高中不等式所有知识及典型例题超全

1、一.不等式的性质：二.不等式大小比较的常用方法：1 .作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2 .作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6 .利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基 本的方法。三.重要不等式221. （1）若 a,b R,则 a2 b2 2ab（2）若 a,b R,则 ab -一b-（当且仅当 a b 时取“二”）22. （1）若 a,b R*,则 a-b vab （2） 若 a,b R* ,则 a b 2v'ab （当且仅当 a b时取"二”） 2

2、2若a,b R*,则abab(当且仅当a b时取"二”)2，一 一 1 3. 若x 0,则x 1 2 （当且仅当x 1时取“=”）； x一， 1,一 .一“若x 0,则x 2 （当且仅当x 1时取“二”）b时取“=”)x若x 0,则x 1 2即x 1 2或x 1 -2 （当且仅当axxx若ab 0,则a b b a2 （当且仅当a b时取"二”）若ab 0 ,则a - 2即a b b a b a4.若 a,b R,则(a_b)22+a+b+c 3R ) ； abc <( n ) (a,b,c_ +R)a<2aba+ba+b 2<b.(0<a <

3、b)2或q - -2 （当且仅当a b时取"二”） b a2.2b_ （当且仅当a b时取"二”）2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广 泛的应用.+b3+c3> 3abc (a,b,cR+) , a+b+c > VObc (当且仅当 a=b=c 时取等号)；31 . _+一6. n (a1+&+an)>n/aia2Lan

4、 (a i R ,i=1,2, ，n),当且仅当a1=&=an 取等方;一,、2 . 22a+b、2 .变式：a +b+c > ab+bc+ca; ab < (-y ) (a,b7.浓度不等式:b n<anb < b+m,a>b>n>0,m>0; a a+m应用一：求最值1例1：求下列函数的值域(1) y = 3x +2x>1(2) y=x+1 x解题技巧:技巧一：凑项 例1：已知x -,求函数y 4x 2的最大值。44x 5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求y x(8 2x)的

5、最大值。技巧三：分离 例3.求y -一70(x1)的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x+1,化简原式在分离求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4 , 4 广-t 5tt当，即t二时,9 (当t=2即x=1时取f (x) x a的单x调性。例：求函数yx2 4的值域。解：令.x2 4t(tX25一不x2 41x241t -(t 2)1 -解得t t1不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。1 .、因为y t -在区I可t1,单调递增，所以在其子区间 2,为单调递增函数，故y技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函

6、数所以，所求函数的值域为2.已知0 x 1,求函数y x(1 x)的最大值.；3. 0|,求函数y Jx(2 3x)的最大值.条件求最值1.若实数满足a b 2 ,则3a 3b的最小值是分析:和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a 和3b 都是正数，3a 3b > 2V3a 3b 23ab 6当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6.11 ,变式：右log4x 10g4y 2,求一 一的最小值.并求x, y的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件

7、的一致性， 否则就会出错1 9.2:已知x 0, y 0,且 1,求x y的取小值。 x y2技巧七、已知x, y为正实数，且x 2+y2 =1,求x1 + y 2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab<1同时还应化间1+y 中y刖面的系数为2 ,= x"2号2x/2 +y2卜面将x,2分别看成两个因式:2x 2+y22J2 +y2241 一 一，技巧八：已知a, b为正头数，2b+ab+a=30,求函数y=0b的取小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题 ，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是

8、可行的；二是直接用基本 不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式， 又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式 放缩后，再通过解不等式的途径进行。30 2ba=b+ 1ab=302bb+ 12 b 2+30bb+ 1由 a>0 得，0Vb<15人. . 一 , 一 2t令 t = b+1, 1<t < 16, ab=2.+ 34t 31-t-16、，=2 (t ) +34t16+T=8法二:. >/a 03V2 , ab< 18,1 -y>wab< 18y>!当且仅当t=4,即b = 3, a=6时，等号成立。18由已知得：3

