第六章 二次型习题课

1、212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x12,nx xx222223232222nna xa x xax x2333332nna xax x2nnnax一、元二次型一、元二次型的二次齐次多项式的二次齐次多项式含有个变量含有个变量称为称为二次型二次型21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 或记为或记为当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为实数时，称为实二次型；当常数项为复数时，称为复二次型当常数项为复数时，称为复二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型22212111222(,)nnnnf x xxa xa xa

2、x称为二次型的称为二次型的标准形标准形特别地，称特别地，称22221211(,)()nppp qf x xxxxxxpqn为二次型的为二次型的规范形规范形1111112122212nnnnnaaaaaaAaaa 则则二次型二次型TfX AX 其中矩阵其中矩阵为为对称矩阵对称矩阵. .令令12nxxXx 1111112122212nnnnnaaaaaaAaaa 则则二次型二次型TfX AX 其中矩阵其中矩阵为为对称矩阵对称矩阵. .令令12nxxXx 任一任一二次型二次型对称对称矩阵矩阵! 任一任一对称矩阵对称矩阵二次型二次型! 一一对应一一对应称为称为对称对称矩阵矩阵的的二次型二次型；称为称为

3、二次型二次型的的矩阵矩阵；对称矩阵对称矩阵的秩称为的秩称为二次型二次型的秩的秩11111221221122221122,nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 设设 ,ijCc Cyx 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形线性变换，将二次型化为标准形记记记作记作 Tfx Ax 将其代入将其代入AxxfT . yACCyTT CyACyT 有有若若|C| 0|C| 0，则称为非退化线性变换，则称为非退化线性变换注注二次型经过非退化线性变换仍为二次型二次型经过非退化线性变换仍为二次型设设

4、, ,为阶方阵，若存在阶可逆阵为阶方阵，若存在阶可逆阵，使得，使得,TP APB 则称则称合同于合同于, ,记为记为.AB反身性反身性对称性对称性传递性传递性合同矩阵具有相同的秩合同矩阵具有相同的秩. .与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵. . 等价等价说明说明2222211nnTTykykykACyCy 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型, 2 Cyxf. ,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT; ,1 ACCBAfCyx. T 变变为为的的矩矩阵阵由由但但其

5、其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换一、配方法（拉格朗日配方法）一、配方法（拉格朗日配方法）化二次型为标准型的方法：化二次型为标准型的方法：二、正交变换法二、正交变换法 化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPyxaaxxafjiijnjijiij, 21, ,2222211nnyyyf .,21的的特特征征值值的的矩矩阵阵是是其其中中ijnaAf 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求

6、出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 .,0 ,0 , )(11122222112222211相相等等中中正正数数的的个个数数中中正正数数的的个个数数与与则则及及使使及及有有两两个个实实的的可可逆逆变变换换为为它它的的秩秩设设有有实实二二次次型型惯惯性性定定理理定定理理 rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 定义定义 在实二次型在实二次型 的标准形中：的标准

7、形中： ),(21nxxxf注：由于注：由于实对称矩阵实对称矩阵与与实二次型实二次型之间的一一对应，可以类似地之间的一一对应，可以类似地 定义实对称矩阵的定义实对称矩阵的正惯性指数正惯性指数、负惯性指数负惯性指数与与符号差符号差。正平方项正平方项 的项数的项数 p 称为称为 的的正惯性指数正惯性指数； ),(21nxxxf负平方项负平方项 的项数的项数 q 称为称为 的的负惯性指数负惯性指数。 ( q = r - p ，其中，其中 r 是二次型是二次型 的秩。的秩。) ),(21nxxxf ),(21nxxxf 它们的差：它们的差： p - q = p - ( r-p ) = 2 p - r

8、称为称为 的的 符号差。符号差。 ),(21nxxxf二、实二次型的规范形二、实二次型的规范形设设 是一个实系数二次型，经过适当是一个实系数二次型，经过适当的的非退化线性变换非退化线性变换（包括改变（包括改变 变量排列次序），变量排列次序），总可使总可使 变成如下的变成如下的 标准形标准形： ),(21nxxxf ),(21nxxxf)6 . 3 . 6(22112211rrppppydydydyd式中式中 ( i = 1, 2 , r ) ； r 是是 的秩的秩 。 ),(21nxxxf0id由前面的讨论可知，由前面的讨论可知， r 和和 p 是由二次型：是由二次型： 唯一确定的唯一确定的

9、。 ),(21nxxxf再经过非退化线性变换：再经过非退化线性变换：就变成：就变成：)7 . 3 . 6(,221221rppzzzz 式（式（6.3.7）称为）称为实二次型实二次型 的规范型。的规范型。 ),(21nxxxf .,1,111111nzrrrrrzyzyzdyzdy正(负)定二次型的概念 ., , 0)(0;,00 0, 0,)( 1是是负负定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵为为负负定定二二次次型型则则称称都都有有如如果果对对任任何何是是正正定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵次次型型为为正正定定二二则则称称显显然然都都有有如如果果对对任任何何设设有有实实二二次次型型定定义义Afxf

10、xAffxfxAxxxfT AXXxxxfTn ),(21实二次型实二次型 正定正定存在可逆矩阵存在可逆矩阵C，使实对称矩阵，使实对称矩阵A CTCA是正定矩阵是正定矩阵f 满足：满足：prn实对称矩阵实对称矩阵A的的n个顺序主子式个顺序主子式 全大于零。全大于零。实对称矩阵实对称矩阵A合同于合同于E实对称矩阵实对称矩阵A的的n个特征值个特征值 全大于零。全大于零。f 的的 规范形为规范形为22221nzzzf 的的 标准形标准形2222221121),(nnydydydyyyg nidi, 2 , 1, 0 （1）A的主对角元的主对角元 （2）), 2 , 1(0niaii 0 A.2223

11、),(,:323121232221321xxkxxxxxxxxxxfk 二次型二次型使下列二次型成为正定使下列二次型成为正定的值的值求求例例.2),(:222121321是是正正定定的的充充分分必必要要条条件件型型求求二二次次型型成成为为正正定定二二次次例例bxxhxaxxxxf .:,)4(.)3(;)2(;)1(:,:*1也为正定矩阵也为正定矩阵则必有则必有若若均为正定矩阵均为正定矩阵证明证明均为正定矩阵均为正定矩阵设设例例ABBAABAABABA .:,254:,:23为为正正定定矩矩阵阵证证明明且且满满足足为为实实对对称称矩矩阵阵设设例例AOEAAAA .)(:,:nArAAmnnmA

12、T 件为件为为正定阵的充分必要条为正定阵的充分必要条证明证明矩阵矩阵为为设设例例例：试证二次型例：试证二次型 为正定二次型。为正定二次型。 njijiniinxxxxxxf1122122),( 例：设例：设A是实对称矩阵，是实对称矩阵，t是一个实数，证明：当是一个实数，证明：当t 充分大之后，充分大之后，tE+A 是正是正定矩阵。定矩阵。例：设例：设A是实对称矩阵，且是实对称矩阵，且 ,证明必存在证明必存在n维实向量维实向量X，使，使 XTAX0。0 A 例：设是一个实二次型例：设是一个实二次型 且存在且存在n维实向量维实向量X1与与X2，使得，使得 AXXxxxfTn ),(21 X1TAX10，X2TAX20 证明证明:必存在必存在n维实向量维实向量X0，使，使X0TAX00。例：设例：设A与与B是两个是两个n阶实对称矩阵，并且阶实对称矩阵，并且A是是正定矩阵，证明：存在正定矩阵，证明：存在n阶