导数练习题精编

1、1.已知函数fxe2xx2ax2.(1)当a2时，求函数fx的极值；(2)若gxfxx2,且gx0恒成立，求实数a的取值范围.2122 .已知函数f(x)lnxmx,g(x)mxx,mR,令F(x)f(x)g(x).21_(1)当m时，求函数f(x)的单调递增区间；2(2)若关于x的不等式F(x)mx1恒成立，求整数m的最小值；3 .已知函数f(x)ex(sinxax22ae),其中aR,e2.71828为自然对数的底数.(1)当a0时，讨论函数f(x)的单调性；一1(2)当一a1时，求证：对任意的x0,),f(x)0.24 .已知函数f(x)exmln2x.(1)若m1,求函数f(x)的极小

2、值；(2)设m2,证明：f(x)ln20.x5 .已知函数f(x)xlnax,g(x),其中aR且a0,e为自然常数.e(1)讨论f(x)的单调性和极值；(2)当a1时，求使不等式f(x)mg(x)恒成立的实数m的取值范围.1.6 .已知函数f(x)xlnxax21,且f(1)(1)求f(x)的解析式;(2)证明：函数yf(x)xexx2的图象在直线yx1的图象下方7.已知函数fx132-xexmx1,gx3lnxx(1)函数fx在点1,f1处的切线与直线12exy40平行，求函数fx-，右gXfx2恒的单调区间;(2)设函数fx的导函数为fx，对任意的x1,x20,成立，求m的取值范围.试卷

3、第1页，总2页8 .设函数f(x)xlnx(x0).(I)求函数f(x)的单调区间；(n)设F(x)ax2f(x)(aR),f(x)是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；(出)当x0时，证明：exf(x)1.(x1)29 .(本小题满分12分)已知函数f(x)lnx-.2(I)求函数fx的单调递增区间；(n)证明：当x1时，f(x)x1；(出)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01,当x(1,x0)时，恒有f(x)kx1.10 .(本题满分14分)设函数f(x)xlnx(x0).(I)求函数f(x)的单调区间；2(n)设F(x)axf(x)(aR),F(x)是否存在极值，右

4、存在，请求出极值；右不存在，请说明理由；(出)当x0时.证明：exf(x)1.试卷第2页，总2页参考答案1.（1）函数fx极小值为f01,无极大值；0,2e.【解析】试题分析：（1）当a2时，fxe2xx2x2,fx2e2x2x2,通过二次求导可知2x函数fx2e2x2在R上单调递增，且f00,所以当x0时fx0,当x0时，fx0因此函数fx在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增，所以fx的极小值点为f0，无极大值点；（2）对函数gx求导可得gx_2x2ea,分a0和a0讨论，显然a0时，gx0,函数gx在R上单调递增，研究图象可知一定存在某个x00,使得在区间，%2x2x上函数ye的图象

5、在函数yax的图象的下万，即eax不怛成立，舍去；当a0时，函数gx在区间1ln-上单调递减，在区间1in-上单调递增，22221 agxgin0，斛行0a2e.min222 x2试题解析：（1）函数fxexax2的定义域是R,当a2时，2x22x2xfxexx2fx2e2x2,易知函数fx2e2x2的定义域是R上单调递增函数，且f00,所以令fx0,得x0;令fx0,得x0,所以函数fx在区间,0上单调递减，在区间0,上单调递增.所以函数fx极小值为f01,无极大值.22x222x2xx2exax2x2eax,贝Ugx2ea.当a0时，gx0恒成立，所以函数gx在R上单调递增,且数形结合易知

6、，一定存在某个x00,使得在区间，x0上，一、“，2x2x函数ye的图象在函数yax的图象的下万，即满足eax的图象即gx0.所以gx0不恒成立，故当a0时，不符合题意，舍去；答案第1页，总12页当a0时，令gx0,得x1.a1n；gx22,a1n；2所以函数gx在区间1a,一In一22上单调递减，在区间上单调递增.所以函数gx定义域R上的最小值为g11ng.220恒成立，则需满足g11na221na0,即e2aln-220,呜0.又因为a0,所以1lna00,2解得a2e,所以0a2e.综上，实数a的取值范围是0,2e.考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值【方法点睛】本题主要考查了利用

7、导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数学思想，属于难题.本题第一问研究函数的极值，通过二次求导得到导函数的最小值说明fx的单调性,来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把gx0恒成立转化为求函数gx的最小值，按照a的符号进行讨论，来判断gx的单调性，当a0时，gx单调递增，通过找反例排除，当a0时，求出函数gx零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解2.(1)(0,1)；(2)最小值为2.【解析】1试题分析：(1)当m时，对f(x)求导求其单调增区间；(2)先化简F(x)mx1为2F(x)mx10,恒成立问题，转化为求G(x)F(x)(mx1)的最大值来求

