导数结合洛必达法则巧解恒成立问题

1、精品文档导数结合洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006年全国2理设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x0,都有£(*)可*成立，求实数a的取值范围.2.2006全国1理已知函数fxL_xeax.1x(i)设a0,讨论yfx的单调性；(n)若对任意x0,1恒有fx1,求a的取值范围.3.2007全国1理设函数f(x)exex.(I)证明：f(x)的导数f(x)为2；(n)若对所有x>0都有f(x)>ax,求a的取值范围.4.2008全国2理设函数f(x)sinx.2cosx(I)求f(x)的单调区间；(n)如果对任何x>0,

2、都有f(x)<ax,求a的取值范围.5.2008辽宁理lnx设函数f(x)lnxln(x1).1x求f(x)的单调区间和极值；是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0,)?若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由.6.2010新课标理设函数f(x)=ex1xax2.(i)若a0,求f(x)的单调区间；-1-欢迎下载精品文档(n)若当x冷时f(x)可，求a的取值范围7.2010新课标文已知函数f(x)x(ex1)ax2.(I)若f(x)在x1时有极值，求函数f(x)的解析式；(n)当x0时，f(x)0,求a的取值范围.8.2010全国大纲理设函数f(x)1ex.x(I)

3、证明：当x1时，f(x)；x1x(n)设当x0时，f(x)求a的取值范围.ax19.2011新课标理已知函数f(x)到nxb,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x2y30.x1x(I)求a、b的值；()如果当x0,且x1时，f(x)-lnxK,求k的取值范围.x1x10.自编自编：若不等式sinxxax3对于x(0,一)恒成立，求a的取值范围2第二部分：新课标高考命题趋势及方法1 .新课标高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能。为此

4、，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.2 .分类讨论和假设反证许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路一一分类讨论和假设反证的方法.3 .洛必达法则高一0型及一型函数未定式的一种解法0虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了0”型的式子，而这就

5、是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必0-2-欢迎下载精品文档达法则.第三部分：洛必达法则及其用法1.洛必达法则洛必达法则：设函数f(x)、g(刈满足：(1)limf(x)limg(x)XaXa在Uo内，f(x)和g(x)都存在，且g(x)0；(A可为实数，也可以是f(x)lim则xag(x)limxa9ag(x).(可连环使用)f(x)limAxag(x)注意使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值。2.2011新课标理的常规解法已知函数f(x)也xb,曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x2y30.x1x(I)求a、

6、b的值；(”n)如果当x0,且x1时，f(x)皿K,.求k的取值范围.x1x(i)略解得a1,b1.(n)方法一：分类讨论、假设反证法2lnx1lnxk、1(k1)(x1)、由(i)知f(x)一，所以f(x)(-)2(2lnx).x1xx1x1xx考虑函数h(x)2lnx(k1)(x21)(x0),则h,(x)(k1)(x221)2xxx(i)当k0时,由h'(x)k(x21)(x1)2一知,当x1时，h'(x)0.因为h(1)0,1所以当x(0,1)时，h(x)0,可得至h(x)1x12h(x)0,从而当x0且x1时，f(x)1x,一.一，一，1一(ii)当0k1时，由于当x

7、(1,)时，(k1k0;当x(1,)时，h(x)0,可得,lnxklnx(”2°if(x)二21)(x21)2x0,故h'(x)0,而-3-欢迎下载精品文档11h(1)h(x)0,与题设矛盾.0,故当x(1,)时，h(x)0,可得21k1x(iii)当k1时，h'(x)0,而h(1)0,故当x(1,)时,h(x)0,可得11x2h(x)0,与题设矛盾.综上可得,k的取值范围为(，0.注：分三种情况讨论：k0；0k船卜1不易想到.尤其是0k1时,许多考生都停留在此层面，举反例x(1,1')更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解1k法也不相同，这是高中阶段公认的难

8、点，即便通过训练也很难提升3.运用洛必达和导数解2011年新课标理当x0,且x1时,f(x)也即kxlnxx11xlnxxx1lnxx12xlnx1x21lnxkxx12xlnx1x2则g'(x)2(x2_2_21)lnx2(1x)_2(x1)22(1x)(1(lnx富),x1记h(x)Inx1一+2x(1+x)4x(1222x(1+x)0,从而h(x)在(0,)上单调递增,且h(1)0,因此当x(0,1)时，h(x)0,当x(1,)时，h(x)0;当x(0,1)时，g'(x)0,当x(1,)时，g'(x)0,所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增.由

9、洛必达法则有limg(x)lim(x1x12xlnx1)1limW1x11x2lim2x12x1时,g(x)0.因为kg(x)恒成立，所以k0.综上所述，当x0,且x1时，f(x)皿K成立，k的取值范围为(x1x,0.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来.然后对分离出来的函数g(x)2xlnj1求导，研究其单调性、极值1x此时遇到了“当x=1时，函数g(x)值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.-4-欢迎下载精品文档当然这一法则出手的时机：(1)所构造的分式型函数在定义域上单调(2

