第六次课03动量与角动量(05级本一)

1、1 第 3 章 动量与角动量22第第3章章 动量和角动量动量和角动量 3.1 冲量与动量定理冲量与动量定理3.2 质点系的动量定理质点系的动量定理 3.3 动量守恒定律动量守恒定律 3.5 质心质心3.6 质心运动定理质心运动定理3.7 质点的角动量质点的角动量3.8 角动量守恒定律角动量守恒定律 3.4 火箭飞行原理火箭飞行原理 3.9 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 3.10 质心参考系中的角动量质心参考系中的角动量 33.5 质心质心 质心质心-质点系的质量中心。质点系的质量中心。 两个质点的质心两个质点的质心 c 的位置的位置,定义如下定义如下:212211mmrmrmrc 它是

2、物体位置它是物体位置 以质量为以质量为权重权重的的 平均值。平均值。一一. .质心的概念和质心位置的确定质心的概念和质心位置的确定xzy01m2mccr1r2r4对多个质点的质点系对多个质点的质点系, iiiiicmrmr若物体的质量连续分布若物体的质量连续分布,则则 mmrrcdd均匀的直棍、圆盘、球体、均匀的直棍、圆盘、球体、圆环等圆环等,质心在它们的几何中心上。质心在它们的几何中心上。mmzzcddmmyycddmmxxcdd它的三个直角坐标分量式分别为：它的三个直角坐标分量式分别为：5 例例1. 地球地球 - 月亮系统的质心月亮系统的质心(P148例例3.7) 例例2. 弯成半圆形的一

3、段铁丝的质心弯成半圆形的一段铁丝的质心(P149例例3.8)6物体的质心一定在物体上吗？物体的质心一定在物体上吗？质心与重心是不同的概念质心与重心是不同的概念,它们它们 一定在同一点上吗一定在同一点上吗?7如：任意三角形的每个顶点有一质点如：任意三角形的每个顶点有一质点m。xyo（x1，y1）x2332121xxmmxmxxc 3311ymmyyc *匀质物体，质心在几何中心匀质物体，质心在几何中心*区别质心和重心：不大时，地面附近区别质心和重心：不大时，地面附近 重合重合8 质心的速度质心的速度 （ 对对t 求导）求导）crmvmmvmviiiiiiiic 质点系的总动量质点系的总动量cii

4、ivmvmp ccamtvmtp dddd 质点系的总动量的变化率质点系的总动量的变化率一一. . 质心运动定理质心运动定理*3.6 质心运动定理质心运动定理9ccamtvmtp ddddcamtpF dd外外有有即即“一个质点系的质心的运动，就如同这样一个一个质点系的质心的运动，就如同这样一个质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质质点的运动，该质点的质量等于整个质点系的质量并且集中在质点，而此质点所受的力是质点系量并且集中在质点，而此质点所受的力是质点系所受的外力之和所受的外力之和”-质心运动定理质心运动定理它说明质心的运动服从牛它说明质心的运动服从牛 。它也说明系统内力不会影响质心的运

5、动。它也说明系统内力不会影响质心的运动。10扔出的一把搬子扔出的一把搬子（或一团乱麻）（或一团乱麻）运动员运动员（或爆炸的焰火）（或爆炸的焰火）113.7 质点的角动量质点的角动量一一. . 质点（对固定点）质点（对固定点） 的角动量的角动量物理学非常注意守恒量的研究。物理学非常注意守恒量的研究。在天体运动中在天体运动中,常遇到行星绕某一恒星（固定点）常遇到行星绕某一恒星（固定点）转动时转动时, 行星始终在同一个平面内运动的现象。行星始终在同一个平面内运动的现象。例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：太阳系中的每个行星都有自己的转动平面例如：银河系中的例如：银河系中的每个恒星都有自己

6、每个恒星都有自己的转动平面。的转动平面。银河系银河系在这些问题中，存在在这些问题中，存在着质点的角动量守恒着质点的角动量守恒的规律。的规律。12 角动量（动量矩）定义角动量（动量矩）定义 Lmrv 定点定点大小：大小： sinrmvL 必须指明定点！必须指明定点！Al vo如锥摆如锥摆vmrLmAAlmvLA方向：变化方向：变化vmrLm00mvlL sin0 方向：竖直向上方向：竖直向上方向：方向：vr,决定的平面决定的平面vmrL定义式：定义式：ALOLprL对对A点：点：对对O点：点：m13二二. . 角动量定理角动量定理tprptrprttLdddd)(dddd F（ -合力）合力）M

7、FrtLdd 所以FrM 令令这里这里 先说一说它：先说一说它：rLpm0 tprtprvmvdd0dd14方向：方向：右手法则右手法则大小：大小： sinrFM 图中图中 r0称为力臂。称为力臂。 sin0rr 0rFM MtL dd 质点对固定点角动量的时间质点对固定点角动量的时间 变化率等于合力对该点的力矩。变化率等于合力对该点的力矩。FrM rMFm0 0r称为力矩（对固定点）称为力矩（对固定点）15tLMdd - 质点角动量定理质点角动量定理 的微分形式的微分形式 （对固定点）（对固定点） LtMdd 或或对对 t1t2 时间过程时间过程,有有1221LLtMtt d上式右边为质点角