8、解.1 o-11x2一江也斛析：(1)f(x)1nx-x,x0,f(x)-x,(x0).2 xx2由f(x)0得1x0又x0,所以0x1,所以f(x)的单增区间为(0,1).1 2(2)令G(x)F(x)(mx1)1nx-mx(1m)x1.221mx(1m)x1所以G(x)mx(1m)xx答案第2页，总12页当m0时，因为x0,所以G(x)0所以G(x)在(0,)上是递增函数,一3又因为G(1)-m20.2所以关于x的不等于G(x)mx1不能恒成立1m(x)(x1)当m0时，G(x)m.x“一，11_，1一，令G(x)0得x一,所以当x(0,一)时，G(x)0；当x(,)时，G(x)0,mmm

9、11因此函数G(x)在x(0,)是增函数，在x(，)是减函数.mm1 1故函数G(x)的最大值为G()lnm.m2m人111令h(m)lnm,因为h(1)0,h(2)In20.2m24又因为h(m)在m(0,)上是减函数，所以当m2时，h(m)0,所以整数m的最小值为2.考点：1.导数与单调性；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题.【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题，只需按求函数单调性的方法来求解就可以.第二问是恒成立问题，我们一般都需要对已知条件进行化简，如本题我们就化简F(x)mx1为F(x)mx10,化简后右边为零，我们就可以转化为求G(x)F(x)(mx1)的最大值来求解.

10、借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解3.(1)函数f(x)在R上为减函数；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)对函数f(x)求导，利用函数的单调性与导数的关系，得出函数f(x)的单调性；(2)对任意的x0,),f(x)0等价于对任意的x0,),sinxax22ae0,再构造函数2g(x)sinxax2ae,求导，利用导数，求出g(x)的取大值小于蚕.试题解析：解：(1)当a0时，f(x)ex(sinxe),xR,f(x)ex(sinxcosxe)ex2sin(x)e,当xR时，2sin(x)J2,.f(x)0.4.f(x)在R上为减函数.答案第3页，总12页(2)设g(x

11、)sinxax22ae,x0,),g(x)cosx2ax,令h(x)g(x)cosx2ax,x0,)，则h(x)sinx2a,1,当一a1时,2x0,)，有h(x)0,h(x)在0,)上是减函数，即g(x)在0,)上是减函数,又g(0)12-2ax2c0，%)r2，g(x)存在唯一的x(0,),使得g(x0)cosx02ax040,;当x0(0,x0)时，g(x)0,g(x)在区间(0,x0)单调递增;当x0(x0,)时，g(x)0,g(x)在区间(x0,)单调递减,2因此在区间0,)g(x)maxg(xo)sinxoaxo2ae,cosx02aXo-1-0,x0cosx0,将其代入上式得2a

12、g(x)maxsinx0cos2x02aesin2x0sinx04a4a14a2ae,令tsinx0,x0，一、2、,、12(0,一),则t(0,)，即有p(t)t24at工4a2a(0,2p(t)的对称轴t2a0,：函数p(t)在区间(0,2上是增函数，且P(t)2p憧)18a2a158即任意x0,)，g(x)0,f(x)exg(x)0,因此任意0,)，f(x)0.考点：1.利用导数研究函数的单调性;2.导数的综合应用.【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的综合应用等知识点，是压轴题.在(2)中，注意等价转换，对任意的x0,),f(x)0等价于对任意的x0,)，sinxax2

13、2a再构造函数g(x)sinxax22ae,利用单调性，求出函数g(x)的最大值，即g(x)maxsinXo2ae,把sinx0看成一4a12c1.2cosx02aesinx0sinx04a4a答案第4页，总12页个整体，就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化4.（1）f11ln2;（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当m1时，f1口一得其零点x1,判断fx在0,上的单调性，可知fx有极小值;（2）把函数mln2xex2ln2x,构造函数g（x）ex2ln2x12eIn2利用导数研究函数gx的单调性，并求出其最小值的范围即可证得结论试题解析：（1）ex1ln2xln2lnx,所以fx观

14、察得f1x(0,1)时0,当1,十单调递增，故有极小值1ln2.证明：（2）因为2,所以0;所以mxln2xe令g(x)ex21-1ln2xeln2lnx,则g(x)增,1g(1)-1e0，g(2),所以设g（x0）x(0,x0)时,g(x)0,(x0,)时，g(x)x0,上单调递增,所以g(x)ming(x0)ex0ln2x0,又因为所以x02lneln%x0lnx0所以g(x)ming(%)ex0ln2x0e一x0x0ln2ln2，一一1当且仅当一x0g(x)minln2,即g(x)1在(0,x）上单调递增，所以当在0,1单调递减，fxln2x,0；所以,易知g(x)在(0,则xx0g(x

