134_课题学习_最短路径问题课件

1、13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题1 1、从、从A A地到地到B B地有三条路可供选择，你会地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？选走哪条路最近？FEDCBA引入新知引入新知已知：如图，已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，的两侧，在在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 两点之间两点之间,线段最短线段最短 前面我们研究过一些关于前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线两点的所有连线中，线 段最短段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问等的问题，

2、我们称它们为最短路径问 题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题将军饮马问题” 引入新知引入新知2、已知：如图，、已知：如图，A，B在直线在直线L的两侧，的两侧，在在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。 问题问题1牧马人从牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，饮马，然后到然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？程最短？探索新知探索新知BAl将将A，B 两地抽象为

3、两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAl作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C （与点（与点C 不重合），连接不重合），连接AC, BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC= = AC + +BC = = AB， AC+ +BC= = AC+ +BC 在在ABC中中， ABAC+BC， AC +BCA

4、C+BC 即即AC +BC 最短最短探索新知探索新知思考：你能用所学的知识证明思考：你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC问题2：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E E， 2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M, 则点则点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。证明：由平移的性质，得证明：由平移的性质，得 BNEM BNEM

5、 且且BN=EM, MN=CD, BN=EM, MN=CD, BDBDCE, BD=CE,CE, BD=CE,所以所以A.BA.B两地的距两地的距: :AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CDCD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则则ABAB两地的距离为：两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,A

6、E+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以桥的位置建在所以桥的位置建在CDCD处，处，ABAB两地的路程最短。两地的路程最短。ABMNECD已知：如图已知：如图A是锐角是锐角MON内内部任意一点，在部任意一点，在MON的两边的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组，组成三角形，使三角形周长最小成三角形，使三角形周长最小.BC分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小 解：分别作点解：分别作点A关于关于OM，ON的对称点的对称点A，A；连接；连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于