因式分解专题复习及讲解很详细

1、爱特教育因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被 广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工 具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅 是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用.初中数学教材中 主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘 法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、 技巧和应用作进一步的介绍.一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即

2、为因 式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 a2±2ab+b2=(a± b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3a3-b3=(a-b)3+ab+b2).下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-c

3、a)；例.已知a, b, c是AABC的三边，且a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca ,则AABC的形状是()A.直角三角形 8等腰三角形C等边三角形口等腰直角三角形解：a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca n 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2can (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 = 0 n a = b = c三、分组分解法.(一)分组后能直接提公因式例1、分解因式： am + an + bm + bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看

4、，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。解：原式二(am + an) + (bm + bn)=a (m + n) + b (m + n)每组之间还有公因式！=(m + n)(a + b)例2、分解因式： 2ax 一 10ay + 5by 一 bx解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。解：原式=(2ax -10ay) + (5by - bx)=2 a (x - 5 y) - b (x - 5 y)=(x - 5y)(2a - b)练习：分解因式1、 a 2 - ab + ac - bc解法二：第一、四项

5、为一组；第二、三项为一组。原式二(2ax - bx) + (-10ay + 5by)=x(2a - b) - 5 y (2a - b)=(2a - b)(x - 5y)2、xy - x - y +1(二)分组后能直接运用公式例3、分解因式： x 2 - y 2 + ax + ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2 - y2) + (ax + ay)=(x + y)(x - y) + a(x + y)=(x + y)(x - y + a)例4、分解因式：a2 - 2ab + b2 - c2解：原式二(a2

6、 - 2ab + b2) - c2=(a - b)2 - c2=(a - b - c)(a - b + c)练习：分解因式3、x2 - x - 9y2 - 3y综合练习：(1) x 3 + x 2 y - xy 2 - y 3(3) x2 + 6xy + 9y 2 -16a2 + 8a -1(5) a4 - 2a3 + a2 - 9(7)x2 - 2xy - xz + yz + y2(9)y(y - 2) - (m -1)(m +1)4、x2 - y2 - z2 - 2 yz(2)ax2 - bx2 + bx - ax + a - b(4) a 2 - 6ab +12b + 9b 2 - 4a

7、(6) 4a2x - 4a2 y - b2x + b2 y(8)a2 - 2a + b2 - 2b + 2ab +1(10) (a + c)(a - c) + b(b - 2a)(11)a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) + 2abc(12)a3 + b3 + c3 - 3abc四、十字相乘法.(一)二次项系数为1的二次三项式直接利用公式 2 + (p + q) % + pq = (% + p)(% + q)进行分解。特点：(i)二次项系数是1；(2)常数项是两个数的乘积；(3)一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律例.已知0V a W5,

8、且a为整数，若2%2 + 3% + a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ,都要求 = b2 - 4ac >0而且是一个完全平方数。于是A = 9 - 8a为完全平方数，a = 1例5、分解因式： % 2 + 5 % + 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2X3=(-2) X (-3)=1 X6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有 2X3的分解适合，即2+3=5。-T'-2解：%2 + 5% + 6 = %2 + (2 + 3)% + 2 * 313=(% + 2)( % + 3)1X2+1

9、X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数 的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：%2 - 7% + 6解：原式=X 2 + (-1) + (-6) X + (-1)(-6)=(X -1)( X - 6)1-6(-1) + (-6) = -7练习 5、分解因式(1) X2 +14x + 24 (2) a2 -15a + 36 (3) x2 + 4x - 5练习 6、分解因式(1) X 2 + x - 2(2) y 2 - 2 y -15(3) x 2 -10x - 24(二)二次项系数不为1的二次三项式ax 2 + bx + c条件：(1)a = a 1 a

10、 2ac 1(2) c - c cac(3)b - a c + a cb - a c + a c分解结果： ax2 + bx + c = (a x + c )(a x + c ) 1122例7、分解因式：3x2 -11 x +10分析：1 .-X、.-23-5(-6)+(-5)= -11解：3X2 -11X +10 = (X - 2)(3X - 5)(2) 3X2 - 7X + 2练习7、分解因式：（1） 5 x 2 + 7 x - 6(三)二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：a2 8ab 128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相 乘法进行分解。1 ：X

