高等学微分及其应用ppt课件

1、2-5 2-5 微分及其运用微分及其运用一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :20 xA 0 x0 x2020)(xxxA .)(220 xxx ) 1 () 2(: ) 1 (: )2(x x 2)( x xx 0，0)(lim20 xxx).()(2xx xx 0设边长由设边长由0 x变到变到,0 xx 正方形面积正方形面积，2xA x 的线性函数，的线性函数， 且为且为A 的主要部分，的主要部分，x 的高阶无穷小，的高阶无穷小， 当当x 很小时可忽略很小时可忽略.求边长为求边长为 正方形金属薄片受热后面积的改动量正方形金属薄片受热后面积的改动量.0 x.20 xxA 二、微分的定义二

2、、微分的定义定义：定义： 设函数设函数)(xfy 在某区间内有定义，在某区间内有定义，0 x及及xx 0在这个区间内，在这个区间内， 假设假设)()(00 xfxxfy 可表示为：可表示为：，)( xxAy 其中其中A是不依赖于是不依赖于x 的常数，的常数， 而而)( x 是比是比x 高阶的无穷小，高阶的无穷小， 那么称函数那么称函数)(xfy 在点在点0 x是可微的，是可微的，自变量增量自变量增量x 的微分，的微分， 记作记作0dxxy 或或.)(d0 xxxf 即即xAyxx 0d( (微分的本质微分的本质) )而而xA 叫做函数叫做函数)(xfy 在点在点0 x相应于相应于微分微分yd叫

3、做函数增量叫做函数增量y 的线性主部的线性主部.xAxo )(1这样就可以近似计算较复杂函数的改动量这样就可以近似计算较复杂函数的改动量.xAxxA )( 由定义知由定义知: :可微可微(1)yd是自变量的改动量是自变量的改动量x 的线性函数；的线性函数；(2)(dxoyy 是比是比x 高阶的无穷小高阶的无穷小.(3) 当当0 A时，时，yd与与y 是等价无穷小；是等价无穷小；) 0( x，1(4)A是与是与x 无关的常数，无关的常数，但与但与)(xf和和0 x有关；有关；(5) 当当x 很小时，很小时，,dyy (线性主部线性主部) yyd)( xoxAy )(dxoy 三、可微的条件三、可

4、微的条件1.定理定理证证(1) 必要性必要性),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A 函数函数)(xf在点在点0 x可微的充要条件是：可微的充要条件是： 函数函数)(xf在点在点0 x处可导，处可导， 且且).(0 xfA 由于函数由于函数)(xf在点在点0 x可微，可微，即即)(xf在点在点0 x处可导，处可导， 且且).(0 xfA (2) 充分性充分性,)(0 xfxy即即),(lim00 xfxyx xxfyxx )(d00由于函数由于函数)(xf在点在点0 x可导，可导，从而从而),()(0 xxxfy ，0lim0 xxx 且且).(0

5、 xfA )(xf 在点在点0 x处可微处可微.于是有：于是有：可导可导故故) 0(0 x 可微可微.2.2.可导与可微的区别与联络可导与可微的区别与联络: :区别：区别：联络：联络：可微可微可导可导延续延续有极限有极限可导是指可导是指xyx 0lim存在存在. .可微是指可微是指y 可表示为：可表示为：，)( xxAy 其中其中A是与是与x 无关的常数无关的常数.可微必可导，可微必可导， 可导必延续，可导必延续，延续必有极限；延续必有极限；而有极限不一定延续，而有极限不一定延续， 延续不一定可导，延续不一定可导，但可导必可微但可导必可微. .解解以上例子，验证了以上例子，验证了:微分为：微分

6、为：.dyy x 越小，越小， 近似程度越高近似程度越高. 01.01dxxy01.012)( xxxxxxfyxx )(d00例例1 1求函数求函数2xy 在在01. 0, 1 xx时的微分和增量时的微分和增量.改动量为：改动量为：221)01. 01 ( 01.012 xxxx.02.0 01.01xxy)1()01. 01(ff ,0199. 0 3.3.函数的微分的定义：函数的微分的定义：假设函假设函数数)(xfy 在某区间内每一在某区间内每一点都可微，点都可微， 那么称函那么称函数数)(xfy 是该区间上的可微函数，是该区间上的可微函数，函数在区间内任一点函数在区间内任一点x x的微

