第二十一章一元二次方程

1、次方程的概念及一般式ax2+bx+c第二十一章一元二次方程：«<1. 通过类比一元一次方程，了解一元=0(a工0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念.2. 了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解.ES«<通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(a0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题.一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.活动1复习旧知1. 什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2. 下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般1形式.(1)2

2、x1(2)mx+n=0(3)-+1=0(4)x2=1x3. 下列哪个实数是方程2x1=3的解？并给出方程的解的概念.A.0B.1C.2D.3活动2探究新知根据题意列方程.1. 教材第2页问题1提出问题：(1) 正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程.2. 教材第2页问题2.提出问题：(1) 本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2) 比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多

3、少场？(3) 如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？3. 一个数比另一个数大3,且两个数之积为0,求这两个数.提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？4. 一个正方形的面积的2倍等于25,这个正方形的边长是多少？活动3归纳概念提出问题：(1) 上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2) 类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3) 归纳一元二次方程的概念.1. 一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是,这样的方程，叫做一元二次方程.2. 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0),其中ax2是二次项，a是二次项系数

4、；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.提出问题：(1) 一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2) 为什么要限制0,b,c可以为0吗？(3) 2x2x+1=0的一次项系数是1吗？为什么？3. 一元二次方程的解(根):使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根).活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是.11(1)4x2=81;(2)2x21=3y;(3)气+=2;(4)2x22x(x+7)=0.xx总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2注意有些方程化简前

5、含有二次项，但是化简后二次项系数为0,这样的方程不是一元二次方程.例2教材第3页例题.例3以一2为根的一元二次方程是()A.x2+2x1=0B.x2x2=0C.x2+x+2=0D.x2+x2=0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等.练习：1. 若(a1)x2+3ax1=0是关于x的一兀次方程，那么a的取值范围是.2. 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)4x2=81;(2)(3x2)(x+1)=8x3.3. 教材第4页练习第2题.4. 若一4是关于x的一元二次方程2x2+7xk=0的一个根，贝Vk

6、的值为.答案：1.a1;2略；3.略；4.k=4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置21.2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法转化的数学思想，并能应用它解决：«<理解一元二次方程“降次”些具体问题.提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.:«<运用开平方法解形如(x+m)2=n(n>0)的方程，领会降次转化的数学思想.通过根据平方根的意义解

7、形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n0)的方程.学生活动：请同学们完成下列各题.问题1：填空(1)x28x+=(x)2；(2)9x2+12x+=(3x+)2；(3)x2+px+=(x+)2.解：根据完全平方公式可得：(1)164；(2)42;(3)(号)2号.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2=9,根据平方根的意义，直接开平方得x=±3,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=9,能否也用直接开平方的方法求

8、解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±3即2t+1=3,2t+1=3方程的两根为t1=1,t2=2例1解方程：(1)X2+4x+4=1(2)X2+6x+9=2分析：(1)x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x+2)2=1.(2)由已知，得：(x+3尸=2直接开平方，得：x+3=±,2即x+3='2,x+3=2所以，方程的两根X!=3+.：2,X2=32例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2,求每年人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就

9、应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+X)2解：设每年人均住房面积增长率为x,贝y：10(1+x)2=14.4(1+x)2=1.44直接开平方,得1+x=±1.2即1+x=1.2,1+x=1.2所以，方程的两根是X1=0.2=20%,X2=2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，X2=2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为“降次转化思想”.三、巩固练

10、习教材第6页练习.四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p(p>0)的方程，那么x=±p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n)2=p(p>0)的方程，那么mx+n=±.p,达到降次转化之目的.若pv0则方程无解.五、作业布置.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题.通过复习可直接化成x2=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤.<<<讲清直接降次有困难，如x2+6x16=0的一元

11、二次方程的解题步骤.将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧.孰学没计：«<一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x21=5(2)4(x1)29=0(3)4x2+16x+16=9(4)4x2+16x=7老师点评：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p>0)的形式，那么可得x=±p或mx+n=±.p(p>0).如：4x2+16x+16=(2x+4)2,你能把4x2+16x=7化成(2x+4)2=9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1) 列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不

12、同呢？(2) 能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征.不能.既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x16=0移项tx2+6x=16两边加(6/2)2使左边配成x2+2bx+b2的形式tx2+6x+32=16+9左边写成平方形式t(x+3)2=25降次tx+3=±5即x+3=5或x+3=5解一次方程tX1=2,X2=8可以验证

13、：x1=2,X2=8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m,长为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法.可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.例1用配方法解下列关于x的方程：1(1)x28x+1=0(2)x22x2=0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上.解：略.三、巩固练习教材第9页练习1,2.(1)(2).四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程.五、作业布

14、置x的完報学目甌：«<第3课时配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解通过复习上一节课的解题方法解决一些具体题目.：«<元二次方程的步骤.,给出配方法的概念，然后运用配方法讲清配方法的解题步骤.对于用配方法解二次项系数为方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1,再用配方法求解.1的一元二次方程，通常把常数项移到一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x24x+7=02x28x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解

15、方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题.解：略.(2)与(1)有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1) 先将已知方程化为一般形式；(2) 化二次项系数为1;(3) 常数项移到右边；(4) 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5) 变形为(x+p)2=q的形式，如果q>0,方程的根是x=p±q；如果qv0,方程无实根.例1解下列方程：(1)2x2+1=3x(2)3x26x+4=0(3)(1+x)2+2(1+x)4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方

16、式.三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6).四、课堂小结本节课应掌握：1. 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤.2. 配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到.五、作业布置的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程.)2.面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.)(学生活动)用配方法解方程2x2+3=7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评).21.

17、2.2公式法:«<理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0(a0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.(1) 先将已知方程化为一般形式；(2) 化二次项系数为1;(3) 常数项移到右边；(4) 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5) 变形为(x+p)2=q的形式，如果q>0,方程的根是x=-p±q；如果qv0,方程无实根.二、探索新知用配方法解方程：:«<求根公式的推导和公式法的应用.一元二次

18、方程求根公式的推导.(1)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.问题：已知ax2+bx+c=0(a0),试推导它的两个根X1=:«<、复习引入b+b24ac2aX2=bib24ac2a(这个方程定有解吗？什么情况下有1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2=4(2)(x-2尸=7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项，得：ax2+bx=c二次项系数化为i,得x2+ax=_a配方，得：x2+（2a）2=2即（X+A）2=b4aC'2a）4a2-a+(扑/4a2>0,当