11、8b1-16b8b+(-16b)= -8b解:a2 8ab 128b2 = a 2 + 8b + (16b)a + 8b 义(16b)=(a + 8b)(a 16 b)练 习8分 解因 式(1) x 2 3 xy + 2 y 2 (2) m 2 6 mn + 8 n 2 (3) a 2 ab 6b 2(四)二次项系数不为1的齐次多项式例10、 x 2 y 2 3 xy + 2把xy看作一个整体1：X： -11-2(-1) + (-2) =例9、 2 x 2 7 xy + 6 y 21 X-2y2-3y(-3y) + (-4y)= -7y-3解：原式二(x 2y)(2x 3y)解：原式二(xy

12、1)(xy 2)(2) a2x2 6ax + 8练习9、分解因式：(1) 15x2 + 7xy 4y2综合练习 10、(1) 8 x6 - 7 x 31(2) 12 x 211 町15 y2(3) (x + y)2 3(x + y) 10(4) (a + b)2 4a 4b + 3(5) x2y2 5x2y 6x2(6) m2 4mn + 4n2 3m + 6n + 2(7) x2 + 4xy + 4y2 2x 4y 3 (8) 5(a + b)2 + 23(a2 b2) 10(a b)2(9) 4x2 4xy 6x + 3y + y2 10 (10) 12(x + y)2 +11(x2 y2

13、) + 2(x y)2思考：分解因式： abcx 2 + (a 2 b 2 + c 2) x + abc五、换元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 (20052 1)x 2005(2) (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2解：(1)设2005= a，则原式=ax2 (a2 1)x a=(ax +1)( x a)=(2005 x +1)( x 2005)(2)型如abcd + e的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=(x 2 + 7 x + 6)( x 2 + 5 x + 6) + x 2设 x 2 + 5 x + 6 = A，贝 I x 2

14、+ 7 x + 6 = A + 2 x二原式=(A + 2 x) A + x 2=A 2 + 2 Ax + x 2=(A + x )2 = (x 2 + 6 x + 6)2练习13、分解因式(1) (x2 +町+ y2)2 4町(x2 + y2)(X 2 + 3 x + 2)(4 x 2 + 8 x + 3) + 90 (a 2 +1)2 + (a 2 + 5)2 4( a 2 + 3)2例14、分解因式(1) 2 x 4 一 x 3 - 6 x 2 一 x + 2观察：此多项式的特点一是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1, 并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中

15、间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。x x211设 x + = t，贝 I x 2 +=12 - 2解：原式=x2(2x2 - x - 6 + ) = x2 L(x2 + ) 一 (x + ) 一 61,.原式=x2 2( 12 2) t 61=x2 Q12 t 10)=x 2(21 5)( + 2 )= x 22、)(2.=x - 2 x + - 5 - x - x + - + 2x 2 5 x + 2)(2 + 2 x + J=(x +1)2(2 x 1)( x 2)(2) x4 - 4x3 + x2 + 4x + 1一 .,“41、解：原式=x 2( x2 4 x +1 +

16、+ 一) = x2x x 2111-设x一一 二 y，贝 1x2 +=y2 + 2x2原式二x 2( y2 4 y + 3) = x 2( y 1)( y 3)=X2(X- - - 1)(X - - - 3) = (2 - X -1)(2 - 3X -1)练习 14、(1) 6x4 + 7x3 36x2 一 7x + 6(2) X 4 + 2 X 3 + X 2 + 1 + 2( X + X 2)六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式(1) X3 - 3X2 + 4解法2添项。原式= x 3 - 3 x 2 - 4 x + 4 x + 4=x(X 2 - 3X - 4) + (4x + 4)

17、=x ( x +1)( x - 4) + 4( x +1)=(X +1)(X2 - 4x + 4)=(X + 1)(X - 2)2解法1拆项。原式=X3 + 1 - 3X2 + 3=(X + 1)(X2 - X +1) - 3(X + 1)(X -1)=(x +1)(x2 - x +1 - 3x + 3)=(X +1)(X2 - 4x + 4)=(X + 1)(X - 2)2(2) X9 + X6 + X3 - 3解：原式二(X 9 -1) + (X6 - 1) + (X 3 -1)=(X3 - 1)(X6 + X3 + 1) + (X3 - 1)(X3 + 1) + (X3 - 1)=(X

