高考专题复习第三节　不等关系与一元二次不等式

1、第三节不等关系与一元二次不等式学习要求-公众号：新课标试卷:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,并会解一元二次不等式.1.两个实数比较大小的依据(1)a-b>0a>b.(2)a-b=0a=b.(3)a-b<0a<b.2.不等式的性质(1)对称性:a>bb<a.(2)传递性:a>b,b>ca>c.(3)可加性:a>ba+c>b+c;a>b,c>d a+c

2、>b+d . (4)可乘性:a>b,c>0 ac>bc ;a>b,c<0ac<bc;a>b>0,c>d>0ac>bd. (5)可乘方性:a>b>0an>bn(nN,n>1).(6)可开方性:a>b>0na>nb(nN,n2).3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式=b2-4ac>0=0<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1,x2(x1<x

3、2)有两个相等实根x1=x2=- b2a没有实根ax2+bx+c>0(a>0)的解集 x|x<x1或x>x2 xx-b2aR ax2+bx+c<0(a>0)的解集 x|x1<x<x2提醒开口向上的二次不等式的解法口诀:大于取两边,小于取中间.知识拓展1.倒数性质的四个必备结论(1)a>b,ab>01a<1b.(2)a<0<b1a<1b.(3)a>b>0,0<c<dac>bd.(4)0<a<x<b或a<x<b<01b<1x<1a.2.简

4、单分式不等式(1)f(x)g(x)0(0)f(x)g(x)0(0),g(x)0.(2)f(x)g(x)>0(<0)f(x)g(x)>0(<0).3.解不等式ax2+bx+c>0(<0)时,不要忘记讨论当a=0时的情形.4.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.(1)不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立a=b=0,c>0或a>0,<0.(2)不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立a=b=0,c<0或a<0,<0.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”

5、).(1)a>bac2>bc2.()(2)a=bac=bc.()(3)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.()(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教B版必修第一册P71练习BT1改编)已知集合A=x|x2-5x+4<0,B=x|x2-x-6<0,则AB=()A.(-2,3)B.(1,3)C.(3,4)D.(-2,4)答案B3.(易错题)若a>b>0,c<d<0,则一定有()A

6、.acbd>0B.acbd<0 C.ad>bcD.ad<bc答案D【易错点分析】误用不等式的可乘性致误.4.比较两数的大小:7+10 3+14.答案>5.(易错题)对于任意实数x,不等式mx2+mx-1<0恒成立,则实数m的取值范围是. 答案(-4,0 【易错点分析】对参数的讨论忽略二次项系数为0的情况致误.比较两个数(式)的大小典例1 (1)已知a>b>0,m>0,则() A.ba=b+ma+mB.ba>b+ma+mC.ba<b+ma+mD.ba与b+ma+m的大小关系不确定(2)若a=ln33,b=ln2

7、2,比较a与b的大小.答案(1)C解析(1)bab+ma+m=b(a+m)-a(b+m)a(a+m)=m(b-a)a(a+m).因为a>b>0,m>0,所以b-a<0,a+m>0,所以m(b-a)a(a+m)<0,即bab+ma+m<0,所以ba<b+ma+m.(2)因为a=ln33>0,b=ln22>0,所以ab=ln33·2ln2=2ln33ln2=ln9ln8=log89>1,所以a>b.名师点评比较大小常用的方法提醒用作差法比较大小的关键是对差式进行变形,常用的变形有通分、因式分解、配方等.1.若a,b0

8、,+),A=a+b,B=a+b,则A,B的大小关系是()A.ABB.ABC.A<B D.A>B答案B由题意得,B2-A2=-2ab0,又A0,B0,所以AB.2.比较a2b+b2a与a+b(a>0,b>0)两个代数式的大小.解析a2b+b2a-(a+b)=a3+b3-a2b-ab2ab=a2(a-b)+b2(b-a)ab=(a-b)(a2-b2)ab=(a-b)2(a+b)ab.因为a>0,b>0,所以(a-b)2(a+b)ab0,故a2b+b2aa+b.不等式性质的应用1.(2020沈阳调研)若实数x,y满足x>y,则下列不等式成立的是() A.yx

