导数中参数问题

1、如何理解“恒成立、能成立、恰成立”设有条件p和条件q，具对应集合为A、B.若Aq恒成立。B，即A是B的充分条件，则称在条件p下,.若AB，则称在p下，q能成立。如果f(x)g(x)有解，f(x)maxg(x)min,如果f(x)g(x)有解，f(x)ming(x)max如果有两个参变量时，存在，任意的情况下还有最大值大于最大值，最小值小于最小值。.若A=B,则称p下，q恰成立能成立与最值问题1.(2010山东，两边分求，最小值与最大值)1a已知函数f(x)lnxax1(aR).x1当aw1时，讨论f(x)的单调性；2设g(x)x22bx4.当a1时，若对任意x(0,2),存在x1,2,使4f(

2、x1)g(x2),求实数b取值范围.解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；(2)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数.21ala1axxa1/f(x)Inxax1(x0),f(x)-a-2-2(x0)xxxx令h(x)ax2x1a(x0)当a0时，h(x)x1(x0),当x(0,1

3、),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减；当x(1,),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增.1当a0时，由f(x)0,即ax2x1a0，解得x11,x2一1.a1 .当a时x1x2,h(x)0恒成立，此时f(x)0,函数f(x)单倜递减；21 ,1当0a一时，-110,x(0,1)时h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减;2 a1x(1,一1)时，h(x)0,f(x)0,函数f(x)单倜递增；a1x(11,)时，h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减.a1当a0时110,当x(0,1),h(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减；a当x(1,),h(x)0,f(

4、x)0,函数f(x)单调递增.综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；1 ,当a时x1x2,h(x)0恒成立，此时f(x)0,函数f(x)在(0,)单倜递减；21 11一,当0a1时，函数f(x)在(0,1)递减，(1,11)递增，(,1,)递减.2 aa1.当a1时，f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意x(0,2),4_1有f(x1)f(1)一，21 .一又已知存在x21,2,使f(x1)g(x2),所以一g(x2),x21,2,(派)2又g(x)(xb)24b2,x1,2当b1时，g(x)ming(1)52b0与(X)矛盾;1,

5、2时，g(x)ming(1)4b20也与(X)矛盾;.一，117当b2时，g(x)ming(2)84b-,b-.28一17综上，实数b的取值范围是17,).81a2.设函数f(x)lnxax1.x(i)当a1时，过原点的直线与函数f(x)的图象相切于点P,求点P的坐标；1(n)当0a时，求函数f(x)的单调区间；2,、125.，一(出)当a-时，设函数g(x)x2bx一，右对于(0,e,x20,1312使f(xjgJ?)成立，求实数b的取值范围.(e是自然对数的底,1)解：函数f(x)的定义域为(0,),f(x)1ax(i)设点P(x0,丫。)(0),当a1时，f(x)1a2xInxxq1,1

6、1彳In刈x01f(x)1,-f(x0)1xx0x。解得x0e2,故点P的坐标为(e2,1e2)2axaxa1(x1)(ax1(n)f(x)22一xx1 1a-0a-102a.当0x1,或x5时f(x)0,当1xa1aa)a(x1)(x)一2xan,时,af(x)011a故当0a时，函数f(x)的单调递增区间为(1,a);2a单调递减区间为(0,1),(,)a1 x2(出)当a时，f(x)lnx1由(n)可知函数f(x)在(0,1)上是减函数，333x在(1,2)上为增函数，在(2,e上为减函数，且f(1)2,f(e)-333e2 2f(e)f(1)2e-2e3(e”,又e打1,(e1)23,

7、3e3e2f(e)f(1),故函数f(x)在(0,e上的最小值为-3若对于(0,e,x20,1使f(x)gd)成立g(x)在0,1上的最小值不大于f(x)在(0,e上的最小值2(*)3又g(x)x22bx(xb)2b2,x0,1121252当b0时，g(x)在0,1上为增函数，g(x)ming(0)与(*)矛盾1235当0b1时，g(x)ming(b)b一，12,o521由b一一及0b1得，一b11232当b1时，g(x)在0,1上为减函数，.7172，一，g(x)ming(1)2b彳，此时b112123综上，b的取值范围是1，)23.(2010山东，两边分求，最小值与最大值)2已知函数f(x