8、动量的增量上式右边为质点角动量的增量左边称为左边称为冲量矩冲量矩（请对比质点动量定理）。（请对比质点动量定理）。即即“质点对固定点角动量的增量等于该质点质点对固定点角动量的增量等于该质点 所受的合力的冲量矩所受的合力的冲量矩”。-质点角动量定理质点角动量定理 的积分形式（对固定点）的积分形式（对固定点）163.8 角动量守恒定律角动量守恒定律 的的条条件件是是0 M0 F当合外力矩当合外力矩LM时时，0 =常矢量常矢量-质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律（如行星受的万有引力）（如行星受的万有引力）点：点：有心力有心力过固定过固定或或F17例例：锥摆：锥摆Al vomgT0TrTAmglgmr

9、PA sin gmrgmrPAPo, 0 TrTO对对A点点：合力矩不为零，角动量变化。合力矩不为零，角动量变化。对对O点点：? 合力矩为零，角动量大小、方向都不变。合力矩为零，角动量大小、方向都不变。（此处合力并不为零，动量有改变！）（此处合力并不为零，动量有改变！）183.9 质点系的角动量定理质点系的角动量定理 一个质点系对一固定点的角动量一个质点系对一固定点的角动量 定义为其中定义为其中各个质点对该固定点的各个质点对该固定点的角动量的矢量和，即角动量的矢量和，即 iiiiiprLL其中其中 ijijiiiifFrMtLdd0irjr1m2mimjmiFjifijf第第 i 质点受到质点

10、受到 的全部力的全部力prL FrM tLMdd 质点：质点：19 ijijiiifFrtLdd将上式对质点系内所有质点求和，得将上式对质点系内所有质点求和，得 iijijiiiiiifrFrtLdd iiiFrM外外iijijifrM)(内-各质点所受外力矩各质点所受外力矩 的矢量和称为的矢量和称为 质点系所受合外力矩质点系所受合外力矩-各质点所受内力矩各质点所受内力矩 的矢量和的矢量和式中式中内外MMtLdd记作记作200irjr1m2mimjmjirr jifijf ijjijijijifrrfrfr ijf jirr 与与 共线，共线，所以这一对内力矩之和为零。所以这一对内力矩之和为零

11、。同理可得所有内力矩之和为零。同理可得所有内力矩之和为零。于是得于是得tLMdd 外外“一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的 角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率”-质点系的角动量定理质点系的角动量定理 内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，内力总是成对出现的，所以内力矩也是成对出现的，对对i , j 两个质点来说两个质点来说，它们相互作用的内力矩之和为，它们相互作用的内力矩之和为21tLMdd外（对同一定点）（对同一定点）质点系的质点系的角动量定理角动量定理若若0)(iiiFrM外则则cLii质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律注意：注

12、意：是矢量和守恒是矢量和守恒0)(iiFr与与0iiF相互独立！相互独立！FF如：如：0 iiF0 iiiFr22质点系动量与角动量对比：质点系动量与角动量对比：角动量角动量iiiprL矢量矢量与固定点有关与固定点有关与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件0iiiFr动量动量iiivmp矢量矢量与内力无关与内力无关守恒条件守恒条件0 iiF与固定点无关与固定点无关231. 质点系的角动量定理也是适用于质点系的角动量定理也是适用于惯性系惯性系。2. 外力矩和角动量都是相对于惯性系中的外力矩和角动量都是相对于惯性系中的 同一固定点同一固定点说的。说的。3. 当合外力矩为零时，质点系总角动量不随当合外

13、力矩为零时，质点系总角动量不随 时间变化，时间变化， -质点系的角动量守恒定律。质点系的角动量守恒定律。 4. 内力矩内力矩不影响质点系总角动量，但可影不影响质点系总角动量，但可影 响质点系内某些质点的角动量。响质点系内某些质点的角动量。说明说明24例例1. 一长为一长为 l 的轻质细杆两端分别固接小球的轻质细杆两端分别固接小球 A 和和 B, 杆可绕其杆可绕其中点处的细轴中点处的细轴在光滑水平面上转动。在光滑水平面上转动。 初始时杆静止初始时杆静止,后另一小球后另一小球C以速度以速度v0垂直于杆碰垂直于杆碰A, 碰后与碰后与 A合二而一。设三个小球的质量都是合二而一。设三个小球的质量都是 m

14、, 求求:碰后杆转动的角速度碰后杆转动的角速度 。ABCv0【解解】选系统选系统 : A+B+C25答：轴处有水平外力，动量不守恒。答：轴处有水平外力，动量不守恒。 22)2(20lmvlvmlmvlv320 可得可得碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？碰撞过程中，系统的动量守恒不守恒？ 答：轴处有水平外力，但没有外力矩，答：轴处有水平外力，但没有外力矩， 角动量守恒。角动量守恒。碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？碰撞过程中，系统的角动量守恒不守恒？2202222 lmlmlmv 即即设碰后设碰后 B 球的速度为球的速度为v,26太阳彗星ArBrAv vBv v近日点近日点远日点远日点AB解：解：在彗星绕太阳在彗星绕太阳轨道运转过程中，轨道运转过程中，只受万有引力作用，只受万有引力作用，万有引力不产生力万有引力不产生力矩，系统角动量守矩，系统角动量守恒。恒。0M引F FBALL由质点的角动量定义：由质点的角动量定义：sinrmvLBBBAAAmvrmvrsinsin即即例例 ：彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭彗星绕太阳作椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？圆轨道的一个