9、<1 B.2-x<2-yC.lg(x-y)>0D.x2>y2答案B由x>y,得-x<-y,所以2-x<2-y,故选B.2.(多选题)(2020商丘九校联考)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是()A.xy>yzB.xy>xzC.xz>yzD.x|y|>|y|z答案ACD因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,z<0,y的符号无法确定.对于A,由题意得x>z,若y<0,则xy<0<yz,故A不正确;对于B,因为y>z,x>0,所以xy&g

10、t;xz,故B正确;对于C,因为x>y,z<0,所以xz<yz,故C不正确;对于D,当|y|=0时,x|y|=|y|z,故D不正确.3.(2020河南开封模拟)设a,bR,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C充分性:当a>b0时,不等式a|a|>b|b|等价为a·a>b·b,此时成立.当0>a>b时,不等式a|a|>b|b|等价为-a·a>-b·b,即a2<b2,此时成立.当a0>b时,不

11、等式a|a|>b|b|等价为a·a>-b·b,即a2>-b2,此时成立.故充分性成立;必要性:当a>0,b>0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)>0,因为a+b>0,所以a-b>0,即a>b.当a>0,b<0时,a>b.当a<0,b<0时,a|a|>b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)<0,因为a+b<0,所以a-b>0,即a>b,故必要性成立.综上可得,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.名师点评判断不等

12、式是否成立的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证;(2)利用特殊值法排除错误选项,利用不等式的性质判断不等式是否成立时,要特别注意前提条件;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.一元二次不等式的解法角度一不含参数的一元二次不等式典例2(1)(2020江西模拟)已知集合A=x|x2-4x0,B=x|y=log2(2-x),则AB=() A.x|0x<2B.x|x<2C.x|0x4D.x|x4(2)(2020黑龙江大庆一中模拟)已知集合A=x|-3<x<3,B=xN*|x2-2x-8&l

13、t;0,则AB=()A.1,2B.0,1,2C.1,2,3D.-1,0,1,2,3答案(1)A(2)A解析(1)因为A=x|x2-4x0=x|0x4,B=x|2-x>0=x|x<2,所以AB=x|0x<2.(2)因为B=xN*|x2-2x-8<0=xN*|(x-4)(x+2)<0=xN*|-2<x<4=1,2,3,所以AB=x|-3<x<31,2,3=1,2.角度二含参数的一元二次不等式典例3解关于x的不等式ax2-22x-ax(aR).解析原不等式可化为ax2+(a-2)x-20.当a=0时,原不等式可化为x+10,解得x-1.当a>

14、;0时,原不等式可化为x-2a(x+1)0,解得x2a或x-1.当a<0时,原不等式化为x-2a(x+1)0.当2a>-1,即a<-2时,解得-1x2a;当2a=-1,即a=-2时,解得x=-1;当2a<-1,即-2<a<0时,解得2ax-1.综上所述,当a=0时,不等式的解集为x|x-1;当a>0时,不等式的解集为xx2a或x-1;当-2<a<0时,不等式的解集为x2ax-1;当a=-2时,不等式的解集为-1;当a<-2时,不等式的解集为x-1x2a.名师点评1.解不含参数的一元二次不等式的步骤2.解含参数的一元二次不等式的步骤(1

15、)若二次项系数含有参数,则应讨论参数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式;(2)判断方程根的个数,讨论判别式与0的关系;(3)确定方程无根时,可直接写出解集;确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定不等式的解集.1.(2020河南部分重点中学模拟)集合A=x|x>2,B=x|x2-2x-3>0,则AB=()A.(3,+)B.(-,-1)(3,+)C.(2,+)D.(2,3)答案AB=x|x2-2x-3>0=(-,-1)(3,+),A=x|x>2,故AB=(3,+).2.解不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).

