第二章第02节函数的求导法则ppt课件

1、博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第一节第一节 导数的概念导数的概念 第三节第三节 隐函数和参数式函数求导隐函数和参数式函数求导 相关变化率相关变化率第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则 第四节第四节 高阶导数高阶导数第五节第五节 函数的微分函数的微分第二章第二章 导数与微分导数与微分博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 要解决的问题要解决的问题: :xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义构造性定义 )如何更有效的求函数初等函数的导数如何更有效的求函数初等函数的导数除用定义外，寻求其它求导法则除用定义外，寻求其它求

2、导法则博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第二节第二节二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 函数的求导法则函数的求导法则 第二章第二章 博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0( 构造性定义构造性定义 )求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1 )(C )sin(x )ln(x证明中利用了证明中利用了两个重要极限两个重要极

3、限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容本节内容博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、的和、 差、差、 积、积、 商商 (除分母除分母为为 0的点外的点外) 都在点都在点 x 可导可导, 且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和并同时给出相应的推论和例题例

4、题 .)0)(xv博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 此法则可推广到任意有限项的情形此法则可推广到任意有限项的情形.设设, 那那么么vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立故结论成立.wvuwvu)( ,例如例如例如,证证. .博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)(2)vuvuvu )(证证: : 设设, )()()(xvxuxf则有则有hxfhx

5、fxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推论推论: : )() 1uC )()2wvuuC wvuwvuwvu )log()3xaaxlnlnaxln1( C为常数为常数 )博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21

6、sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3)( )uuvvuvv2vvuvuvu证证: 利用利用2来证明来证明()()( )( ) ,u xv xu xv x故结论成立故结论成立.推论推论:2vvCvC( C为常数为常数 )两边求导得两边求导得整理即得整理即得 2uu vuvvv 博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(t

7、an x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd)()(xguf在点在点 x 可导可导,二、复合函数求导法则二、复合函数求导法则定理定理2.2.)(xgu )(ufy 在点在点)(xgu 可导可导复合函数复合函数 fy )(xg且且)()(ddxgufxy在点在点 x 可导可导,证证:)(ufy 在点在点 u 可导可导, 故故)(li

8、m0ufuyuuuufy)(（当（当 时时 )0u0故有故有uy)(uf)0()(xxuxuufxy0000dlimlimlimlim( )( )dxxxxyyyuyufu g xxxuxux 或或uxyu博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键关键: : 搞清复合函数结构搞清复合函数结构, , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导. .推广：此法则可推广到多个中间变量的情形推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.( (链式法则链式法则) )( )( )( )uvx

9、y uu vvx博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4. 求下列导数求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch说明说明: 类似可得类似可得;sh)(chxx axxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax()()2xxee博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5. 设设, )cos(lnxey 求求

10、.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee考虑考虑: 假设假设)(uf 存在存在 , 如何求如何求)cos(lnxef的导数的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同这两个记号含义不同练习练习: 设设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6. 设设, )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x而而, )1(lnarsh2xxx那么那么 )(arshx112x(反双曲正弦反双曲正弦)2shxxeex

11、的反函数的反函数2(1) ,xx211xx博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 )( xf三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则 定理定理3. 3. y 的某邻域内单调可导的某邻域内单调可导, 证证: 利用复合函数求导法则证明利用复合函数求导法则证明.两边对两边对x求导数求导数,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或11( ) ( )xfyff x11( )( )fxfyyxdd1 )(1yf111( )( )fyfx即即即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.博文学院博文学院目录目录 上页上

12、页 下页下页 返回返回 结束结束 1例例3. 求反三角函数及指数函数的导数求反三角函数及指数函数的导数.解解: 1) 设设,arcsinxy 那么那么,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用利用0cosy, 那么那么博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2) 设设, )1,0(aaayx那那么么),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxlnxxe

13、)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当特别当ea时时,小结小结:博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.1.基本导数公式基本导数公式 (P47)(P47) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln

14、xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.1.基本导数公式基本导数公式 (P47)(P47) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaax

15、ln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)16)博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.有限次四则运算的求导法则有限次四则运算的求导法则 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C为常数为常数 )0( v3.3.复合函数求导法则复合函数求导法则)(, )(xuufyxydd)()(xuf4.4.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导, ,由定义证由定义证 ,

16、说明说明: 最基本的公式最基本的公式uyddxudd其它公式其它公式用求导法则推出用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数(1)(2)(3)(4)(5)2)3)10)12)(2)(5)和和(1)博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5 5、双曲函数与反双曲函数的导数、双曲函数与反双曲函数的导数(sh )chxx (ch )shxx shthchxxx222chsh(th )chxxxx21(th )chxx 博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 同理同理221(1)11xxxx211 x112 x211x 22(1)(sh )

17、1xxarxxx(ch )arx (th )arx 即即21(sh )1 arxx2shln(1)arxxx博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7. 求求解解: :,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例例8. 设设),0( aaaxyxaaaxa解解: :1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求求.yaaxln求导公式求导公式博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例9. 求求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin x

18、e2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键: 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 由外向内逐层求导由外向内逐层求导求导公式求导公式博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例10. 设设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx求导公式求导公式博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结求

19、导公式及求导法则求导公式及求导法则 (见见 P47)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清复合函数结构搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导由外向内逐层求导 .41143x1.xx1431x思考与练习思考与练习对吗对吗? ?2114341xx博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 设设, )()()(xaxxf其中其中)(x在在ax 因因)()()()(xaxxxf故故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法正确解法:)(af 时时, 下列做法是否正确下列做法是否正确?在求在求处连续

20、处连续,【P62习题习题3(4)】博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3. 求下列函数的导数求下列函数的导数解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln求导公式求导公式博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. 设设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求求解解: 方法方法1 利用导数定义利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式利用求导公式.

21、)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99()2)(1(xxx!99)0(f博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业P 48 18题 博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练练 习习 题题博文学院博文学院目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、二、 求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 1