10、)是9型。04.运用洛必达和导数解2010新课标理设函数f(x)ex1xax.(i)若a0,求f(x)的单调区间；(n)当x0时，f(x)0,求a的取值范围应用洛必达法则和导数(n)当x0时，f(x)0,即exxe1xe1.e1limg(x)lim2limlim一x0x0x2x02xx0221xax2.当x0时，aR；当x0时，ex1xax2等价于a人e1x记g(x)2-x(0+)，则g'(x)x(x2)exx23x记h(x)(x2)exx2x.x(0+),则h'(x)(x1)e1,当x(0,+)时,h''(x)xex0,所以h'(x)(x1)ex1在(

11、0+)上单调递增，且h'(x)h'(0)0,所以h(x)(x2)exx2在(0,+)上单调递增，且h(x)h(0)0,因此当x(0+)时，g'(x)h(x)3x0,从而g(x)ex1x.2一在(0,+)上单调递增.x由洛必达法则有,一，1-(0+)时，所以g(x)一,因此a20成立.自编：若不等式sinxxax3对于x(0,一)恒成立，求a的取值范围2解：应用洛必达法则和导数-5-欢迎下载精品文档当x(0,)时，原不等式等价于2xsinxa3x记f(x)xsinx、3，则f(x)x3sinxxcosx2x记g(x)3sinxxcosx2x,贝Ug'(x)2cos

12、xxsinx2.因为g''(x)xcosxsinxcosx(xtanx),所以g'(x)在(0,)上单调递减，且2g'''(x)xsinx0,所以g''(x)在(0,万)上单调递减，且g''(x)0,g'(x)0.因此g(x)在(0,)上单调递减,2且g(x)0,故f'(x)§学0,因此f(x)x歹在(0,一)上单调递减xx2由洛必达法则有f(x).xlim一sinxx1cosxsinxlim2limlimx03x2x06xx061一1即当x0时，g(x)1,即有f(x)-.66x(0,万

13、)恒成立.,，3，一时，不等式sinxxax对于通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:可以分离变量；用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；出现“9”型式子.06.运用洛必达和导数解2010年新课标文2010海南宁夏文(21)已知函数f(x)x(ex1)ax2.(I)若f(x)在x1时有极值，求函数f(x)的解析式;(n)当x0时，f(x)0,求a的取值范围解：(I)略(n)应用洛必达法则和导数-6-欢迎下载精品文档0时，f(x)0,即x(e设函数f(x)1e1)ax2.当0时,aR；当0时,x(ex1)ax2等价于ex1ax,也即aex1记g(x)，则g'

14、;(x)(x1)ex1记h(x)(x1)ex1,x(0,)，则h'(x)xex0,因此h(x)(x1)ex上单调递增，且h(x)h(0)0,所以g'(x)”U0,从而g(x)1在(0,)在(0,)上单调递增.由洛必达法则有x.e.limx0lim1,x01即当x0时,g(x)所以g(x)1,即有a1.综上所述，当a1,x0时，f(x)0成立.(i)证明：当x1时,(n)设当x0时,f(x)f(x)一xxa的取值范围.ax17.运用洛必达和导数解2010年大纲理2010全国大纲理(22)解：(I)略(n)应用洛必达法则和导数由题设f(x)0.当0时，若xax0,f(x)ax当0时

15、，当x0时,f(x)一不成立;1xax1ax0,则aR；0,则1exxax1等价于xax1xxexxex-7-欢迎下载精品文档x记g(x)Jxe，则g'(x)2xe2xxxe2e1x2(xex)xe(xexx-72(ex)x22xe).记h(x)exx,则h'(x)xe2xeh''(x)xxe+e因此，h'(x)2xex在(0,)上单调递增,h'(0)h'(x)0,即h(x)在(0,)上单调递增，且h(0)0,所以h(x)0.因此g'(x)=(xexx)2h(x)0,所以g(x)在(0,)上单调递增.由洛必达法则有XXxee1li

16、mg(x)limxx0x0xexlimx0exxxexxe1limx02exxexxe，、1，、g(x)-,即有g(x)28.运用洛必达和导数解设函数f(x)sinx2cosx所以a1，E一.综上所述，a的取值范围是22008年全国2理(I)求f(x)的单调区间;(n)如果对任何x>0,都有f(x)<ax,求a的取值范围.(x)(2cosx)cosxsinx(sinx)2cosx1(2、2cosx)(22.cosx)当2k：t当2k：t2兀322t32兀34兀3因此f(x)在每一个区间f(x)在每一个区间2k冗(n)应用洛必达法则和导数f(x)20,sinxaxcosx则aR；0,则sinx2cosxZ)Z)时,时,2冗一,2ku2冗,2k冗3ax等价于acosxcosx(,2.(kZ)sinxx(2cosx)-8-欢迎下载1212即f(x)即f(x)是增函数,是减函数.，即g(x)0;sinxx(2cosx)精品文档则g'(x)2xcosx2sinxsinxcosxx22x(2cosx)记h(x)2xcosx2sinxsinxcosxx,h'(x)2cosx2xsinx2cosxcos2x12xsinxcos2x12sin2xsinx2sinx(sinxx)因此，