18、3 - 1)( X 6 + X 3 + 1 + X 3 + 1 + 1)=(X - 1)(X2 + X + 1)(X6 + 2X3 + 3)练习15、分解因式(1) x 3 - 9 x + 8(2) (X + 1)4 + (X2 - 1)2 + (X - 1)4(3) %4 7%2 +1(4) x4 + x2 + 2ax +1 - a2(5) x4 + y4 + (x + y)4(6) 2 a 2 b 2 + 2 a 2 c 2 + 2 b 2 c 2 一 a 4 一 b 4 一 c 4七、待定系数法。例 16、分解因式 x2 + xy - 6 y2 + x +13 y - 6分析：原式的前3

19、项x2 + xy - 6y 2可以分为(x + 3y)(x - 2y),则原多项式必定可分为(x + 3 y + m)(x 一 2 y + n)解：设x 2+ xy - 6 y 2 + x +13 y - 6 = (x + 3 y + m)(x - 2 y + n),/ (x + 3y + m)(x - 2y + n) = x2 + xy - 6y 2 + (m + n)x + (3n - 2m)y 一 mn x2 + xy - 6 y 2 + x +13 y - 6 = x2 + xy - 6y 2 + (m + n)x + (3n - 2m) y - mnm + n = 1rm 二 一2对

20、比左右两边相同项的系数可得3n - 2m = 13 ,解得I n = 3mn = -6I二原式二(x + 3y - 2)(x 一 2y + 3)例17、(1)当m为何值时，多项式x2 - y2 + mx + 5y - 6能分解因式，并分解此多项式。(2)如果 x 3 + ax 2+ bx + 8有两个因式为x+1和x+2，求a+b的值。(1)分析：前两项可以分解为(x + y)(x - y),故此多项式分解的形式必为(x + y + a)(x - y + b)解：设X2一 y 2 + mx + 5y 6 = (x + y + a)(x 一 y + b)贝I x 2 - y 2 + mx + 5

21、 y - 6 = x 2 - y 2 + (a + b) x + (b - a) y + aba = 一2a = 2<b = 3 或b = 一3m = 1 m = -1a + b = m比较对应的系数可得：b-a = 5，解得:ab 二 一6，当m = ±1时，原多项式可以分解；当 m = 1 时，原式=(x + y 一 2)(x 一 y + 3)；当 m = -1 时，原式=(x + y + 2)(x 一 y 一 3)(2)分析： x 3+ax 2 + bx + 8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如 x + c 的一次二项式。解：设 x 3 +

22、 ax 2 + bx + 8 = (x +1)( x + 2)( x + c)贝 x 3 + ax 2 + bx + 8 = x 3+(3 + c) x 2 + (2 + 3 c) x + 2 ca = 3 + ca = 7/. b = 2 + 3c 解得 < b = 14 ,2 c = 81 c = 4二 a + b =21练习 17、(1)分解因式 x2 - 3xy -10y2 + x + 9y - 2(2)分解因式x 2 + 3 xy + 2 y 2 + 5 x + 7 y + 6(3)已知：x2 - 2盯- 3y2 + 6x -14y + p能分解成两个一次因式之积，求常数P并且

23、分解因式。(4) k为何值时，x2 - 2xy + ky 2 + 3x - 5 y + 2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。第二部分：习题大全经典一:一、填空题1.把一个多项式化成几个整式的 的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式：m3-4m= .3.分解因式：x2-4y2= .4、分解因式：一无2 4x 4 =。5.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），贝lj n的值为 .6、若 x - y = 5, xy = 6 则 x2y -町2 二 二、选择题7、多项式15m3n2 + 5m2n 20m2n3的公因式是（）A、5mn b、5m2n2* 5m2n