8、)xlnx,g(x)xax3.求f(x)在t,t2(t0)上的最小值；.,1一，一若存在x-,e(e是常数，e=2.71828)使不等式2f(x)g(x)成立，求实数a,e的取值范围；,、，12一一证明对一切x(0,，都有lnxr成立.(注：此问也是2014年新课标1理科21题eex第二问的原题内容，是全卷的压轴内容)解：/r(x)=lnx+l?当时，单调递减，当工e十口卜LjIK-动单调一弟憎，当0f(a)1lna10,解得a1,.1a1时，若关于x的不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解：(1)当a0时,f(x)f,(x)exf(0)0,f(0)1,切线方程为(2)方法一f(x)ex

9、x2ax210x2._ex1a&2x设/g(x)exx2设(x)(x(x)在1,(xg(x)g(x)方法二设h(x)x0,1)ex，则，/、g(x)(x1)exx212x2x21,则2)上为增函数，2xx1)e122x3f(x)h(x)h(x)h(1)又f(x)eh(x)h(1)f(x)ea,h(x)ax,(x)x(ex1)0,10,a.(x)(1)0g(x)ax1,1,h(x)f(x)0,2x2xa在1,ax10恒成立，a0,f(x)exx1在1,)上为增函数，11在1,)上为增函数，)上为增函数0,f(x)f(1)3.(2010全国I文21,恒成立，一次，提出一部分再处理的技巧)设函数f(

10、x)xex1ax2.1若a=1,求f(x)的单调区间；2若当x0时f(x)0,求a的取值范围.一1,V12斛：a一时，f(x)x(e1)-x,f(x)e1xex(e1)(x1).22当x,1时f(x);当*1,0时，f(x)0;当x0,时，f(x)0.故f(x)在，1,0,单调增加，在(1,0)单调减少.f(x)x(ex1ax).令g(x)ex1ax,贝Ug(x)exa.若a1,则当x0,时，g(x),g(x)为减函数，而g(0)0,从而当x0时g(x)0,即f(x)0,符合题意.若a，则当x0,lna时，g(x),g(x)为减函数，而g(0)0,从而当x0,lna时g(x)0,即f(x)mx

11、对所有的a0,x1,e2都成立，求实数m的2取值范围.a解：(1)f(x)-2bx。1f(1)a2b0a1函数f(x)在x1处与直线y1相切1，解得12f(1)beb22Q1c11xf(x)Inxx,f(x)一x2xx,1，人，L1人当-xe时，令f(x)0得一x1;令ee上单调递增，在1,e上单调递减，f(x)max(2)当b=0时，f(x)alnx若不等式f(x)、一一，1f(x)0,得1xe,f(x)在一,1e1f(1)0.23,2-、mx对所有的a0,一,x1,e都成23.2、立，则alnxmx对所有的a0,x1,e都成立,232即malnxx,对所有的a0,-1,x1,e都成立，2令

12、h(a)alnxx,则h(a)为一次函数，mh(a)min.2.一.3.x1,e,lnx0,h(a)在a0,-上单倜递增，h(a)minh(0)x,2一.2,，一mx对所有的x1,e者B成立.2221xe,ex1,m(x)mine.2(汪：也可令h(x)alnxx,则mh(x)所有的x1,e都成立，分类讨论得mh(x)min2ae2对所有的a0,3都成立，m(2ae2)mine2,)b5.已知函数f(x)ax-Ca0)的图象在点(1,f(1)处的切线万程为yx1.x用a表tk出b、c;若f(x户lnx在1,)上恒成立，求a的取值范围；(反比例，作差构造)bf(x)a,则有xf(1)abcf(1

13、)ab1a1l2aa1由知，f(x)axa12a,x.a1令g(x)f(x)lnxax12alnx,x1,则g(1)0,x2g(x)axx(a1)2x1a、a(x1)(x)a2x11a.当0a，12a1ax，则g(x)0,g(x)是减函数，所以g(x)ag(l)of(x)lnx,故f(x)Inx在1,上恒不成立。1n,1a一时，2a若f(x)lnx,故当x1时，f(x)lnx。综上所述，所求a的取值范围为1,2(在2014年新课标高考文科21的讨论中，与本题极其相似，两个极值点，一定一变，值得细细品味，同时这题还可以将a分离利用洛必达法则)此时再看前几周的联考21题，是否会有一种豁然开朗的感觉即g(工)的最大值小于二伙-1)(2