16、解析原不等式变形为(ax-1)(x-1)<0,因为a>0,所以ax-1a(x-1)<0.当a>1,即1a<1时,解得1a<x<1;当a=1时,无解;当0<a<1,即1a>1时,解得1<x<1a.综上,当0<a<1时,不等式的解集为x1<x<1a;当a=1时,不等式的解集为;当a>1时,不等式的解集为x|1a<x<1.一元二次不等式恒成立问题角度一在R上恒成立问题典例4(2020大庆实验中学期中)若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对于任意实数x恒成立,则实数a的取值

17、范围是() A.(-,2)B.(-,2C.(-2,2)D.(-2,2答案D当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立;当a-20,即a2时,有a-2<0,=-2(a-2)2-4×(a-2)×(-4)<0,解得-2<a<2.综上,实数a的取值范围是(-2,2.角度二在给定区间上恒成立问题典例5设函数f(x)=mx2-mx-1(m0),若对于任意x1,3,f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是. 答案m0<m<67或m<0解析f(x)<-m+5可化为mx2-mx+m-6<0,令g(x)=mx2-mx+

18、m-6=mx-122+34m-6,m0,x1,3.要使g(x)<0在1,3上恒成立,则g(x)在1,3上的最大值小于零.当m>0时,易知g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,解得m<67,则0<m<67;当m<0时,易知g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,解得m<6,所以m<0.综上所述,m的取值范围是m0<m<67或m<0.角度三给定参数范围的恒成立问题典例6对任意m-1,1,函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值恒大于零,求x的取值范围.

19、解析f(x)=x2+(m-4)x+4-2m=(x-2)m+x2-4x+4,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.由题意知,在-1,1上,g(m)的值恒大于零,所以g(-1)=(x-2)×(-1)+x2-4x+4>0,g(1)=x-2+x2-4x+4>0,解得x<1或x>3.故当x(-,1)(3,+)时,对任意m-1,1,函数f(x)的值恒大于零.名师点评1.一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的求解方法:(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或取值范围).(2)

20、转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为m,n,则f(x)a恒成立f(x)mina,即ma;f(x)a恒成立f(x)maxa,即na.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.1.(2020铁岭调研)若不等式4x2+ax+4>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-16,0)B.(-16,0C.(-,0)D.(-8,8)答案D由题意知=a2-4×4×4<0,即a2<64,解得-8<a<8,故选D.2.(2020湖北八校联考)若不等式(a-a2)(x2+1)+x0对x

21、(0,2恒成立,则实数a的取值范围为. 答案-,1-321+32,+解析x(0,2,a2-axx2+1=1x+1x.要使a2-a1x+1x在x(0,2上恒成立,则a2-a1x+1xmax.由均值不等式得x+1x2,当且仅当x=1x,即x=1时等号成立.则1x+1xmax=12,故a2-a12,解得a1-32或a1+32.故实数a的取值范围为-,1-321+32,+.3.若mx2-mx-1<0对m1,2恒成立,则实数x的取值范围是. 答案1-32,1+32解析设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是一条直线,由题意得,g(m)<0在1,2上恒成立

22、,则g(1)<0,g(2)<0,即x2-x-1<0,2x2-2x-1<0,解得1-32<x<1+32,故x的取值范围为1-32,1+32.A组基础达标1.(2020辽宁协作校模拟)已知a>b,则“c0”是“ac<bc”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B2.已知集合M=x1x<1,N=x|x2-2x-3<0,则MN =()A. B.(-1,0)C.(1,3)D.(-1,0)(1,3)答案D3.(2020黑龙江哈尔滨第三中学模拟)已知a,b,c满足c<b<a,且ac<

23、0,那么下列各式中一定成立的是()A.ab>acB.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ac(a-c)>0答案A4.(2020安徽阜阳太和第一中学模拟)已知x>y,则下列各式中一定成立的是()A.1x<1yB.x+1y>2 C.12x>12yD.2x+2-y>2答案D5.(多选题)对于实数a,b,c,下列命题是真命题的为()A.若a>b,则ac<bcB.若ac2>bc2,则a>bC.若a<b<0,则a2>ab>b2D.若a>0>b,则|a|<|b|答案BC6.(多选题)设b

