第3章 4 简支梁受均布荷载

1、 3-4 3-4 简支梁受均布荷载简支梁受均布荷载矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量矩形截面简支梁，体力不计，求应力分量qLqLLLy0 x2h2hq半逆解法框图半逆解法框图由边界条件选择某应力的函数式?04吗满足YES求应力分量NO满足边界条件吗?YES结论NO积分求函数 逆解法框图逆解法框图选择应力函数?04吗满足YES求应力分量NO满足几何边界条件？YES结论NO上、下边界上、下边界(主要边界主要边界)的边界条件：的边界条件：02hyyqhyy2由于由于q q沿沿x x轴不变化，与轴不变化，与x x无关，故可假设无关，故可假设)( yfy也与也与x x无关无关则则)(22yfxyyfx

2、yfx1)(yfxyfxyf212)(21其中：其中：yfyfyf21,),(为待定函数为待定函数（a）q0 xyLL2h2h（2 2）必须必须满足相容方程满足相容方程，据此求待定函数据此求待定函数024422444yyxx 02222424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd代入应力函数后得到：yfxyfxyf212)(21方程为方程为x x的二次方程的二次方程( (最多只有两个根最多只有两个根) )，要求全梁，要求全梁范围内无论范围内无论x x取何值均成立取何值均成立( (无数个根无数个根) )，只有，只有x x的各的各次幂的系数均为零：次幂的系数均为零：二次项系数二次

3、项系数一次项系数一次项系数零次项零次项 0414dyyfd 044dyyfd 0222424dyyfddyyfd（1）（2）（3）由（由（1 1）、（）、（2 2）式：）式：DCyByAyyf23)()()(231常数项GyFyEyyf 02222424414244dyyfddyyfdxdyyfdxdyyfdyfxyfxyf212)(21由（由（3 3）式（）式（x x的零次幂项）的零次幂项）： BAydyyfddyyfd412222424)()(610)(23452常数项一次项KyHyyByAyf故故：2345232326102),(KyHyyByAGyFyEyxDcyByAyxyx（b）上

4、述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只上述应力分量满足平衡微分方程及相容方程，只要选择适当的系数要选择适当的系数A A、BKBK常数，使所有边界条常数，使所有边界条件满足，则（件满足，则（c c） 、 （d d）、（）、（e e）为正确解答。）为正确解答。（3 3）根据（）根据（223223）求出应力分量）求出应力分量 ；)23(232622)26()26(2222232223222GFyEycByAyxyxDCyByAyxKHyByAyFEyxBAyxyxyyx（c）（d）（e）LLy0 x2h2hqa a）考察上边界（主边界）考察上边界（主边界）2hy02hyxy0)43(2cBhAhx

5、)23(23222322GFyEycByAyxDCyByAyxxyyqDChBhAh24823qhyy20)243(2GFhhEysysxyxsxysxfmfmLLy0 x2h2hqa a）考察下边界（主边界）考察下边界（主边界）2hy 下边界：下边界：02hyy)23(23222322GFyEycByAyxDCyByAyxxyy024823DChBhAh0)43(2cBhAhx0)243(2GFhhE02hyxyysysxyxsxysxfmfm上下边界结果汇总024823DChBhAh0)43(2cBhAhx0)243(2GFhhE0)43(2cBhAhxqDChBhAh248230)243

6、(2GFhhE0B0F0)243(2GFhhEqLqLLLy0 x2h2hqYlYlLxxyLxxy左边界左边界(假设分布为假设分布为Y,m0)：两端x=L处的积分边界条件YYhyxyhyxy22代入两端的代入两端的lqLdyqLdyqLYdyhhLxxyhhLxxyhh222222ysysxyxsxysxfmfm两端积分：两端积分：qLdyGFyEycAyLLxqLdyGFyEycAyLLxGFyEycAyxhhhhxy2222222222)23()3(:)23()3(:)23(3023GhhE000)43(2GEGhE两端x=L处的积分边界条件020)23(3222GhhEdyGFyEyh

7、h以上两个等式两端相加得到：结合前页等式和上式得到：注意：两端的y方向应力是共线的，所以只有合矢量积分条件应力分量：应力分量：IQShyhyqhyhyqyIMxyyx*222)21 (12534（36）注意到材力的表达方式：注意到材力的表达方式：qLQxLqMyhShI),(228,1212222*35）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件，）通过几何方程、物理方程及两端位移约束条件，可确定位移分量可确定位移分量0|0yLxu0|0yLxv与材力的结果比较与材力的结果比较材力解材力解弹力附加项（修正项）弹力附加项（修正项）yIMx53422hyhyq0y2)21 (12hyhyqIQSxy*0|0yLxuEIqLvyx245|400)254(53245224LhEIqLEIqLxyqq材力弹力材力不考虑这个应力对于对称性问题 教材中采用对称性来考虑问题也是可以的。 对称性包括：几何形状、应力和位移边界条件3方面 对称性是基于：原因对称则结果必然对称。 如果考虑了对称，则两端的