计算机数学基础一求导方法

1、计算机计算机数学数学2022-4-2911.4 求导方法求导方法 本节内容1.4.1 按定义求导数按定义求导数1.4.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则1.4.3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则1.4.4求导例题求导例题1.4.5 隐函数求导法隐函数求导法 计算机计算机数学数学2022-4-292p例例1-23 求函数求函数f(x)sin x的导数。的导数。 p解解1.4.1 按定义求按定义求导数导数xxxxxfx )sin()sin(lim)(0 xxxxxxcos22sin)2cos(lim0 xxxxx 2sin)2cos(2lim0 计算机计算机数学数学2022-4-293

2、p续解续解 即对于任意即对于任意xR，用类似方法可以得到，对于任意用类似方法可以得到，对于任意xR，1.4.1 按定义求按定义求导数（续一）导数（续一）xxcos)(sin xxsin)(cos 计算机计算机数学数学2022-4-294p例例1-24 求函数求函数f(x)logax(a0, a1)的导的导数。数。 p解解1.4.1 按定义求按定义求导数（续二）导数（续二）xxxxxfaax )(log)(loglim)(0 xxxxaxxxxxax )1ln(limln1)1(loglim00axeaxxxaxxxxln1lnln11lnlimln10 )1ln(limln110 xxxxax

3、x xxxxxfaax )(log)(loglim)(0 计算机计算机数学数学2022-4-295p续解续解 即对任意即对任意x0，p特别地，对任意特别地，对任意x0， 1.4.1 按定义求按定义求导数（续三）导数（续三）axxaln1)(log xx1)(ln 计算机计算机数学数学2022-4-296p定理定理1- 7 设函数设函数uu(x)和和vv(x)在点在点x处都可导，则处都可导，则（1-21）（1-22）（1-23）p注意：注意：1.4.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 vuvu )(vuvuuv )()0)()(2 xvvvuvuvuvuuv )(vuvu )(计算机计算机

4、数学数学2022-4-297p特别地，如果法则（特别地，如果法则（1-22）中）中v(x)c （c是常数），因是常数），因 ，有，有（1-24）p如果法则（如果法则（1-23）中）中u(x)=1，有，有 （1-25） 1.4.2 （续四）（续四）0)( cuccu )(2)1(vvv 计算机计算机数学数学2022-4-298求下列函数的导数求下列函数的导数.例例1:例例2:例例3例例4:5615xxyxyxsin2 215xxyxxylncos计算机计算机数学数学2022-4-299p例例5 求求 的导数。的导数。xxftan)(计算机计算机数学数学2022-4-2910课堂练习课堂练习求下列

5、函数的导数求下列函数的导数53) 1 (2xxy3412)2(xxy222sin)3(xxy计算机计算机数学数学2022-4-2911xxxycossin)4(xaxy22)1 ()5(xxyarcsin)6(3计算机计算机数学数学2022-4-2912思考思考求下列函数的导数求下列函数的导数5)45(xy12tan3xy计算机计算机数学数学2022-4-2913p定理定理1-8 设设yf(u)，ug(x) ，且，且ug(x) 在点在点x处可导，处可导， f(u)在相应的点在相应的点u处可导，处可导，则复合函数则复合函数yfg(x)在点在点x处可导，且处可导，且 （1-26）或写成或写成 （1

6、-27） 1.4.3 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 )()()(xgufxgf dxdududydxdy 计算机计算机数学数学2022-4-2914p显然，复合函数求导法则（显然，复合函数求导法则（1-26）或）或（1-27）可以推广到多个函数复合的情形。）可以推广到多个函数复合的情形。例如，如果例如，如果yf(u)，ug(v) ， vh(x)，满足定理满足定理1-8的条件，则有的条件，则有上式右端按上式右端按y u v x的顺序求导，通的顺序求导，通常称为常称为链式法则链式法则。 1.4.3 （续一）（续一）dxdvdvdududydxdy 计算机计算机数学数学2022-4-2915

7、1.4.3 （续二）（续二）例例1 求求y=sin6x的导数。的导数。 例例2 求函数求函数 的导数。的导数。xxf)(计算机计算机数学数学2022-4-2916p对于幂函数有比较常见的情况对于幂函数有比较常见的情况xx2)(2 233)(xx 21)1(xx 1 xxx21)( 计算机计算机数学数学2022-4-2917练习练习求下列函数的导数：求下列函数的导数：62)74()1( xxyxeytan)2( 1ln)3(2xy计算机计算机数学数学2022-4-2918p(1) (c为常数为常数) (2) p(3) (4) p(5) (6) 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 0 c

8、1)( xxaaaxxln)( xxe)e ( xx1)(ln axxaln1)(log 计算机计算机数学数学2022-4-2919p(7) (8) p(9) (10) p(11) (12) p(13) (14) （续）（续）xxcos)(sin xxsin)(cos xx2sec)(tan xx2csc)(cot 211)(arcsinxx 211)(arccosxx 211)(arctanxx 211)cotarc(xx 计算机计算机数学数学2022-4-2920p 例例1 求下列函数的导数（其中只有求下列函数的导数（其中只有x、t是自变量）：是自变量）：（1）（2）（3）（4）1.4.4

