第二章 拉伸压缩剪切

1、Chapter2 钢压杆钢压杆 轴向拉压及其特点轴向拉压及其特点外力特征：外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线外力或其合力作用线沿杆件轴线变形特征：变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线轴向伸长或缩短，轴线仍为直线轴向拉压轴向拉压: : 以轴向伸长或缩短为主要特征的以轴向伸长或缩短为主要特征的 变形形式变形形式拉拉 压压 杆杆: : 以轴向拉压为主要变形的杆件以轴向拉压为主要变形的杆件mmFFmmFFNmmFFmmFFmmFFNFNmmFFmmFFNmFmFNmFFmmFFNmFmxFNOCABD600300500400E40kN55kN 25kN20kNCABD600300500400E4

2、0kN55kN 25kN20kNCABDE40kN55kN 25kN20kNRkN1 10 00 02 20 02 25 55 55 54 40 00 0 RRFxCABDE40kN55kN 25kN20kN10 01 1 RFN)()(RF kNN10101 1 R40kNFN220kNCABDE40kN55kN 25kNR20 04 40 02 2 RFN)()(RF kNN5 50 04 40 02 2FN320kN25kNCABDE40kN55kN 25kN20kNR30 02 20 02 25 53 3 NF)()kN(N 5 53 3F20kNFN440kN55kN 25kN20k

3、NR4)()(F kNN20204 45010520+CABD600300500400E40kN55kN 25kN20kN)(FkNNmax5 50 0 例例 2 2 等直杆BC, 横截面面积为A, 材料密度为r, 画杆的轴力图，求最大轴力解：1. 轴力计算 gxAxFr r N 00N F glAlFr r N2. 轴力图与最大轴力 gxAxFr r N轴力图为直线glAFr r maxN, FFabcdFFabcda b c d F FN AFN 二、二、 拉压杆斜截面上的应力拉压杆斜截面上的应力问题：斜截面上有何应力？如何分布？问题：斜截面上有何应力？如何分布？1 1. . 斜截面应力分

4、析斜截面应力分析斜截面方位用斜截面方位用a a 表示，并规定，以表示，并规定，以x 轴为始边，逆时针转向者为正轴为始边，逆时针转向者为正横截面上横截面上的正应力的正应力均均匀分布匀分布横截面间横截面间的纤维变的纤维变形相同形相同斜截面间斜截面间的纤维变的纤维变形相同形相同斜截面上斜截面上的应力均的应力均匀分布匀分布2045max a a 0cos , 0FApFxa aa aa a a aa acoscos0 AFpa a a a a aa a20coscos pa a a a a aa a2sin2sin0 p00max a a 3. 应力应力 a a , , a a 与最大应力与最大应力2

5、. 应力应力 p pa a例例 3 已知：已知：F = 50 kN，A = 400 m m2 试求：斜截面试求：斜截面 m-m 上的应力上的应力 解解：1. 轴力与横截面应力轴力与横截面应力FF N263N0m10400N1050 AFAF MPa 5 .12Pa 1025. 18 2. 斜截面斜截面 m-m 上的应力上的应力50 a aMPa -51.6 50coscos 202050 a a MPa -61.6001 sin22 sin 20050 a a FOlefhabcddgfl0 p E p fOfhae p fOfhab e s bs b e p fOfhabce s b e p

6、 fOfhabce %1 10 00 01 1 lll %1001001 1 AAA abcefOgfhddpe abcdefOdgfhd 0.2 0.20.2%a atg E2 20 0. oO /MPa/% dh0 03 35 51 1. dh sO O /MPa/% 失效与许用应力失效与许用应力断裂与屈服，相应极限应力断裂与屈服，相应极限应力脆性材料塑性材料-bsu 构件工作应力的最大容许值构件工作应力的最大容许值nu n 1 安全因数安全因数脆脆性性材材料料塑塑性性材材料料-bbssnn 静荷失效静荷失效许用应力许用应力 轴向拉压轴向拉压强度条件强度条件保证保证拉压杆不致因强度不够而破

7、坏的条件拉压杆不致因强度不够而破坏的条件 maxNmax AF maxN, AF校核强度校核强度 知杆外力、知杆外力、A与与 ，检查杆能否安全工作，检查杆能否安全工作截面设计截面设计 知杆外力与知杆外力与 ，确定杆所需横截面面积，确定杆所需横截面面积maxN, FA N AF 确定承载能力确定承载能力 知杆知杆A与与 ，确定杆能承受的，确定杆能承受的FN,max常见强度问题类型常见强度问题类型强度条件强度条件 变截面变轴力拉压杆变截面变轴力拉压杆 等截面拉压杆等截面拉压杆FABCFF3000400037024021 kNN50501 1 FFkNN1 15 50 03 32 2 FFFABCF

