等离子体物理-第六章-3

1、第八章第八章 微观不稳定性微观不稳定性81 等离子体微观不稳定性概述等离子体微观不稳定性概述一、基本特征一、基本特征所谓等离子体不稳定性，是指等离子体中正在增长着的集体所谓等离子体不稳定性，是指等离子体中正在增长着的集体运动。对于处于热力学平衡状态的等离子体而言，其中出现运动。对于处于热力学平衡状态的等离子体而言，其中出现的集体振荡模式一般是稳定的。如果等离子体偏离了热力学的集体振荡模式一般是稳定的。如果等离子体偏离了热力学平衡状态，集体模式就可能变成不稳定。平衡状态，集体模式就可能变成不稳定。等离子体偏离热力学平衡其形式包括有两类方式：等离子体偏离热力学平衡其形式包括有两类方式：一类是等离子

2、体宏观参数如密度、温度、压强或其它热力学一类是等离子体宏观参数如密度、温度、压强或其它热力学量的空间局部化或不均匀性；这种不稳定性中等离子体通常量的空间局部化或不均匀性；这种不稳定性中等离子体通常以整体形式在空间改变其形状，是等离子体作为整体时的宏以整体形式在空间改变其形状，是等离子体作为整体时的宏观运动，因而称为宏观不稳定性观运动，因而称为宏观不稳定性一类是等离子体的速度空间分布函数偏离麦克斯韦分布。这一类是等离子体的速度空间分布函数偏离麦克斯韦分布。这种原因产生的不稳定性是等离子体内部的高频短波波长振荡，种原因产生的不稳定性是等离子体内部的高频短波波长振荡，即振荡波的波长接近即振荡波的波长

3、接近Debye长度的量级，称为微观不稳定性。长度的量级，称为微观不稳定性。 81 81 等离子体微观不稳定性概述等离子体微观不稳定性概述一个平衡的等离子体，总是会受到各种各样的扰动。假设扰一个平衡的等离子体，总是会受到各种各样的扰动。假设扰动是以波的形式出现，而一般的波可以看成是平面波的适当动是以波的形式出现，而一般的波可以看成是平面波的适当组合，因此研究不稳定性只讨论平面波则可。平面波的时空组合，因此研究不稳定性只讨论平面波则可。平面波的时空变化因子：变化因子：当当 时波就随时间指数增长，从而出现不稳定性时波就随时间指数增长，从而出现不稳定性.等离子体不稳定性通常发生在远小于碰撞特征时间的时

4、间间等离子体不稳定性通常发生在远小于碰撞特征时间的时间间隔之内隔之内,即即exp ()i k rtri()（波的增长率）粒子间的碰撞频率081 81 等离子体微观不稳定性概述等离子体微观不稳定性概述等离子体不稳定性特征为：等离子体不稳定性特征为：1、宏观不稳定、宏观不稳定相对增长缓慢：增长率相对增长缓慢：增长率 ，可以仅用流体理论处，可以仅用流体理论处理，不必作涉及分布函数的分析。理，不必作涉及分布函数的分析。2、微观不稳定性、微观不稳定性 不能仅用宏观运动方程导出，而必须考虑等离子体的精细描不能仅用宏观运动方程导出，而必须考虑等离子体的精细描述（如分布函数的变化）后才能得到，故又称为述（如分

5、布函数的变化）后才能得到，故又称为“速度空间速度空间不稳定性不稳定性”。二、微观不稳定性的产生及意义二、微观不稳定性的产生及意义形成不稳定性要有能量来源，才能使波不断增长。驱动微观形成不稳定性要有能量来源，才能使波不断增长。驱动微观不稳定性的能量来源有哪些？不稳定性的能量来源有哪些？ 81 81 等离子体微观不稳定性概述等离子体微观不稳定性概述1、等离子体偏离麦克斯韦分布时的自由能、等离子体偏离麦克斯韦分布时的自由能 当粒子的密度分布处于当粒子的密度分布处于Maxwell分布时，等离子体的熵分布时，等离子体的熵S为为极大值极大值Smax，而非，而非Maxwell分布时的熵值分布时的熵值S比比S