9、0 ab = a+ 2b . a+2b>2/2 ab30 -ab>2)2 ab u=Vab"则 u2+2啦 u3000, -5/2 <u<32点评：本题考查不等式Tab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式ab a 2b 30(a,b R)出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式 U 师(a,b R ),这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. 2变式：1.已知a>0, b>0, ab(a+b) = 1,求a+b的最小值。2 .若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、

10、取平方5、已知x, y为正实数，3x + 2y=10,求函数 W啊 +2y的最值.a+ b a 2+ b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，,本题很简单圾 + 历 N(V3X ) 2+(V2y ) 2 :V2 3x + 2y =2/解法二：条件与结论均为和的形式， 设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0, W= 3x + 2y+2V3X V2y =10+2V3XV2y010+ (啊)2 -(V2y ) 2 =10+(3x + 2y)二20W 20 =2 乖应用二：利用基本不等式证明不等式b2. 22,c为两两不相等的实数，求证：a

11、b c ab bc ca1)正数 a, b, c满足 a+b+c=1,求证：(1 a)(1 b)(1 -c) >8abc111例 6:已知 a、b、c R,且 a b c 1。求证：一 1 一 1 一 18abc分析：不等式右边数字 8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1 1 L_a b_c 2 bc,可由此变形入手。 a a a a解：Q a、b、c R , a b c 1。11 a-1 a ab c 2 bc1 d 2 ac 12、ab。同理1 , - 1 a ab b c c1 一，一b c -时取等号。3上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1 d 1

12、 d 1 d 2 bc 2 ac 2 .ab o 人口内人-1 - 1 - 1gg 8。当且仅当 aa b c a b c应用三：基本不等式与包成立问题19例：已知x 0,y 0且1 9 1,求使不等式x y m包成立的实数m的取值范围 x y19, x y 9x 9y ,10 y 9x ,解：令 x y k, x 0, y 0, 1 ,L r 1.上1x ykx kyk kx ky，10_3_1 20 k 16 , m ,16 k k应用四：均值定理在比较大小中的应用：1 a b、例：右 a b 1,P ,;lga lgb,Q (Iga 1g b), R lg(),则 P,Q,R 的大小关系

13、是 2 21 分析：a b 1 . . 1g a 0,1g b 0 Q 一 (1ga 1g b) Jlga 1g b p2a b1 .R 1g() 1gMab - 1g ab Q R>Q22四.不等式的解法.1. 一元一次不等式的解法。2. 一元二次不等式的解法3 .简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；(2)将每一个一次因式的根标在数轴上， 从最大根的右上方 依次通过每一点画曲线；并注意 奇穿过偶弹回；(3)根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写 出不等式的解集。如(1)解不等式(x 1)(x 2)2 0。(答

14、：xx 1或 x2)；(2)不等式(x 2)Jx2 2x 3 0的解集是(答：x|x 3或 x1)；(3)设函数f(x)、g(x)的定义域都是R,且f(x) 0的解集为x|1 x 2, g(x) 0的解集 为，则不等式f (x)gg(x) 0的解集为(答：(，1)U2,);(答：嗯)0,再通分并将分子分母分(4)要使满足关于x的不等式2x2 9x a 0 (解集非空)的每一个x的值至少满足不等式 x2 4x 3 0和x2 6x 8 0中的一个，则实数a的取值范围是.4 .分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分

15、式不等式时，一般不能去分母，但分母包为正或恒为负时可去分母。如(1)解不等式25 x 1x 2x 3(答：(1,1)U(2,3);(2)关于x的不等式ax b 0的解集为(1,),则关于x的不等式axb 0的解集为x 2(答：(,1) (2,)5 .指数和对数不等式。6 .绝对值不等式的解法：(1)含绝对值的不等式|x| <a与|x| >a的解集(2) |ax+b| 0c(c >0)和|ax+b| 力c(c >0)型不等式的解法|ax+b| < c-c < ax+b& c;| ax+b| >c ax+b1c 或 ax+b0 -c.(3) |x-

