242抛物线的简单几何性质(1)

1、2.4.2 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质(1)1、抛物线的标准方程：、抛物线的标准方程：标准方程标准方程 图形图形 焦点焦点 准线准线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo) 0 ,2(pF.yxoF2px)2, 0 (pF.xoyF2py) 0(22ppxy) 0 ,2(pF 2px ) 0(22ppyx)2, 0(pF2py 抛物线抛物线y2=2px(p0)的几何性质的几何性质:(1)范围范围(2)对称性对称性(3)顶点顶点(4)(4)离心率离心率 抛物线上的点到焦点的距离和它到准抛物线上的点到焦点的距离和它到准 线的距离的比线的距离的比, ,叫做抛物线的离心率

2、，用叫做抛物线的离心率，用e e表示，表示，l.FMd.xOyK关于关于x轴对称轴对称,对称轴又叫抛物线的轴对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点抛物线和它的轴的交点.x0,yR由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，e=1 e=1 方程图形范围对称性顶点离心率y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）e=1 与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质

3、有什么特点？几何性质有什么特点？ （1 1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；它也可以无限延伸，但没有渐近线； （2 2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；（3 3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4 4）抛物线的离心率是确定的，）抛物线的离心率是确定的，e=1e=1问题问题 例例1. 已知抛物线关于已知抛物线关于x轴轴对称对称, 顶点在坐标原顶点在坐标原点点, 并且过点并且过点M(2, ), 求它求它的的 标准方程标准方程.2 2y2=4

4、x练练1.已知抛物线顶点在坐标原点已知抛物线顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴对称轴是坐标轴,并且过点并且过点M(2, ),求它的标准方程求它的标准方程.2 2MOyx练习：练习：创新方案创新方案变式变式1ABF1lyx直线 的方程为：2216104yxxxyx 解法解法1 1 抛物线的焦点抛物线的焦点 F(1 , 0), 121232 232 2 22 222 2xxyy或222212121212AB = (x -x ) +(y -y ) = 8AB = (x -x ) +(y -y ) = 81lyx的方程为：2216104yxxxyx 22 =1 164 18AB 22121214kxxx

5、x 解法解法2 2 抛物线的焦点抛物线的焦点 F(1 , 0), 1 12 21 1 2 2x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 11lyx的方程为：2216104yxxxyx 解法解法3 :3 :抛物线的焦点抛物线的焦点 F(1 , 0), 1 12 21 1 2 2x x + +x x = =6 6, , x xx x = =1 1 |AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8ABFA1B1解法解法4:p=2, =454:p=2, =45。ABFA1B1KH同理同理1cospFB 22

6、1cos1cos22 2 8sinsin 45ppABp 1cospFA （二）焦点弦：通过焦点的直线，（二）焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接两点的与抛物线相交于两点，连接两点的线段叫做抛物线的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦。12ABxxpxOyFA),(11yxB),(22yx特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦特别的，过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为，称为抛物线的抛物线的通径。通径。 |AB|=2p焦点弦公式：焦点弦公式：（一）焦半径：连接抛物线任意一点（一）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的与焦点的线段叫做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式焦半径公式：12pAF

7、x通径与抛物线的开口大小有什么关系通径与抛物线的开口大小有什么关系?P越大越大,开口越开阔开口越开阔lFyxOy0 xR关于关于y轴对称轴对称方程方程 图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点焦半径焦半径焦点弦焦点弦的长度的长度 y2 = 2pxy2 = -2pxx2 = 2pyx2 = -2pylFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0lFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于关于x轴对称轴对称 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）练习练习3 过抛物线过抛物线yx62的焦点作直线交抛物线

8、于的焦点作直线交抛物线于A、B两点，且两点，且A、B两点的纵坐标两点的纵坐标21, yy恰好是方程恰好是方程0572 yy的两根，则弦长的两根，则弦长 AB 10（三）弦长与弦的中点到准线距离之间的关系（三）弦长与弦的中点到准线距离之间的关系如图，由梯形中位线定理和抛物如图，由梯形中位线定理和抛物线定义可知线定义可知ABMMBFAFBBAAMM2122此关系式与抛物线焦点位置有关吗此关系式与抛物线焦点位置有关吗AABBMMxyOF无关无关例例3.过抛物线过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点的焦点作直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),若若|AB|=7,求求AB的中点的中点M到抛物到抛物线准线的距离。线准线的距离。7/2例例4.过抛物线焦点过抛物线焦点F的直线交抛物线于的直线交抛物线于A,B两点两点,通过点通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点点D,求证求证:直线直线DB平行于抛物线的对称轴平行于抛物线的对称轴.xOyFABDyOxBA.022正三角形的边长）上，求这个（两个顶点在抛物线外顶点位于坐标原点，另练习、正三角形的一个ppxy.|.0200. 02022|.222121212121212221222221212221212211轴对称关于，即线段由此可得，）（，即：，