指数与指数幂的运算_优质学案

1、全国名校高一数学优质课时训练、 寒假训练专题汇编(附详解)指数与指数幕的运算【学习目标】1. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幕的运算性质(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计 算；(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幕的互化；(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算.2. 掌握无理指数幕的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3. 通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系 和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能 力；4. 通过对

2、根式与分数指数幕的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本 质.【要点梳理】要点一、整数指数幕的概念及运算性质1.整数指数幕的概念=Ja(n忘 Z*)n个a= 1(a H 0)a r (a H0, n")a12. 运算法则m nmHna a =a(am Namnm an a= am7(mn, a 工0 )；(abm =ambm.要点二、根式的概念和运算法则1. n次方根的定义:若xn=y(n N , n>1, y R)，则x称为y的n次方根.n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为 商；负数y的奇次方 根有一个，是负数，记为旳;零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y

3、的偶次方根有两个，记为±V?;负数没有偶次方根；零 的偶次方根为零，记为70=0.2.两个等式(1)当 nil 且 n* 时，(需)=a ;a, （n为奇数） |a|（n为偶数）要点诠释:要注意上述等式在形式上的联系与区别;计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方 后的结果必为非负数，可先写成|a|的形式，这样能避免出现错误.要点三、分数指数幕的概念和运算法则为避免讨论，我们约定a>0, n, m N，且为既约分数，分数指数幕可如下n定义：1an =需ma =（呵m =孙-m 1 a n =飞 a：要点四、有理数指数幕的运算1 .有理数指数幕的运算性质全

4、国名校高一数学优质课时训练、 寒假训练专题汇编(附详解)(a aO, b aO, a, P cQ )(3) (ab)Ja%G;当a>0, P为无理数时，a是一个确定的实数，上述有理数指数幕的运算性质 仍适用.要点诠释:(1)根式问题常利用指数幕的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幕运 算;(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、 何 时不能交换.如gs2 ；2 1 幕指数不能随便约分.如(-4)7 H (-4)匚2.指数幕的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幕化为正指数幕的倒 数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数

5、是带分数，先 要化成假分数，然后要尽可能用幕的形式表示，便于用指数运算性质.在化简运算中，也要注意公式：a2 b2= (a b) (a+ b), (a 士 b) 2= a2士 2ab + b2, (a士 b)3 = a3士3a2b + 3ab2± b3, a3 b3 =(a b) (a2+ab+ b2), a3 + b3=(a + b) (a2 ab+b2)的运用，能够简化运算.【典型例题】类型一、根式例1.计算：(1) (5十2晶十J7 -473 -晶-4近;【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运 算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理

6、化因式（1） J5+2品 + J7 -朋-J6-472=J（两2 +2屁72+（72）2 +（22-2x273+（73）2 - Q-2x272+（72）2二 J（Q72）2 + J（2-73）2 - J（2 -72）2=1 73 + 72I+I 2-y/3- 2-72|=73 + 72+2-73- （2-42） =27272-1十72+1（72+1）（72-1）（72-1）（72+1）72-1 + 72+1【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方, 再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可如本例（2）中，止的分子

7、、分母中同乘以（Q）.举一反三:【变式 1】化简：（1） J -272 + y（1-应）3 +彳（1-72）4 ；（2） JX2 -2x+1 -Jx2 +6x+9（ XC3）全国名校高一数学优质课时训练、 寒假训练专题汇编(附详解)【答案】("圧1;(2)存类型二、指数运算、化简、求值例2.用分数指数幕形式表示下列各式(式中a>0):a3 逅；(3) J;O11a3 ；5【答案】a2 ；【解析】先将根式写成分数指数幕的形式，再利用幕的运算性质化简即可。1 2+1 5a2 苗=a2 a2 =a 2 =a2;2 3 .2 11 a3=a3 £3 =a 3 = a3 ;,

8、113 13JaVa =(a a2)2 =(a2)2 =a解法一：从里向外化为分数指数幕11 ¥2丿1)2=疗(a>O,m, n*,且n1)。当所求根式-2-xy(x5-y4 解法二：从外向里化为分数指数幕。J2 J36223 FT 1 1236 111-y-(X-j)22 -X-(y-)322X y Y XX y X1 1 1 -Q忆“灯 lx丿ly丿lx丿5-y4【总结升华】此类问题应熟练应用含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幕写出, 然后再用性质进行化简。举一反三：高清课程：指数与指数运算 例1【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简（1

9、）vrTia ； Vx vx13【答案】（1）2诃a币；（2）【变式2】把下列根式化成分数指数幕:7【答案】2乜；3 113a4 ； b3 ； X 51x(VX)217>阪72 = 023 仝2 =22I丿f 1r33 1Va a2 =Vad(a2)22 11(3) b3 好=b3 疥=b'；1= L1- 1_111 待9 1 -3 - X 。3 X5【解析】（1）(2wa?a=7=2巨；聽(X5) 例3.计算：1111 订(1) (0.0081门”彳。 ”昭产遊尸'L.(2) 713 -33'24 -6 +4335(3) 125 +g(36)2 +引(兀-4)6