24、>a>0,cR,则下列不等式中正确的是()A.a12<b12B.1ac>1b-cC.a+2b+2>abD.ac2<bc2答案ABC因为y=x12在(0,+)上是增函数,所以a12<b12.因为y=1x-c在(0,+)上是减函数,所以1ac>1bc.因为a+2b+2ab=2(b-a)(b+2)b>0,所以a+2b+2>ab.当c=0时,ac2=bc2,所以D不正确.故选ABC.7.(2020山西适应性测试)若关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是()A.(-,-1)(

25、3,+)B.(-1,3)C.(1,3) D.(-,1)(3,+)答案A由ax-b>0的解集为(1,+),可知a>0且ba=1,令(ax+b)(x-3)=0,解得x1=-1,x2=3,因为a>0,所以(ax+b)(x-3)>0的解集为(-,-1)(3,+).8.(2020安徽宣城二中模拟)对于实数x,规定x表示不大于x的最大整数,那么使不等式4x2-36x+45<0成立的x的取值范围是()A.32,152B.2,8C.2,8)D.2,7答案C因为4x2-36x+45<0,所以32<x<152,所以2x<8.9.(2020江苏徐州第一中学模拟)

26、给出下列三个论断:a>b;1a<1b;a<0且b<0.以其中的两个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出一个真命题:. 答案(或)解析:若a<0且b<0,则ab>0,又a>b,所以aab>bab,即1a<1b.:若a<0且b<0,则ab>0,又1a<1b,所以1a×ab<1b×ab,即b<a.10.(2020江西南昌莲塘第一中学模拟)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.(1)解关于a的不等式f(1)>0;(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,

27、3),求实数a,b的值.解析(1)f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3,原不等式可化为a2-6a-3<0,解得3-23<a<3+23.原不等式的解集为a|3-23<a<3+23.(2)f(x)>b的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,即-1+3=a(6-a)3,-1×3=-6-b3,解得a=3±3,b=-3.B组能力拔高11.(2020浙江绍兴嵊州模拟)若不等式x2+a|x|+40对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.0,+)B.

28、-4,+)C.-4,4 D.(-,-4答案Bf(x)=x2+a|x|+4为偶函数,当a0,x>0时,f(x)=x2+ax+4,因为x=-a20, f(0)=4>0,所以不等式恒成立;当a<0,x>0时, f(x)=x2+ax+4,可得=a2-160,解得-4a<0.综上,a-4,+).12.(多选题)(2020江西宜春模拟)函数f(x)=2 020x+sin(2 020x),若f(x2+x)+f(1-m)0恒成立,则实数m的取值范围为()A.1,+)B.-,34C.2,+)D.(-,1答案B因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=-2 020x-

29、sin(2 020x)=-f(x),f(x)=2 020+2 020cos(2 020x)0,所以函数f(x)是定义在R上的单调递增的奇函数.于是f(x2+x)+f(1-m)0f(x2+x)f(m-1)x2+xm-1,即mx2+x+1=x+122+34恒成立,所以实数m的取值范围为-,34.13.(2020北京海淀质检)设a<0,若不等式-cos2x+(a-1)cos x+a20对于任意的xR恒成立,则a的取值范围是. 答案(-,-2解析令t=cos x,则t-1,1,设f(t)=t2-(a-1)t-a2,则f(t)0对t-1,1恒成立,f(-1)0,f(1)0a-a20,2-

30、a-a20,a<0,a-2.14.设函数f(x)=2x2+bx+c,若不等式f(x)<0的解集是(1,5),则f(x)=;若对于任意x1,3,不等式f(x)2+t有解,则实数t的取值范围为. 答案2x2-12x+10;-10,+)解析由题意知,1和5是方程2x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系知,-b2=6,c2=5,解得b=-12,c=10,所以f(x)=2x2-12x+10.不等式 f(x)2+t在x1,3时有解,等价于2x2-12x+8t在x1,3时有解,则只要t(2x2-12x+8)min即可,不妨设g(x)=2x2-12x+8,x1,3,则g(x)在1,3上单调递减,所以g(x)g(3)=-10,所以t-10.C组思维拓展15.(多选题)不等式x2+ax+b0(a,bR)的解集为x|x