6、max小，此时小，此时的自由能将大于的自由能将大于Maxwell氏分布时的自由能。当一种非氏分布时的自由能。当一种非Maxwell分布向分布向Maxwell分布过渡时，多余的自由能被释放分布过渡时，多余的自由能被释放出来，便可以驱动微观不稳定性出来，便可以驱动微观不稳定性 2、等离子体中粒子定向运动的动能：、等离子体中粒子定向运动的动能：例如由一定速度注入粒子束或由等离子体中存在密度、温度例如由一定速度注入粒子束或由等离子体中存在密度、温度的梯度引起的抗磁漂移所提供的能量，也可以驱动微观不稳的梯度引起的抗磁漂移所提供的能量，也可以驱动微观不稳定性，但能量较小。定性，但能量较小。3、膨胀能、膨胀

7、能 等离子体通过膨胀趋向于空间均匀分布时，其内能将会降低，等离子体通过膨胀趋向于空间均匀分布时，其内能将会降低，由此释放的能量可以驱动微观不稳定性，且能量较大。由此释放的能量可以驱动微观不稳定性，且能量较大。81 81 等离子体微观不稳定性概述等离子体微观不稳定性概述三、微观不稳定性分析方法三、微观不稳定性分析方法在不稳定性的初始阶段，扰动的振幅较小，可用线性近在不稳定性的初始阶段，扰动的振幅较小，可用线性近似方法处理似方法处理 。即联立求解。即联立求解Vlasov和和Maxwell方程。方程。将粒子分布函数将粒子分布函数 f 与场矢量展开为扰动的一级量，略去与场矢量展开为扰动的一级量，略去扰

8、动量的二次以上项，得到线性化方程组。采用扰动量的二次以上项，得到线性化方程组。采用Fourier变换，相当于作平面波近似，即设一级扰动量变换，相当于作平面波近似，即设一级扰动量按平面波因子（按平面波因子（ ）变化，问题即转化为研究）变化，问题即转化为研究各个各个Fourier分量的性质，并从此可以由基本方程组导分量的性质，并从此可以由基本方程组导出波的色散方程，并且色散方程中的出波的色散方程，并且色散方程中的k、都可能是复都可能是复数值数值。 exp ()i k rt81 81 等离子体微观不稳定性概述等离子体微观不稳定性概述1、当研究波沿某一方向传播的情况时，可假定、当研究波沿某一方向传播的

9、情况时，可假定为实为实数，数，k为复数为复数表明波在传播过程中幅度随表明波在传播过程中幅度随exp(k1r) 变化，所谓的变化，所谓的“空空间不稳定性间不稳定性”2、当研究所谓、当研究所谓“时间不稳定性时间不稳定性”时，可假定时，可假定k为实量，为实量，从色散方程中求出从色散方程中求出 : 存在着振幅增大和与之对应的不稳定性模式存在着振幅增大和与之对应的不稳定性模式在研究不稳定性时，通常希望得到：在研究不稳定性时，通常希望得到：a）使）使 的的 必要与充分条件；必要与充分条件；b） 对等离子体参数的依赖形式对等离子体参数的依赖形式 ()1i k rtAe 10ikkk011ik r k rAe

10、 ( )( )( )rkkik( )0k( )k082 82 静电不稳定性静电不稳定性条件是均匀、无界、非磁化等离子体：条件是均匀、无界、非磁化等离子体：色散关系色散关系 ：假定波的传播方向沿假定波的传播方向沿 X 轴：轴：如果具有如果具有f0(V)分布函数的等离子体存在静电不稳定性分布函数的等离子体存在静电不稳定性 ，由于由于k为实数，为实数，k2大于零，大于零， 且为实数且为实数 如果如果 ，并使得，并使得 ， f0(V)代表的等代表的等离子体存在着不稳定的静电振荡离子体存在着不稳定的静电振荡等离子体不稳定性的必要条件和充分条件等离子体不稳定性的必要条件和充分条件 是是000EB 0220

11、( ,)10fkeD kdmkk 0220dfedkdvZmkk0kZ(0)ri 0kZ0kZ82 82 静电不稳定性静电不稳定性潘罗斯（潘罗斯（Penrose）判据）判据 当且仅当在当且仅当在 f0(V) 在在 点点有极小值有极小值 时时等离子体中会出现按指数增长的静电模式等离子体中会出现按指数增长的静电模式 0/rk20000( )0rrvf vfdvkk83 83 束束等离子体不稳定性等离子体不稳定性等离子体尾场加速器中静电波特性等离子体尾场加速器中静电波特性设密度为设密度为nb的电子束注入到冷等离子体（密度为的电子束注入到冷等离子体（密度为ne）中，）中，视离子为静止不动的正电荷背景，