8、F300040003702402150kN150kNMPa.N/m.2N8 87 70 01 10 08 87 70 02 24 40 02 24 40 05 50 00 00 00 06 61 11 11 1 AF MPa.N/m.2N1 11 110101 11 137370 037370 01500001500006 62 22 22 2 AF max ABCF1mABCF1mFAxyFAxy0 030300 01 1 FFFysinN0 00 01 12 2 cos30NNFFFxFFFF7327321 12 22 21 1.NN 22mm6 62 26 61 11 10 02 28

9、86 60 02 21 14 43 30 01 10 02 21 17 72 22 21 10 08 86 6 AAAFmaxN FFFF7 73 32 21 12 22 21 1.NN kN.N2 24 43 36 69 91 11 1 AF kN.N2 20 04 48 86 62 22 2 AF kN.N6 61 18 84 42 21 11 1 FFkN.N7 72 28 80 07 73 32 21 12 22 2 FFmax max max max Kmax 拉压杆的轴向变形AFN ll )( p时时当当 EEAlFlN 胡克定律胡克定律 EA杆截面的拉压刚度杆截面的拉压刚度 l伸

10、长为正，缩短为负伸长为正，缩短为负轴向变形一般公式)(d)()d(NxEAxxFl lxxEAxFld)()(N niiiiiAElFl1Nn总段数总段数FNi杆段杆段 i 的轴力的轴力变截面变轴力杆变截面变轴力杆阶梯形杆阶梯形杆 横向变形与泊松比横向变形与泊松比拉压杆的横向变形bbb 1bb E 泊松比试验表明试验表明 ：在比例极限内，：在比例极限内， ，并异号，并异号 泊松比泊松比 ) 5 . 00 ( E F1F2F3l1l2l3ABCDF1F2F3l1l2l3ABCDF1FN1)(kNNN 20200 01 11 11 1FFFF2F1FN2F1F2F3l1l2l3ABCD)(kNNN

11、 15150 02 22 22 21 1FFFFRFN3)(kNNN 50500 03 33 3FRFFN2 =-15kN （-）FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN （-）15+-2050F1F2F3l1l2l3ABCDFN2 =-15kN ( - )FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN ( - )F1F2F3l1l2l3ABCD)(MPa.N 8 81761761 11 1AFAB )(MPa.N 6 674742 22 2AFBC )(MPa.N 5 51 11 10 03 33 3AFDC (F1F2F3l1l2l3ABCDm102.534-N 1 11 11

12、1EAlFlABm101.424-N 2 22 22 2EAlFlBCm101.584-N 3 33 33 3EAlFlCD-0.3mm BCCDBllumm10-0.474- CDBCABADllll 节点位移分析节点位移分析1. 轴力与变形分析轴力与变形分析)( 2N1拉伸拉伸FF )( N2压压缩缩FF EAlFAElFl22111N11 )( 222N22缩短缩短EAFlAElFl 图示桁架，图示桁架，试求试求节点节点 A 的水平与铅的水平与铅垂位移。垂位移。已知已知 E1A1= E2A2=EA, l2=l)( 2伸长EAFl 圆弧法圆弧法 切线代圆弧法切线代圆弧法2. 作图法作图法求

13、节点位移求节点位移3. 节点位移计算节点位移计算)( 22 lAAAx 5AAAy 用切线或垂用切线或垂线代替圆弧线代替圆弧)( 45cos21 ll小变形：小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形与结构原尺寸相比为很小的变形应应 用：用：在小变形条件下，通常即可：在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束 反力与内力反力与内力 采用切线代圆弧的方法确定节点位采用切线代圆弧的方法确定节点位 例例 题题刚体刚体EA例例 7 F1 = F2 / 2 = F ，求截面求截面 A 的位移的位移解：解：1. 计算计算 FN与与 lFFFF630sin

14、221N EAFlEAlFl3460sin6 3. 位移计算位移计算 2CCAAAy 60cos2 l )( 316 EAFl2. 画变形图画变形图F FA12x300yA1 1l 12mABCF3001 12 2FFFFNN7327321 12 22 21 1. A2 2l 2mm.mm.NN7657650 01981981 12 22 22 22 22 21 11 11 11 11 1 EAlFlAAEAlFlAA30300 0AA1A2l 1l 2A300 0AA3 为所求为所求A点的位移点的位移A1 1l 12mABCF3001 12 2A2 2l 2A30 01 12 22 22 2

