应力不变时最大应力不变时确定轴的直径；确定轴的直径；讨论：讨论：（2）比较实心轴和空心轴的重量）比较实心轴和空心轴的重量。max316TdWt由mmd53得校核轴的强度。校核轴的强度。 例例 已知汽车传动主轴已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm,60MPaMe= 1.5 kNm。MeMe为什么相同强度条件下空心轴比实心轴省材料？为什么相同强度条件下空心轴比实心轴省材料

9、？944.0DdT = Me= 1.5 kNm , 3.5 圆轴扭转的变形圆轴扭转的变形:pIG抗扭刚度抗扭刚度pGITdxd单位：弧度弧度(rad)pIGTdxd)(180m刚度条件：刚度条件：180pIGTdxdmmm/0.30.1/0.150.0/5.025.0精密轴一般轴粗糙轴dxGITdlppGITl对于两端作用力偶长为对于两端作用力偶长为l 的等直轴的等直轴:若各段的若各段的T 不同，或各段的不同，或各段的Wt同，同，则分段计算扭转角则分段计算扭转角,再代数相加再代数相加: nipiiiGIlT121刚度条件：180pIGT解：作扭矩图 GTDI1590

10、xT1590 N.m2800 N.m1210 N.m tWTmax163TDWt mmMnD7.58163|T|max=1590（N.m) mmGMnD49180324取 D=59 或60mm例例 已知：已知：,80 GPaG 确定圆轴的直径确定圆轴的直径.,40MPa ,/2m 例例 传动轴的转速为传动轴的转速为n=500=500r/min，主动轮，主动轮A 输入功率输入功率P1=400kW，从动轮，从动轮C，B 分别输出功率分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)试确定试确定AC 段的直径段的直径d1 和和BC 段的直径段的

11、直径d2； (2)(2)若若AC 和和BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和从动轮应如何安排才比较合理? ?1eMABC2eM3eM1d2dnPMe119549mN76405004009549mN30602eMmN 45803eM解：解： 1.1.外力偶外力偶 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按刚度条件按刚度条件: : mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直径直径d d1 1的选取的选取: : 按

12、强度条件按强度条件 mN7640mN4580 mm4 .861d1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT 按刚度条件按刚度条件 : : 4.4.直径直径d d2 2的选取的选取 按强度条件按强度条件: : 1eMABC2eM3eM1d2dmN7640mN4580 mm3 .69m103 .6910704580161633632Tdmm76m107611080180458032180323429422GTdmm762d 5.选同一直径时选同一直径时mm4 .861 dd 6.6.将将主动轮按装在主动轮按装在两从动轮之间两从动轮之间1eMABC2eM3eM1d

13、2dmN7640mN4580 2eMCBA1eM3eM1d2d受力合理受力合理mN3060mN4580 扭转的超定静问题扭转的超定静问题例例 两端固定的阶梯圆截面杆，在两端固定的阶梯圆截面杆，在C处受一力偶处受一力偶m，求支，求支反力偶？反力偶？a2amCAaB2GIpGIpmmBCABmA0BAmmmBBCmTAACmT解：解： 解除约束，以 、 代替。AmBm变形协调方程：变形协调方程：物理方程：物理方程：求解得求解得:mmA74mmB73)(0CBAcCBACABpBCBCGIaT2pACpACACGIaTGIaT2mmBCABmA例例 由实心杆由实心杆1和空心杆和空心杆2组成的组合轴，

14、受扭矩组成的组合轴，受扭矩T，两者之间无相对滑动，求各自最大切应力，两者之间无相对滑动，求各自最大切应力.解解:设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为T1、T2。G2Ip2G1Ip1R2R1T平衡方程：平衡方程：TTT21变形协调方程：变形协调方程：211111pIGlT2222pIGlTTIGIGIGTppp2211111TIGIGIGTppp2211222TIGIGRGpp2211222TIGIGRGpp2211111联立求解，得：联立求解，得：G2Ip2G1Ip1R2R1T 讨论讨论: 1) 实心杆和空心杆相实心杆和空心杆相接触处接触处的切应力情况的切应力情况2) 在下述三种情况下的切应力分布情况：在下述三种情况下的切应力分布情况：（