12、则该束视离子为静止不动的正电荷背景，则该束等离子体等离子体系统的电子速度分布函数可写系统的电子速度分布函数可写 在在0vvb区间上选择点区间上选择点vm，对应，对应f (0)(vm)=0，(0)(0)(0)( )()( )( )( )bbebefnnff bm(0)( )f(0)( )ef(0)( )bf00)0()()()()(222)0()0(membbmmvnvvndvvvvfvf由潘罗斯（由潘罗斯（Penrose）判据，表）判据，表明该系统是不稳定的，存在增明该系统是不稳定的，存在增长的静电模式，其的相速长的静电模式，其的相速phmk 83 83 束束等离子体不稳定性等离子体不稳定性等

13、离子体尾场加速器中静电波特性等离子体尾场加速器中静电波特性静电不稳定性波的分析：静电不稳定性波的分析：仅考虑纵向振荡，不稳定性色散方程为仅考虑纵向振荡，不稳定性色散方程为 (0)2200( ,)10dfedD kdm kk 22)0(1knkvndvdvdfkvebb0)(1),(2222bbpekvkD83 83 束束等离子体不稳定性等离子体不稳定性等离子体尾场加速器中静电波特性等离子体尾场加速器中静电波特性令令b=0,得到静止等离子体中波的色散方程得到静止等离子体中波的色散方程：令令pe=0,得到运动的电子束中静电波的色散方程得到运动的电子束中静电波的色散方程在该系统中在该系统中不稳定性是

14、由等离子体本征振荡与电子束中的不稳定性是由等离子体本征振荡与电子束中的静电振荡）相互耦合产生的静电振荡）相互耦合产生的耦合的色散方程表明，在耦合的色散方程表明，在kvkvb点，即波的相速点，即波的相速 v vp= /k=v= /k=vb时，将产生较强的不稳定性时，将产生较强的不稳定性 2210ppe 2210()bbbk 83 83 束束等离子体不稳定性等离子体不稳定性等离子体尾场加速器中静电波特性等离子体尾场加速器中静电波特性将色散方程的形式进行变换：将色散方程的形式进行变换：当当pe时，右端小于时，右端小于0 0，存在虚根，存在虚根设设k k为复数，为复数， 为实数，得到为实数，得到k k

15、为：为：对于增长模式取对于增长模式取“”号，号，空间增长率为：空间增长率为：当当 时，得到最大的空间增长率时，得到最大的空间增长率22221)(pebbkv2/122) 1(/pebbbvivk2/122) 1(/)(pebbmvkIpe83 83 束束等离子体不稳定性等离子体不稳定性等离子体尾场加速器中静电波特性等离子体尾场加速器中静电波特性不稳定性波的时间增长率：不稳定性波的时间增长率：当不稳定波的相速当不稳定波的相速/k接近于电子束的定向速度接近于电子束的定向速度 vb时时定义：定义：色散方程变为：色散方程变为：将方程的右端在将方程的右端在k vb点处展开，并只保留一阶小量点处展开，并只

16、保留一阶小量|bkv22221pebp 221()()bbpeppkvbkvkvbbkvpekvpe32222122222321()()pepebbbkk 83 83 束束等离子体不稳定性等离子体不稳定性等离子体尾场加速器中静电波特性等离子体尾场加速器中静电波特性考虑零级近似，即去掉展开式中的一阶小量考虑零级近似，即去掉展开式中的一阶小量令对应于实数令对应于实数k的振荡波的角频率为的振荡波的角频率为 ：上式为上式为 波不稳定性的增长率，是零级近似得到的结果。波不稳定性的增长率，是零级近似得到的结果。当电子束中波的谐振频率接近等离子体静电波振荡频率当电子束中波的谐振频率接近等离子体静电波振荡频率时，即时，即 不稳定性增长率趋于不稳定性增长率趋于。实际。实际上在考虑到一级近似情况下，增长率存在最大值。