24、口、5mn28、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）(a +3)(a -3)= a2 -9A、B、a2 - b2 =(a + b)(a -b)C、(a - 4)- 5(3 3 )m 2 - 2 m - 3 = m m - 2-D、I m J10 .下列多项式能分解因式的是（ ）(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4.211 .把(x y) (y x)分解因式为()A. (x y) (x y 1)B. (yx) (x y 1)C. (y x) (y x 1)D. (yx) (y x + 1)12 .下列各个分解因式中正确的是()A. 10ab2c+ 6ac2

25、+2ac = 2ac (5bz+3c)B. (a b) 2(ba) 2=(a b) 2 (ab + 1)C. x (b+c a)y (a bc)a + bc=(b+c a) (x+y 1)D. (a2b) (3a + b) 5 (2b a) 2=(a2b) (11b2a)13 .若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为()三、把下列各式分解因式：14 . nx-ny15、4m2 - 9n216、m (m 一 n )+n (n 一 m )17、a 3 2 a 2 b + ab 219、9(m + n)2 - 16(m 一 n)2Q 2 + 4 ) -16 x 218、五、解答题20、如

26、图，在一块边长°二的正方形纸片中，挖去一个边长b二的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d = 45cm，外径D = 75Cm'长1 = 3m。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（九取，22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第个等式。 2 - 1 = (x + 1)(x -1) x4 - 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x -1) X 8 - 1 = Cx4 + 1)(X2 + 1)(X + 1)(X - 1)(4) X16 -1 =(x 8 + 1)(x4 + 1)Q+ 1)(X +1

27、)(x -1)经典一.J- /、爱特教育因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法 互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广 泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1 .因式分解的对象是多项式；2 .因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3 .分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4 .公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5 .结果如有相同因式，应写成幕的形式；6 .题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7 .因式分解的一般步骤是：(1)通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首

28、先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不 能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利 用公式法继续分解；(2)若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、 试除法、拆项(添项)等方法；下面我们一起来回顾本章所学的内容。1 .通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式X5 X4 + X3 X2 + x 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把X5X4 + X3和X2 + X 1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取 公因式后，再进一步分解；也可把X5 X4，X3 X2，X 1分别看成一组， 此时的六项式变成三项式，提取

29、公因式后再进行分解。解一：原式=(X5 X4 + X3) (X2 X + 1)=X3(X2 X + 1) (X2 X + 1)=(X3 1)(x2 X + 1)=(x 1)(x2 x + 1)(x2 + x + 1)解二：原式二(X5 X4) + (x3 x2) + (x 1)=x4(x 1) + x2(x 1) + (x 1)=(x 1)(X4 + X 2 + 1)=(x 1)(x4 + 2x2 + 1) x2=(x 1)(x2 x + 1)(x2 + x + 1)2 .通过变形达到分解的目的例1.分解因式X3 + 3x2 - 4解一：将3x2拆成2x2 + X2，则有原式=X3 + 2x2

30、 + (x2 - 4)=x2(x + 2) + (x + 2)(x - 2)=(x + 2)(x2 + x - 2)=(x - 1)(x + 2)2解二：将常数-4拆成-1 - 3,则有原式=x3 - 1 + (3x2 - 3)=(x - 1)(x2 + x + 1) + (x - 1)(3x + 3)=(x - 1)(x2 + 4x + 4)=(x - 1)(x + 2)23 .在证明题中的应用例：求证：多项式(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数

31、。证明：(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100=(x + 2)(x - 2)(x - 3)(x - 7) + 100=(x + 2)(x - 7)(x - 2)(x - 3) + 100=(x2 - 5x - 14)(x2 - 5x + 6) + 100设 y = x2 - 5x，则原式=(y - 14)(y + 6) + 100 = y2 - 8y + 16 = (y - 4)2无论y取何值都有(y - 4)2 > 0(x2 - 4)(x2 - 10x + 21) + 100的值一定是非负数4 .因式分解中的转化思想例：分解因式：(a + 2b + c)3 - (a

32、 + b)3 - (b + c)3分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设a+b=A, b+c=B, a+2b+c=A+B原式=(A + B)3 A3 B3=A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 A3 B3=3A2B + 3AB2=3AB(A + B)=3(a + b)(b + c)(a + 2b + c)说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨例 1.在 A ABC 中，三边 a,b,c 满足 a2 一 16b2 - c2 + 6ab + 10bc = 0求证：a + c = 2b证