10、 y(3 -兀)3。【答案】3； 0； 2_1【解析】（1）原式=（0.3）1（丄+2jN=W3 333 原式=7緬-63 -23=0 ；（3） 原式=-5+6+4-兀-（3-兀）=2 ；【总结升华】（1）运算顺序（能否应用公式）；（2）指数为负先化正；（3）根r3 ；(1)； (2) Ja7a(aA0) ； ( 3) b3 泞；(4)全国名校高一数学优质课时训练、 寒假训练专题汇编（附详解）式化为分数指数幕.举一反三:【变式1】计算下列各式:1中-常+宀后“山6 ；4 12丄8a3b 2 7 -2洛)皿. aJ 2麻 + 4ba【答案】（1）112（2）a【解析】(1)原式二昇1原式=1 a

11、3(a-18b)1(a3)2 +2a3b3 + (2b3)2例4.化简下列各式.2 15x 庶 y25x6(1)2(3) (0.027)3r 1 J Y4x y 丄11125f 7 )丿2k 9丿113 1X1 + 门3)4 咒24 +(23)6 咒 ©2)6 = 2 + 24七 + 22 X 33 =112 ；1齐aE(a-8b)11- a.(ab3-(2b3)31a空汉11a3 -2b空1xa3 =m + m"* +21 m 2 + m21 1 1【答案】24y6 ； m 2 + m2【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，字母的指数运算；（2）对字母运算

12、的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全 平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算.2 15X 2 y21 1、-5x3y；0.09同一字母的化为该(1)厂L1I 4 f 6)=5x(Y)x|- x I 5丿1 1 = 24x0y6 =24y6人6丿2 111 1（卄亏十）f J 1斗lm2+m2/c、m + m +2 V丿(2) =：!Tm 2 +m2 m 2 +m21=m 2 +m2全国名校高一数学优质课时训练、 寒假训练专题汇编(附详解)<27、73f 70+2-(125 丿1 9丿1.52(3) (0.027)3=()2 + 痔碍举一反三：=0.09 + 5-5=O.O9

13、33【变式1】化简x23+ y2222x -y22-y3【答案】屈xy【解析】应注意到2X飞与x之间的关系,对分子使用乘法公式进行因式分解,原式=2 2(X©3 +(yp)32 2(X勺3-(y节2 2=(X刁)2 -x2厂3+(厂)2-(X 刁)2+xPy2+ (y 刁)22=-2(xy)刁=2xy【总结升华】根式的化简结果应写为最简根式.(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数分母为1,且不含非正整数指数幕；(3)被开方数的每个因数的指数小于根指数.【变式2】化简下列式子:3+73(2) J4V2+276(1)恵-罷去【答案】2逅十厉；晁+近；【2x(xZ) L-2(x&

14、lt;-1)【解析】(1)原式二琴旦二咎回2-J4-2V3 2-7(/3-1)23-V3=卫屮匸迈(空6=2后亦(3-两(3+応)6，(席+逅)2 =(折8)2+218 迈+ (V2)2=718+2418 + 72=3/2+2 倚+72=4+2/6 A 0(3) Jx2 + 2x +1 + #x3 - 3x2 + 3x -1二由平方根的定义得：(472+2曲=18+32(3) ； Jx3 3x2 +3x 一1 = J(x 一1)3 =x 1C lx +1(-1)Jx2 +2x+1 =|x+11''LX-1(X<1)厂2 3 22x(x > -1)Jx2 +2x+1+

15、Wx3-3x2 +3x-1 斗.I-2(x < -1)高清课程：指数与指数运算例43 3112 W例5.已知x2+x2=3，求X2十X -3的值。X2 +X -2【答案1 13【解析1从已知条件中解出X的值，然后代入求值，这种方法是不可取的,1 1而应设法从整体寻求结果与条件+xP = 3的联系，进而整体代入求值。1 1 tx2+x 刁=3，二 x+2 + x-*=9，二 x + x=7”X2 +2 + x =49 , /. X2 +=453311.x2 +-3 = （x2 +xW）（x-1 +x）一3X2 + X二-247 -2_3x（7-1）315145=453【总结升华】对于“条件

16、求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采 用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求 的值，然后整体代入。举一反三:【变式11 （1）已知2x+2x=a（a为常数），求8x+8-x的值.丄 1x2_ y2 已知x+y=12, xy=9，且x<y，求 学牛 的值.x2 + y2【答案1 ar 一弓【解析1 (1)8 X+8X=23x+23x=(2X)3+(2-X)3全国名校高一数学优质课时训练、 寒假训练专题汇编(附详解)=(2=(2+ 2-)(2x)2x 2- +(2)2 =(2x +2)(2x)2 +2 ”2x ”2+(2)2 -3 2x ”2 + 2)(2x +2)2 -3 =a(a2 -3) - a3 -3a.11 1111 1 1 1x2-y2X2y2X空y2 (x2y。)2(x+y)2(xyf (心X2 +护x2+y2X空y2(x2)2-(护)22 2 2又/ x+y=12 , xy=9 ,二(x-y) =(x+y) -4xy=12 -4 x 9=108.1 1 1又 xvy , x-y=-6J3代入(1)式得:x： -y：=伐-2 =_更宀y2 -妣3【总结升华】(1)对幕值的