7、分称为函数的微分的微分称为函数的微分. .记作记作:dy 或或 df(x).即即xxfy )(dxx和和它它依依赖赖于于 那那么么1 . 0cosd1 . 0 xxy. 1 . 0 如如,sinxy 那那么么.cosdxxy oxyy=sinx2通常把自变量通常把自变量 x的增量的增量，x 称为自变量的微分称为自变量的微分.记为记为，xd即即.dxx 即函数的微分即函数的微分dy与自变量的微分与自变量的微分dx之商等于该之商等于该函数的导数，函数的导数， 因此，因此， 导数也叫导数也叫“微商微商.假假设设，xey 那那么么;ddxeyx 假假设设，xxftan)( 那那么么xxfxfd)()(

8、d ；xxdsec2 假假设设,arccosxu 那那么么xxud)(arccosd .d112xx xxfyd)(d )(ddxfxy 四、微分的几何意义四、微分的几何意义几何意义几何意义:(:(如图如图) )以直代曲以直代曲)(xfy MNTy)( xo xyo x P Q)(tan0 xfxMQ 当当x 很小时，很小时， 在点在点M的附近，的附近，切线段切线段MP可近似地替代曲线段可近似地替代曲线段 MN.(yd当当y 是曲线的纵坐是曲线的纵坐标增量时，标增量时，yd就是切就是切线纵坐标对应的增量线纵坐标对应的增量.dyQP xx 00 x五、微分的求法五、微分的求法求法求法: : 计算

9、函数的导数计算函数的导数, , 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. .1.1.根本初等函数的微分公式根本初等函数的微分公式xxfyd)(d 0)(d Cxxxdcos)(sind xxxdsec)(tand2 xxxxdtansec)(secd xxxd)(d1 xxxdsin)cos(d xxxdcsc)(cotd2 xxxxdcotcsc)(cscd 2. 2. 函数和、差、积、商的微分法那么函数和、差、积、商的微分法那么xaaaxxdln)(d xaxxadln1)(logd xxxd11)(arcsind2 xxxd11)(arctand2 xeexxd)(d xxxd1)(lnd x

10、xxd11)(arccosd2 xxxd11)cotarc(d2 vuvudd)(d vuuvuvdd)(d uCCud)(d 2dd)(dvvuuvvu )0( v例例2 2dy.求求设设,sin2xeyx 解解.d)sincos2(sindxxxxeyx xex2sin)1( xexeyxx22sinsinxxexcossin2 六、微分方式的不变性六、微分方式的不变性设函数设函数)(ufy 有导数有导数，)(uf (1)假设假设u是自变量时，是自变量时，;d)(duufy (2)假设假设u是中间变量时，是中间变量时，即另一变量即另一变量 t 的可微函数的可微函数),(tu 那那么么ttu

11、fyd)()(d ,dd)(utt .d)(duufy 六、微分方式的不变性六、微分方式的不变性结论：结论：一阶微分方式的不变性一阶微分方式的不变性设函数设函数)(ufy 有导数有导数，)(uf (1)假设假设u是自变量时，是自变量时，;d)(duufy (2)假设假设u是中间变量时，是中间变量时，即另一变量即另一变量 t 的可微函数的可微函数),(tu 那那么么无论无论u u是自变量还是中间变量，是自变量还是中间变量，微分方式总是微分方式总是)(xfy 的的函数函数ttufyd)()(d ,dd)(utt uufyd)(d uufyd)(d 解解例例3 3在右端的括号中填入适当的函数在右端的

12、括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.).(d)()(sind2xx xxxxxxxd21dcos2)(d)(sind22 ,cos42xxx ).(d)cos4()(sind22xxxxx )(dsind2xexy)(sind2xex )(dsin2xxex)(sindsin2xxex xxexdsin2xxxexdcossin2 .d)sincos2(sinxxxxex 例例2 2dy.求求设设,sin2xeyx 另解另解下面利用这个记号处理参数方程表示的函数的导数下面利用这个记号处理参数方程表示的函数的导数1.1.一阶导数一阶导数知知 , t )()(tytx ,d)(dttx ,