33、明：a2 - 16b2 - c2 + 6ab + 10bc = 0a2 + 6ab + 9b2 - c2 + 10bc 一 25b2 = 0即(a + 3b)2 一 (c 一 5b)2 = 0(a + 8b 一 c)(a 一 2b + c) = 0< a + b > c/. a + 8b > c,即a + 8b 一 c > 0于是有a - 2b + c = 0!Pa + c = 2b说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不 能丢分。1818解： x3 += (x +)(x2 1 +)x3xx=(x + -)(x + 1)2 2 1 x x=2 X 1

34、=2说明：利用x2 + 1- = (x + 1)2 2等式化繁为易。 x2x题型展示1 .若X为任意整数，求证：(7-x)(3-x)(4-x2)的值不大于100。解：(7 x )(3 x )(4 x 2) 100=(x 7)(x + 2)(x 3)(x 2) 100=(x2 5x 14)(x2 5x + 6) 100=(x2 5x) 8(x2 5x) + 16=(x2 5x 4)2 < 0(7 x)(3 x)(4 x2) < 100说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大 于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形 成完全平方是一种常用的

35、方法。2 .将a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)2分解因式，并用分解结果计算62 + 72 + 422。解：a2 + (a + 1)2 + (a2 + a)21919=a2 + a2 + 2a + 1 + (a2 + a)2=2(a2 + a) + 1 + (a2 + a)2=(a2 + a + 1)262 + 72 + 422 = (36 + 6 + 1)2 = 432 = 1849说明：利用因式分解简化有理数的计算。实战模拟1 .分解因式：(1) 3x5 10x4 8x3 3x2 + 10x + 8(2) (a2 + 3a 3)(a2 + 3a + 1) 5(3) x2 一

36、2xy - 3y2 + 3x - 5y + 2(4) x3 - 7x + 62 .已知：x + y = 6, xy = -1,求：x3 + y3 的值。3 .矩形的周长是28cm，两边x,y使x3 + x2y - xy2 - y3 = 0，求矩形的面 积。4 .求证：n3 + 5n是6的倍数。（其中n为整数）5 . 已知：a 、 b 、 c 是非零实数，且a2 + b2 + c2 = 1, a(I) + b(I) + c(I) = 3，求 a+b+c 的值。 b c c a a b6 .已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2 + b2 - c2和4a2b2的大小。经典三：因式分解练习题精选一

37、、填空：(30分)1、若x2 + 2(m - 3)x +16是完全平方式，则m的值等于。2、x2 + x + m = (x - n)2 则|J m =n =3、2x3y2与12x6y的公因式是4、若xm - yn = (x + y2)(x- y2)(x2 + y4),则lj m二, n=21215、在多项式3y2 5户=15户中，可以用平方差公式分解因式的有，其结果是 6、若x2 + 2(m 3)x +16是完全平方式，则m二7、x2 + () x + 2 =(x + 2)(x +)8、已知1 + x + x 2 + x 2004 + x 2005 = 0,贝|J x 2006 = 9、若16

38、( b )2 + M + 25是完全平方式乂二10、x 2 + 6x +(_ )= (x + 3)2，x2 + ()+ 9 =(x - 3)211、若9 x 2 + k + y 2是完全平方式，则k=12、若x2 + 4x 4的值为0，则3x2 +12x 5的值是13、若x 2 一 ax 一 15 =(x +1)(x -15)贝ij a =14、若x + y = 4, x2 + y2 = 6 则 xy =。15、方程x 2 + 4 x = 0,的解是。二、选择题：(10分) 1、多项式 一 a(a - x)(x - b) + ab(a - x)(b - x)的公因式是()A、一a、B、一a(a

39、 x)(x b) C、a(a x)D、一a(x a)2、若mx 2 + kx + 9 = （2 x 3）2,则叫k的值分别是（）A、m=2, k=6, B、m=2, k=12, C、m=4, k=12、D m=4, k=12、 3、下列名式: x2 - y2,-x2 + y2,-x2 - y2,（-x）2 + （-y）2,x4 - y4 中能用平方差公式分解因式的有（）A、1 个，B、2 个，C、3 个，D、4 个 4、计算（I-f（l-f （1-/-荒）的值是（）A、1 B 1 C 1 D 112 B、20，C.道D.20 三、分解因式：（30分）1、x4 一 2x3 - 35x22、 3

