线性代数必须知识的结论

1、1.2.1、行列式n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式;代数余子式的性质： 、Aq和aq的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为3.4.代数余子式和余子式的关系：Mo（1yjA,设n行列式D:Aij0;A;(1)ijMij将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为Di，则Di(将D顺时针或逆时针旋转90°，所得行列式为D2，则D2n(n1)1产D;n(n1)(1)将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D；125.、副对角行列式：副对

2、角元素的乘积上、下三角行列式（卜）匚和丄：副对角元素的乘积n（n1）（厂;主对角元素的乘积;n(n1)厂;行列式的重要公式：主对角行列式：主对角元素的乘积;拉普拉斯展开式:范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：EA1)kSkn，其中Sk为k阶主子式;7.证明A0的方法： 、AA; 、反证法； 、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解; 、利用秩，证明r（A）n; 、证明0是其特征值；2、矩阵1.A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A:AA*AAAE无条件恒成立；1*11TT1*TT*3. (A)(A)(A)(A)(A)(A)*111(AB)BA(A

3、B)BA(AB)BA4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：A若AA2，则：OAsI、AA1A2LAs；A114n、A1A2OAs1、A1OA1O1，（主对角分块）OBOB1、O1AOB1.（副对角分块）BOA1O、A1CA11A1CB1OB;（拉普拉斯）OB1、A1OA1OCB1;（拉普拉斯）B1CA1BErO3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的:等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B，若

4、r（A）r（B）A:B；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 、若（A,E）：（E,X），则A可逆，且XA1；c 、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：（A,B）（E,A1B）； 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果（A,b）（E,x），则A可逆，且xA1b；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；，左乘矩阵A，i乘A的各行

5、元素；右乘，i乘A的各列元素;111115.6.7.、对调两行或两列,、倍乘某行或某列，、倍加某行或某列，矩阵秩的基本性质:、符号符号符号E(i,j)，且E(i,j)1E(i(k)，且E(i(k)1E(ij(k),且E(ij(k)10r(Amn)min(m,n)r(AT)r(A);若A:B，则r(A)r(B);若P、Q可逆，则r(A)max(r(A),r(B)r(A,B)r(AB)r(A)r(B)；E(i,j)，例如:E(i(£)，例如:E(ij(k)，如:r(PA)r(AQ)r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)r(A)r(B);(探)r(AB)min(r(A),r(B);如果A

6、是mn矩阵，B是ns矩阵，且I、B的列向量全部是齐次方程组AXn、r(A)r(B)n若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)(k0)；(k0)；AB0U:(探)0解(转置运算后的结论)；r(B)三种特殊矩阵的方幕： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)1a 、型如0100行矩阵(向量)的形式，再采用结合律;二项展开式:注:I、(an、Cnmcb的矩阵：利用二项展开式;1(ab)nC0anb)n展开后有nn(n1)LL(nm1)1g2gg_gm组合的性质：cmcnm、禾u用特征值和相似对角化:伴随矩阵:、伴随矩阵的秩：r(A*)C；a'1项;n!、伴随矩阵的特征值:1b1LCn

7、ma'LC；1a1bn1C：bmmnCnabm0m!(nm)!mmCn1Cnr(A)r(A)r(A)(AXX,A、A*AA1、8.关于A矩阵秩的描述:C0C：Cnm1AA1nCr2n0rCnrncn1;An14、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话）、r(A)n，A中有n阶子式全部为0；、r(A)n，A中有n阶子式不为0；9. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程; 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程;10. 线性方程组Axb的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

8、、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：a11x1a12x2La1nxnb1、a21x1a22x2La2nxnb2；LLLLLLLLLLLam1x1am2x2Lanmxnbna11a12La1nx1b1、a21a22La2nx2b2Axb（向量方程，A为mn矩阵，MMOMMMam1am2Lamnxmbmx1b1、a1a2Lax2n（全部按列分块，其中b2）；nMMxnbn、a1x1a2x2Lanxn（线性表出）、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性m个方程，n个未知数）若A

9、线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs（二版P74定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）r（B）；（P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示AXB有解；r（A）r（A,B）（P&5定理2）向量组A能由向量组B等价r（A）r（B）r（A,B）（P85定理2推论）方阵A可逆存在有限个初等矩阵R,P2丄，P，使APF2LP； 、矩阵行等价：ABPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解c 、矩阵列等价：ABAQB（右乘，

10、Q可逆）； 、矩阵等价：ABPAQB（P、Q可逆）；对于矩阵Amn与Bln: 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩；若AmsBsnCmn，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx0只有零解Bx0只有零解； 、Bx0有非零解ABx0一定存在非零解；设向量组Bnr:b,b2,

11、L,br可由向量组Ans:a1,a2,La线性表示为：（Rg题19结论）（bb,L,br）a,a2,L,as）K（BAK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r（K）r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：Qrr（B）r（AK）r（K）,r（K）r,r（K）r;充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用； 、对矩阵Amn，存在Qnm，AQEm（A）m、Q的列向量线性无关；（P87） 、对矩阵Amn，存在Pnm，PAEn（A）n、P的行向量线性无关；1，2，L,s线性相关存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks，使得k11k22Lkss0成立；（定义）X1x(!,2

12、,L,s)20有非零解，即Ax0有非零解;MXsr（1,2,L,s）s，系数矩阵的秩小于未知数的个数;r(S)nr；设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax0的解集S的秩为:则*,!,2丄，nr线性无关；（卩111题33若为Axb的一个解，1,2,L,nr为Ax0的一个基础解系,结论）5、相似矩阵和二次型正交矩阵AtAE或A1At（定义），性质:7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.1.、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即iJ.(i,J1,2,Ln)；iJ8 、右A为正父矩阵，则A1At也为正交阵，且|A1； 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千

13、万不要忘记施密特正交化和单位化;2.施密特正交化：（a,a2,L,a）b2bab,bLLLb,arb,bb2,arb2,b2br1,ar.g1bri,bri3.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4.、A与B等价A经过初等变换得到B；、A与B合同PAQB，P、Q可逆；r（A）r（B），A、B同型；ctACB，其中可逆；、A与B相似xtAx与xtBx有相同的正、负惯性指数;P1apb；5. 相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则CtACBA:B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；7. n元

14、二次型xtAx为正定：A的正惯性指数为n；A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTACE；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0；aii0,A0；（必要条件）A是n阶可逆矩阵：A0（是非奇异矩阵）；r（A）n（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax0有非零解；bRn,Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0;ATA是正定矩阵；A的行（列）向量组是Rn的一组基;1.m个n维列向量所组成的向量组A:“2丄，m构成nm矩阵A（2,L,m）；T1Tm个n维行向量所组成的向量组B：1T,2T,L,mT构成mn矩阵B123456；MTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）3.矩阵Amn与Bln行向量组等价