射影面积法求二面角

1、S射影射影面积法（cosq=）S原积凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面的大小。s射的都可利用射影面积公式（COS射）求出二面角S斜例1、如图，在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中,ADBC,ZABC=90,SA_L平面ABC,SA=AB=BC=1,1AD=2?求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出SASCD与SaSAB即故所求的二面角e应满足cos=1=1211=6=1s2=322例2.（2008北京理）如图，在三棱锥PABC中，ACBC2,ACB90,APBPAB,PCAC?(I)求证：PCAB;(II)求二面角B

2、APC的大小;PCPCBC解：(I)证略(II)ACBC,APBP,AAPCBPC?又PCAC,又ACB90，即ACBC，且ACPCC,PCBC平面PAC?取AP中点E?连结BE,CE?ABBP,BEAP?EC是BE在平面PAC内的射影，CEAP?人。是4ABE在平面ACP内的射影，于是可求得：ABBPAPAC2CB222,11BEAB2AE26,AEEC2贝IjS.SACEAECE22122SjigSabe1AEEB1263s射13设二面角BAPC的大小为，则cos13S原33面角BAPC的大小为arccos练习1:如图5,E为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CG的中点，求平面ABiE和

3、底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值？2脊条：所求二回用日勺采5幺但方cojU32?如图一，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,APAB2,BC22,E,F分别是AD,PC的中点.(1)证明：PC平面BEF;(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小.题(1)解略；题(2)中平面BEF与平面BAP夹角即为平面BEF与平面BAP所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得的图形便是二面角的平面角？如图一：PA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC.又BCAB,ABPAA,BC平面BAP.又BC平面PBC,平面PBC平面BA

4、P.由题（1）,PC平面BEF,PC平面BEF，平面PBC平面BEF.所以PBF是所求二面角的平面角.PBPA?AB?22,PFPCiAB?BOPA?,22sinPBF生2pbf即平面BEF与平面BAP夹角为.4方法二：平移平面法面所成如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角如图二：取BC的中点G，连接FG,EG.E,F分别是AD,PC的中点，EGAB,FGPB.又FGEGG,ABPBB,平面EFG平面BAP.二面角BEFG的大小就是平面BEF与平面BAP夹角的大小.可以证明BFG为二面角B

5、EFG的平面角，并求出其大小为.4方法二：射影法利用公式cos,J中S表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，S表示S此多边形在另一个半平面射影的面积，表示原图形与射影图形所成的二面角？F为PC中点,FHBC,AEBC.由解法一知，BC平面J1/一BAP,H一一一一六A/、.EDFH平面BAP,AE平面BAP,点F、E在平面BAP内的射影分别为:，牙一二.争H、A-b-1.BEF在平面BAP上的射影为BAH.可以证明BEF和BAH均为直角三角形.1HFBC,AEBC,HFBCBC,2四边形HFEA为平行四边形，EFAE.记平面BEF与平面BAP夹角为，则cossbah2,SBEF2所以，即平

6、面BEF与平面BAP夹角为.443已知ABC是正三角形，PA平面来度量的，本题ABC且PA=AB=a5求二面角A-PC-思维二面角的大小是由二面角的平面角可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1:（三垂线定理法）取AC的中点E,连接BE,过E做EFPC,连接BFPA平面ABC,PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=ACE平面PAC由三垂线定理知FPCBFE为二面角A?PC?B的平面角设PA=1,E为AC的中点,E=3,EF=24tanBFE=BE6EFBFE=argtan6解2:（三垂线定理法）FMAB=AC3P

7、B=PC图2PBC=PEC的中点E,连接AE,PE过A做AFPE,FMPC,连AEBC5PEBCC平面PAE5BC平面PBC由手镂鼻非面A辟$5平面PAE平面FMA为二面角A-PC-B的平面角sinFMA=设PA=1,AM=2tAF=AP.AE21AF422PEAM7FMA=argsin解3:（投影法）PA平面ABC,平面PAC平面E平面PAC过B作BEAC于巳连结PEPA平面PACABC,平面PAC平面ABC=ACPEC是PBC在平面PAC上的射影设PA=1,贝IPB=PC=25AB=117SPEC,SPBCcosSPEC7argcos7由射影面积公式得，SPBC4?在单位正方体A1B1C1D1ABCD求二面角AAQB的度乙oavvms三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面角的平面角，进而求解。解法一.作AOAQ,取AiB的中点M,连结OM.AM.AMAiBAMBCAM平面AiBCAiBBCB由三垂线逆定理知MAiCAiCAiC3AOM为所求二面角AAiCB的平面角在RtAiAC中aoAAiAC6sinAOMAMAOAOM60?射影法利用斜面面积和射影面积的关系：S峡S初cos（为斜面与射影所成二面角的平面角）