15、)在0,x0在1,+）单调递(1,2)；当上单调递减,x0g(x0)eln2lnx0ln2,所以f(x)ln2，答案第5页，总12页x0x02ex0ln2x02x01时等号成立，即f(x)ln2而x0(1,2),所以考点：利用导数研究函数的单调性、极值、最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了转化的数学思想和函数思想的应用，属于难题.要研究函数的极值，先研究定义域内的单调性，本题(1)中导函数的零点不能直接求出，解答时应分析解析式的特点，利用指数函数的性质找出极值点；解答的难点是(2)证明不等式，可利用函数fX的单调性进行放缩，转化为研究不含参数的函数g(x

16、)ex2ln2x的最小值，这是本题的技巧之一，导函数的零点同样不能直接解出，作为证明题，在判断单调性的前提下可以设出极值点，表示出函数值通过基本不等式证明即可，这是本题的另一个技巧5.(1)当a0时，x0,f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，f(x)有极小值x1f(1)1lna；当a0时，x0,f(x)0,所以f(x)在(，0)上单调递增，无x极值；(2)(,e).【解析】试题分析：(1)求导，利用讨论导数的符号确定函数的单调性，进而确定函数的极值；(2)分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数求其最值.试题解析：(1)因为f(x)xlnax,a0,aR

17、,所以当a0时，f(x)的定义域为(0,)；当a0,f(x)的定义域为(，0).1x1又f(x)xInaxxInxlna,f(x)1,xx故当a0时，x0,f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，f(x)有极小值f(1)1lna；x1当a0时，x0,f(x)0,所以f(x)在(，0)上单调递增，无极值.x(2)解法一：当a1时，f(x)xlnx,由(1)知当且仅当x1时，f(x)min1,1x一.因为g(x)-,x0,所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，e，一，一1当且仅当x1时，g(x)max-.ex当m0时，由于g(x)0,f(x)min1,所以f(x)

18、mg(x)恒成立；e当m0时，mg(x)maxm，e要使不等式f(x)mg(x)恒成立，只需1m,e答案第6页，总12页综上得所求实数m的取值范围为(，e).解法二:x一当a1时f(x)xlnx,所以x0,g(x)二0,ex故f(x)mg(x)f(x)g(x)ex(xInx)人ex(xInx)(x1)ex(xInx1)令F(x),则F(x)-4xx由(1)可知xInx0,0,所以当x1时，f(x)0,当0x1时，F(x)所以F(x)minF(1)e.故当me时，不等式f(x)mg(x)恒成立.考点：1.导数在研究函数中的应用；2.导数在研究不等式恒成立问题中的应用.【方法点睛】本题考查导数在研

19、究函数单调性和最值中的应用以及导数在研究不等式恒成立中的应用，综合性较强，属于难题；利用导数处理不等式恒成立问题，往往优先考虑分离参数，利用f(x)M恒成立f(x)minM转化为求函数的最值问题，再利用导数求最值，要求学生有较高的逻辑思维能力和较强的运算化简能力.2.6.(1)f(x)xlnxx1；【解析】试题分析：(1)求导，由f(1)yx1的下方”等价于lnxx.h(x)lnxe1的单调性与最值，证试题解析：对f(x)求导，得f(x)1所以f(x)xlnxx21(2)证明：“函数yf(x)lnxex10,所以只要证.(2)见解析.1求出a即可；(2)“函数yxe10,构造函数h(x)h(x

20、)max0即可.lnx2ax,f(1)1x2xex的图象在直线yxh(x)lnxe1h(x)f(x)xexx2的图象在直线xlnxe1,求导，研究函数2a1,a1,x1的下方”等价于即要证-ex,x趋于0时，h(x)0,x答案第7页，总12页存在一个极值x0（0）使彳te&1-，、，一等价于h（x）lnx0X011(0XoX01)所以h(x)0故函数yf(x)xex2x的图象在直线yx1的下方.2考点：1.导数的运算法则;2 .导数与函数的单调性、极值、最值;3 .函数与不等式7.（1）fx的单调区间为2e,0,单调减区间为0,2e;(2)试题分析：（1）根据fx在点1,f1处的切线与直线2e