40、x 6 3 x 23、 25(x - 2y)2 - 4(2y - x)24、x 2 - 4 xy -1 + 4 y 25、 x5 一x6、x 3 -17、ax 2 一 bx 2 一 bx + ax + b 一 a8、x4 -18x2 + 819、9x4 - 36y210、(x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24四、代数式求值（15分）1、xy = 2，求 2x4y3 - x3y4 的值。2、若x、y互为相反数，且（x + 2）2 - （y +1）2 = 4，求x、y的值3、已知a + b = 2，求(a2 -b2)2 - 8(a2 + b2)的值五、计算：（15）(1)

41、 x 3.66 - 3 x 2.66 41 12。一12 )(3)2x562 + 8 x56x 22 + 2x 442六、试说明：（8分）1、对于任意自然数n, （n + 7）2 - （n 5）2都能被动24整除。2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇 数之间的偶数与较大奇数的积。七、利用分解因式计算（8分）1、一种光盘的外D二厘米，内径的d二厘米，求光盘的面积。（结果保留两位 有效数字）2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘 米求这两个正方形的边长。八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进 行了描述：甲：这是一

42、个三次四项式乙：三次项系数为1,常数项为1。丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将 它分解因式。（4分）经典四:因式分解一、 选择题1、代数式 a3b2 a2b3, 21a3b4+a4b3,a4b2 a2b4 的公因式是（）2A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b32、用提提公因式法分解因式5a(x y)10b(x y),提出的公因式应当为()A、5a 10bB、5a+10b C、5(x y)D、y x3、把一8m3+12m2+4m分解因式，结果是()A、一4m(2m2 - 3m)B、一4m(2m

43、z+3m1)C、一4m(2m2 3m1)D、一2m(4m2 6m+2)4、把多项式一2x44x2分解因式，其结果是()A、2( x42x2)B、一2(x4+2xz)C、一x2(2xz+4) D、 一2x2 (x2+2)5、(一2) 1998十 (2) 1999 等于()A、一21998B、21998C、一21999D、219996、把16-x4分解因式，其结果是()A、(2 x) 4B、(4+xz)( 4一x2)C、(4+x2)(2 + x)(2 x)D、(2 + x)3(2 x)7、把a，一2a2b2+b4分解因式，结果是()A、a2(a22b2)+b4B、(a2 b2)2C、(a b)4

44、D、(a +b) 2 (a b) 28、把多项式2x2 2x+ 1分解因式，其结果是()2A、(2xi)2B、2(x )2C、(x，)2 Dx (x22221) 29、若9a2+6(k 3)a+1是完全平方式，则k的值是()A、±4B、±2 C、3 D、4 或 210、一(2x y) (2x + y)是下列哪个多项式分解因式的结果()A、4x2 y2B、4x? + y2C、一4x2 y2D、一4xz+y211、多项式xz+3x54分解因式为()A、(x + 6)(x9)B、(x 6)(x+9)C、(x + 6)(x+9)D、 (x 6)(x9)二、填空题1、2x24xy 2

45、x =(x 2y 1)2、4a3b210a2b3 = 2a2b2()3、(1a)mn + a 1 = ()(mn 1)4、m(m n)2(n-m)2 =()()5、X2 一 () + 16y2=() 26、X2 ()2=(x+5y)( x5y)7、a24(a b) 2=() ()8、a(x + y z)+b(x + y z)-c(x + y z)= (x + y - z) , ()9、16(x y)29(x + y)2=() ()10、(a + b)3 (a + b) = (a + b) () ()11、x2+3x + 2=()()12、已知 X2+px+12=(x 2)(x 6),则 p=.