15、3030cosllAAAAAA 0 01 10 02 22 23 32 23 30 03 30 0sintgtg300llAAAA mm.)()(7 78 83 32 23 32 22 22 23 3 AAAAAA2-6 2-6 应变能概念应变能概念应变能与功能原理 弹性体因变形而储存的能量弹性体因变形而储存的能量应变能应变能 V 外力在变形过程中所作之功外力在变形过程中所作之功外力功外力功 W弹性体功能原理弹性体功能原理WV 功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢功能原理成立条件：载荷由零逐渐缓慢增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能增大，弹性体处于准静态，以致动能与热能等的变化，均可忽略不计。

16、等的变化，均可忽略不计。 根据能量守恒定律，弹性体因变形所储根据能量守恒定律，弹性体因变形所储存的应变能存的应变能 ，数值上等于外力所作的功，数值上等于外力所作的功 轴向拉压轴向拉压应变能应变能 线弹性杆的外力功线弹性杆的外力功 ddfW fW0d 2FW 线弹性拉压杆的外力功线弹性拉压杆的外力功EAlFlFW222N 线弹性杆的拉压应变能线弹性杆的拉压应变能EAlFWV22N f 拉压与剪切应变能密度拉压与剪切应变能密度2ddddyzxV 单位体积内应变能单位体积内应变能应变能密度应变能密度Ev222 2ddddyzxV Gv222 拉压应变能密度剪切应变能密度zyxddd2 zyxddd2

17、 解：解：1. 轴力分析轴力分析FF2N1FFFN3N2例例 8 用能量法计算用能量法计算 By2. 应变能计算应变能计算 312N2iiiiiAElFVEAlFEAlFEAlFV22222N32N221N EAlF)12(2 3. 位移计算位移计算EAlFFBy)12(22 EAFlBy)12(2 VW 2ByFW CABDFa a a a1 12 23 3xyFAa a2 21 10 0NNFFFx 0 00 03 32 21 1 FFFFFyNNNcoscosa aa aCABDFa a a a1 12 23 3xyFAa aCABDa a a a1 12 23 33 3l a aa a

18、A1 12 23 3a aa aCABDFa a a a1 12 23 3CABDa a a a1 12 23 31 1la acos3 31 1ll 1 11 11 11 1EAlFlN 3 33 33 33 3AElFla acosN a a2 23 33 33 31 1cosNNAEEAFF CABDFa a a a1 12 23 33 3la aa aA1 12 23 3a aa a1 1la aa a2 23 33 32 21 12 21 1coscosNNAEAEFFF 2 21 1NNFF 0 03 32 21 1 FFFFNNNcoscosa aa aa a2 23 33 33

19、 31 1cosNNAEEAFF a a2 23 33 33 32 21 1cosNAEEAFF ABCF3aal21ABCF3aal21FABC3aa21FN1FN2FN3Fx 0 0 xF0 0 xF 0 0yF0 03 32 21 1 FFFFNNN 0 0BM0 02 22 21 1 aFaFNNABCF3aal21ABCl 3l 2l 1ABC3212 23 31 12 2 lll 1 11 11 11 1EAlFlN EAlFl3 33 3N EAlFl2 22 2N 2 23 31 12 2NNNFFF ABCF3aal21ABCl 3l 2l 1ABC321N2N3N1FFF2

20、 2 0 0 xF0 0 FFFFN3N2N10 02 2 aFaFN2N16 65 53 36 6FFFFFF N3N2N1 AABCDa aa a2 21 13 3l AABCDa aa a2 21 13 3ll 3l 13 3l1 1l 3 3la acos1 1l a a cos1 13 3ll3 33 33 31 11 11 1AElFlAElFlN3N1cos a a AABCDa aa a2 21 13 3ll 3 l 1 a a 2 21 11 13 33 3cosN1N3AElFAElF0 00 0 a aa aa aa acoscossinsinN2N1N2N2N1FFFFFa aa a ABC12aaB1A1C1l3C1Cl3C1CABC12B1C1A1ell 3 31 1aaxEAlFl1 11 1N1 3 33 33 3AElFlN3 AElFeAElFN1N3 3 33 3CAB0 0 N2N1N3FFFN2N1FF AB ABABB0 0 lABABAB0 0 FTlllEAlFlBFR lTltT a