21、0平行，可得f112e,据此可求得m,研究fx的符号变化即得函数的单调区间;（2）若对任意的x1,x20,，若fx2恒成立,则有gxmaxxmin,分别求出fxmin和gx的最大值即可求得m的取值范围.试题解析:(1) fx12em2e,m0所以函数(2)函数2ex0,解得x2e或x0,的单调区间为1Inxgx的单调为2e,0,单调减区间为0,2e；Inx单调减区间为e,2ex2me，fxminXifx2恒成立,考点:导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、求函数在给定区间上的最值等【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及给定区间山的最值问题，属于中档题.利用导数

22、的几何意义求曲线上某点的切线是导数中最常见的问题之一，关键是把好审题关，判断给出的点是否是切点，利用导数研究函数的单调性常用列表或串根法判断导数的符号，有时还要讨论，本题的难点是（2）中的转化问题，涉及到两个变量的恒成立，通常逐个分析，转化为求函数的最值问题8.(I)1f（x）的单调增区间为（!e1，一,一）,f（x）的单调减区间为（0,）；（口）当a0时，F（x）无极，e值；当a10时，F（x）有极大值一21lnJ，无极小值.（w）证明详见解析.2a【解析】试题分析:（i）利用一阶导数的符号来求单调区间.（口）对a进行分类讨论，F（x）的极值.（皿）把证明不等式转化求函数的最小值大于0.答案

23、第8页，总12页试题解析：(I)f(x)Inx1(x令f(x)0,即Inx令f(x)0,即Inx11.10,得x,故f(x)的增区间为(一，)；ee11、10,得x，故f(x)的减区间为(0,)；1),f(x)的单调减区间为(0,-).，eee1f(x)的单调增区间为(二山(x0)e，、2,，小1(口)F(x)axInx1(x0)F(x)2ax一，x当a0时，恒有F(x)0.F(x)在(0,)上为增函数，故F(x)在x(0,)上无极值；当a0时，令F(x)0,得xJ工，当x(01),F(x)0,F(x)单调递增,2a2a),F(x)0,F(x)单调递减.F极大值(x)F(,F(x)无极小值;1

24、)1In2a2综上所述：a0时，F(x)无极值a0时，F(x)有极大值1InJ,，无极小值.22a(皿)证明：设g(x)exInx(x0),则即证g(x)2,只要证g(x)min2.x11一一0，g(1)e10g(x)exg(0.5)e221.72xx1又g(x)ex在(0,)上单调递增x)时，g(x)g(t)0:方程g(x)0有唯一的实根xt,且t(0.5,1).当x(0,t)时，g(x)g(t)0.当x(t,当xt时，g(x)minetIntt1t.1,g(t)0即e1则teg(x)min-:原命题得证.考点：求导公式，函数的单调区间，函数的极值，函数的最值.【方法点睛】(1)解含参数a的

25、不等式，需要对a进行分类讨论,是本题的亮点,也是本题的难点之一.(2)把证明不等式转化为求函数的最小值，也是本题的难点之一.(3)在求最小值的过程中，对零点t设而不求，最后利用基本不等式进行放缩，是本题最大的亮点，也是最难的地方.丰富，本题设问层层深入，是一道好题，意蕴悠长.(4)本题题干简洁，但是内涵答案第9页，总12页9.（I）fx的单调递增区间是01遍;（口）详见解析；（W），2【解析】试题分析：（I）求导，令导数大于0得增区间.（口）令Fxfx,1x1,求导，讨论导数的正负，得函数的单调区间，从而可得函数的最值，只需其最大值小于0即可.（w）由（口）知k1或k1时均不成立.当k1时，令

26、Gxfxkx1,求导，讨论导数的正负，得函数的增减区间.根据单调性可得其最大值，使其最大值大于0即可.,1）试题解析：（I）fxx1x2xx1，xx0,x00得9解彳导0xx2x10的单调递增区间是0,152（口）令Fxfxx1,x0,则有Fx1x2当x1,时，Fx0,所以Fx在1,上单调递减,故当x1时，FxF10,即当x1时，fxx1.（W）由（口）知，当k1时，不存在x01满足题意.当k1时，对于x1,有fxx1kx1,则fxkx1,从而不存在1满足题意.当k1时，令Gx则有Gxx21kx1x由Gx0得，x21kx10.答案第10页，总12页1k1k24解彳导x1：0,X2从而当综上,1,X2时，Gx1,x2时,k的取值范围是考点：用导数研究函数的性质.0,故G,10,1,x2内单调递增.110.(I)f(x)的单调增区间为(一,eF(x)无1、1n，无极小值.(皿)证明过程详见解析.),f(x)的单调减区间为(0)；(11)当a0时,，e，一一、一1极值；当a0时，F(x)有极大值一2【解析】(皿)原不等式等价于exInx试题分析：(i)求出导函数，由导函数大于零求解，由导数小于零求解，然后总结出单调区间;数有极值，则导函数等于零