16、a|+|x-b|>c(c >0)和|x-a|+|x-b|<c(c >0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。例 1:解下列不等式：(1).x2 2x x(2). -3< - <2x【解析】：(1)解法一(公式法)原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x解彳X> x>3或x<0或0<x<1原不等式的解集为 x | x<0或0<

17、;x<1或x>3 解法2 (数形结合法)作出示意图，易观察原不等式的解集为x | x<0或0<x<1或x>3 第(1)题图第(2)题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数1 1图象，则解集为x|x 1或x<-1，结果一目了然。2 3例2:解不等式：|x| 1x-【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)= x的图象，易知解集为(一，。)1, 十 )解不等式.|x 1|例3:|x1|g(x)|x 1| |x 1|2(x1)2x( 1 x 1)2(x 1)【解法11令33人 h(x) ,)令 2 ,分别作出

18、函数g(x)和h(x)的图象，知原不等式的解集为 43t |x 1| 一 |x 1|【解法2】原不等式等价于 23g(x) |x 1|,h(x) |x 1| -2(314 4分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g (x)和h (x)的图象的交点坐标为一 一|x 1|所以不等式|x11 3的解集为3,3|x 1| |x 1|【解法3】 由2的几何意义可设F 1(-1, 0) , F 2 ( 1 , 0) , M (x, y),3MF1 MF2 若2 ,可知M的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为(,0),由双曲线的图象和| x+1 | | x-1 |知x>.7.

19、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键.”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别 说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如22(1)右loga 1 ,则a的取值沱围是(答：a 1或0 a 一)；332(2)解不等式-aJ x(a R)ax 11 、-1、(答：a 0时，x|x 0； a 0时，x|x 或x 0; a 0 时，x| x 0或 x 0) aa提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的

20、不等式ax b 0的解集为(，1),则不等式0的解集为(答：(1,2) ax b五.绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b| <|a|+|b|,当且仅当ab0时，等号成立。注：(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+| <|+| ,它的几何意 义就是三角形的两边之和大于第三边。(2)不等式|a|-|b|< |a ± b| < |a|+|b|中“二”成立的条件分别是：不等式|a|-|b| < |a+b|< |a|+|b| ，在侧“二”成立的条件是ab>0,左侧“二”成立的条件是at><0且|a|

21、> |b|;不等式|a|-|b|< |a-b| < |a|+|b| ,右侧“二”成立的条件是ab< 0,左侧“二”成立的条件是ab>0且|a|引b| 。定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c| < |a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。例1.已知 0, x a , y b ,求证2x 3y 2a 3b 5 .例2.(1)求函数y x 3 x 1的最大和最小值；(2)设 a R,函数 f x ax2 x a( 1 x 1).的最大值例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20

22、km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处六.柯西不等式等号当且仅当或时成立（k为常数，）类型一：利用柯西不等式求最值1 .求函数的最大值一：.且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为二：且，函数的定义域为由，得即，解得.时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解类型二：利用柯西不等式证明不等式2 .设、为正数且各不相等，求证：又、各不相等，故等号不能成立类型三：柯西不等式在几何上的应用6. ABC的三边长为a、b、c,其外接圆半径为 R,求证:

23、证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=七.证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是：作差（商）后通过).lg blg c;分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与 1的大小，然后作出结论1111111常用的放缩技巧有：二)n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 nk 1 k = =k . k 1,k 1.k 2 <k.k 1 Jk如(1)已知 a b c,求证：a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 ;(2)已知 a,b,c R,求证：a2b2 b2c2 c2a2abc(a b c);(3)已知 a,b,x,y R,且1,x y ,求证：一; a bx a y b(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lgab lgbc lg-ca lga 222(5)已知 a,b,c R,求证：a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c);(6)若n N* ,求证：T(n121 (n 1) Vn21 n；已知|a| |b|,求证：|a| |b| |a| |b|;|a b| |a b|111(8)求证：1FFLF2。2232n2八.不等式的包成立，能成立，恰成立等问题：不等式包成立问题的常规处理方式(常应用函数方 程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住