13、d)(dtty 求求.ddxy解解ttttd)(d)( xydd.)()(tt 求微分的三个方法：求微分的三个方法：1.1.直接用定义；直接用定义； 2.2.用微分法那么；用微分法那么；3.3.用不变性用不变性. .)(dddd22yxxy 2 2、高阶导数：、高阶导数：xydd ttRttRxyydsindcosdd ，tcot )(dddd22yxxy ttRttdsindcsc2 .csc13tR 例例4 4 tRytRxsincos求曲线求曲线的二阶导数的二阶导数.解解xydd ,dsindttRx ,dcosdttRy 而而,dcscd2tty 解解，ttxdd ，tydd xyyd

14、dtttdd ，t1 而而)dd(dddd22xyxxy xyxxyddd)dd(d ttttdd12 .13t 例例5 5 tytx122t是参数是参数.求求,ddxy.dd22xy知知那那么么tty)d1(d2 ,d12tt 七、微分的运用七、微分的运用主要用于近似计算主要用于近似计算. .计算函数增量计算函数增量.)(0 xxf 00dxxxxyy 0 x假假设设)(xfy 在点在点处的导数处的导数, 0)(0 xfx 且且很小时，很小时，1.利用利用yyd 的近似值的近似值y ,2rA 设设.cm02. 0,cm10 rr AAd02. 0102 4 . 0半径半径10厘米的金属圆片加

15、热后，厘米的金属圆片加热后， 半径伸长了半径伸长了0.02厘米，厘米， 问面积增大了多少？问面积增大了多少？).cm(256. 12 rArr 2)()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很很小小时时x 解解例例2 2的的近近似似值值求求0330sin 设设,sin)(xxf 那那么么,cos)(xxf ，36060330 那么取那么取.360036300 xx，。计算函数计算函数)(xf在点在点0 x2.2.利用利用xxfxfxxf )()()(000附近的点附近的点的近似值的近似值. .xx 0留意：留意：(2)x 比较小比较小.(1)(0

16、xf)(0 xf 与与易求，易求，.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf 于于是是由于由于)(很很小小时时x)(xf3.3.求求0 x在点在点附近的近似值附近的近似值. ., 00 xxx 令令xxfxfxxf )()()(0003606cos6sin)3606sin(0330sin 。0076. 05000. 03602321 .5076. 0 ;111) 1 (xnxn 证明证明,)1(1)(11 nxnxf, 1)0( fxffxf)0()0()( .1nx )(很很小小时时x常用近似公式常用近似公式);(sin)2(为为弧弧度度xxx ;1)4(xex x

17、x tan) 3(x为弧度为弧度)；.)1ln()5(xx (1),1)(nxxf 设设.1)0(nf 例例3 3解解.)2(;97. 0)1(03. 0 e)03. 0(197. 0)1( 985. 0)03. 0(211 03.01)2(03.0 e.97. 0 近似计算的根本公式近似计算的根本公式00dxxxxyy .)(0 xxf ,很很小小时时当当x .) 0() 0()(xffxf ,0时时当当 x.)()()(000 xxfxfxxf 计算以下各数的近似值计算以下各数的近似值.;111xnxn ;1xex 八、小结八、小结微分学所要处理的两类问题微分学所要处理的两类问题: :函数

18、的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念. .导数的概念导数的概念. .求导数与微分的方法求导数与微分的方法, ,叫做微分法叫做微分法. .研讨微分法与导数实际及其运用的科学研讨微分法与导数实际及其运用的科学, ,叫叫做微分学做微分学. .导数与微分的联络导数与微分的联络: :xxfyxxd)(d00 可导可导可微可微1.1.联络联络2.2.区别区别)(0 xf 是函数相对于自变量的变化率是函数相对于自变量的变化率.0dxxy 是相对于自变量改动量为是相对于自变量改动量为x 时，时，函数改动量函数改动量y 的线性主部的线性主部.即即.d00 xxxxyy (13)(1) xdx) ( d xxxdcotcsc) (d(3) xxd1) ( d(2) xxd1) ( d(12) xxxdtansec) ( d(5) xxd112) ( d(7) xexd) ( d(9)