46、三、解答题1、把下列各式因式分解。(1)x2 2x3(2)3y3 6y2+3y(3)a2(x2a)2a(x2a)2(4)(x 2) 2 x + 225m2-10mn + n2(6)12a 2b(x y) 4ab(y - x)(8)az+5a + 6(7)(x - 1) 2 (3x 2) + (2 3x)(9)x211x + 24(10)y212y 28(11)x2+4x5(12)y43y3 28y22、用简便方法计算。(1 ) 9992+999(2) 2022542+256X3521997-19972 -1996 x 19983、已知：x + y=2 ,xy=1.求 X3y + 2x2y? +

47、 xy3 的值。四、探究创新乐园1、若 a b=2,a c=,求(b c)2+3(b c) + 2 的值。242、求证：11l1 11 10119=119X109经典五:因式分解练习题一、填空题：1. 4aL + 8a2 + 24a =4a()；2. (a 3)(3 - 2a)=(3 a)(3 2a)；3. ab-3 = ab(a b)()；4. (1 - a)mn+ a- 1= (5. 0,0009k4 = ( )2s机7. (卷简+ 1 = (8. 8zl- ( ) = (2x-)(+舐+9)；x3 - y2 -z2 + 2yz = k3 - ()=()()；10. 2az 10ay+ 5

48、by bx= 2a( ) b( ) = ( 乂 )；11. x3 + 3x 10 = (x )(x)；12. .若 m2 3m+2=(m+a)(m+b),则 a=, b二313113. 1 一 = (x- 1y)()；14. a2 be + at> a.c =+ ab)()=()()；15. 当m=时，X2 + 2(m3)x + 25是完全平方式.二、选择题：1 .下列各式的因式分解结果中，正确的是A. a2b+ 7ab b = b(az + 7a)B. 3x2y 3xy 6y=3y(x 2)(x + 1)C. 8xyz 6x2y2 = 2xyz(43xy)D. -2a2+4ab 6ac

49、=-2a(a +2b 3c)2 .多项式m(n 2)mz(2 n)分解因式等于A. (n - 2)(m+mz)B. (n 2)(mm2)D. m(n 2)(mC. m(n 2)(m+1)3 .在下列等式中，属于因式分解的是A. a(x y)+b(m+n)=ax + bm ay + bnB. a2 2ab + bz + 1 = (a b)z + 1C. 4a2+9b2= ( 2a+3b)(2a + 3b)D. X2 7x 8=x(x 7)84 .下列各式中，能用平方差公式分解因式的是A. a? + b2B. a? + b2C. a2 b2D. 一 ( a2) +b25.若9x2+mxy+16y2

50、是一个完全平方式，那么m的值是3333A.-12B.±24C. 12D.±126 .把多项式an+4 an+1分解得A. an(a4a)B. an-1 (ag 1)C. an+1 (a 1)(a2 a + 1)D. an+1 (a 1)(az + a + 1)7 .若 a2 + a= 1,则 a4+2a3 3a24a+ 3 的值为A. 8B. 7C. 10D. 128 .已知X2 + y2 + 2x 6y + 10=0,那么x, y的值分别为3434B. x=1A.x=1,y=3 y二3C. x=1, y=3D. x=1,y二39 .把(m2 + 3m)48(mz + 3m

51、)2 + 16 分解因式得A. (m+1)4(m+2)2B. (m1)2 (m2) 2 (m2 + 3m2)C. (m+4)2(m1)2D. (m+1)2 (m+2) 2 (m2 + 3m2)210 .把x2 7x 60分解因式，得A. (x10)(x + 6)B. (x+5)(x 12)C. (x + 3)(x 20)D. (x5)(x+ 12)11.把3x2 2xy 8y2分解因式，得A. (3x+4)(x 2)B. (3x4)(x + 2)C. (3x+4y)(x 2y)D. (3x4y)(x + 2y)12.把az + 8ab 33b2分解因式，得A. (a+11)(a 3)B. (a 11b)(a 3b)C. (a+11b)(a 3b)D. (a 11b)(a + 3b)13.把x4 3x2 + 2分解因式，得A.(x22)(x21)B.(x2 2)(x + 1)(x 1)C. (x2 + 2)(xz + 1)D. (x2 + 2)(x + 1)(x 1)14.多项式X2 ax bx + ab可分解因式为A. (x + a)(x + b)B. (x a)(x + b)C. (x a)(x b)D. (x+ a)(x + b)15 .一个关于x的二次三项式，其x2项的系数是1,常数项 是一12,且能分解因式，这