9、 求导例题求导例题 22335xxxxy 32)323()( xxxfttaay )ln(22axxy 计算机计算机数学数学2022-4-2921p（1）p解解p这一类函数的特点是：分母只是的幂函这一类函数的特点是：分母只是的幂函数。对这类函数用负指数最简便，如果数。对这类函数用负指数最简便，如果用函数相除的求导公式（用函数相除的求导公式（3）也可以解，）也可以解，但比较麻烦。但比较麻烦。 1.4.4 求导例题求导例题（续一）（续一） 3221)2(31)35( xxxxxy336xxx 22335xxxxy 计算机计算机数学数学2022-4-2922p（2）p解解p对括号的若干次方这一类函数

10、求导用复对括号的若干次方这一类函数求导用复合函数求导法则最简便，一般不要把括合函数求导法则最简便，一般不要把括号展开。号展开。 1.4.5 求导例题求导例题（续二）（续二） 32)323()( xxxf)323()323(3)(222 xxxxxf)26()323(322 xxx2)323)(13(62 xxx计算机计算机数学数学2022-4-2923p（3）p解解p（4）p解解1.4.4 求导例题求导例题（续三）（续三） ttaay )ln(22axxy aaataaaadtdyttttln)()(lnln )221(1)(22222222axxaxxaxxaxxy 221ax 计算机计算机

11、数学数学2022-4-2924p 例例2 （1） ，求，求 。p 解解1.4.4 求导例题求导例题（续四）（续四） 1111ln xxy)1(y )11ln( )11ln( xxy11)11(11)11( xxxx121)11(1121)11(1 xxxx11)11)(11()11(11121 xxxxxxx221111)1( y计算机计算机数学数学2022-4-2925练习练习求下列各函数的导数求下列各函数的导数53)45()53()1( xxyxxylnln)2( 3)4()3(2 xxyxxycoslntan21)4(2 计算机计算机数学数学2022-4-29261.4.5 隐函数求导法

12、隐函数求导法 p凡是因变量凡是因变量y用自变量用自变量x的表达式表示的的表达式表示的函数函数yf(x)称为称为显函数显函数。前面介绍的求。前面介绍的求导法适用于显函数。但有时两个变量之导法适用于显函数。但有时两个变量之间的函数关系由一个方程间的函数关系由一个方程F(x,y)0确定确定，这种由方程所确定的函数称为，这种由方程所确定的函数称为隐函数隐函数。有些隐函数可以变换为显函数，但也。有些隐函数可以变换为显函数，但也有不能变换为显函数的。对隐函数求导有不能变换为显函数的。对隐函数求导就是把其中的一个变量看成另一个变量就是把其中的一个变量看成另一个变量的函数（虽然并没有用显式表示）。的函数（虽然

13、并没有用显式表示）。 计算机计算机数学数学2022-4-29271.4.4 隐函数求导法隐函数求导法（续一）（续一）p 例例1 求由方程求由方程xyyx80所确定的函所确定的函数的导数。数的导数。p 解解 方法方法1 变换为显函数变换为显函数 ，因此因此（a）p 方法方法2 原方程两边分别对求导（注意：原方程两边分别对求导（注意：y是是x的函数），得的函数），得因此因此 （b）171 xy2)1(7 xy01)( yyxyxyxy11 xyy计算机计算机数学数学2022-4-2928p 例例1-32 用隐函数求导法求函数用隐函数求导法求函数yarcsinx的的导数。导数。p 解解 将将yarc

14、sinx改写成改写成xsiny ，两边对，两边对x求求导，得导，得因为函数因为函数yarcsinx的定义域是的定义域是1,1，值域，值域是是 ，因此，因此cosy0，所以，所以即即 1.4.4 隐函数求导法隐函数求导法（续二）（续二）yy cos12,2 211)(arcsinxx 2211sin11cos1xyyy 计算机计算机数学数学29p 仿此题可以证明仿此题可以证明p 例例2 求椭圆求椭圆 在点在点 处的处的切线方程。切线方程。p 解解 把椭圆方程两边分别对求导，有把椭圆方程两边分别对求导，有从而有从而有 1.4.4 隐函数求导法隐函数求导法（续三）（续三）191622 yx211)(

15、arccosxx )223,22(0928 yyxyxy169 计算机计算机数学数学30p续解续解 将将 代入上式得代入上式得将有关数据代入切线方程（将有关数据代入切线方程（1-20）得）得整理后得整理后得 1.4.4 隐函数求导法隐函数求导法（续四）（续四）223,22 yx43223,22 yxy)22(43223 xy021243 yx计算机计算机数学数学31p续解续解 将将 代入上式得代入上式得将有关数据代入切线方程（将有关数据代入切线方程（1-20）得）得整理后得整理后得 1.4.4 隐函数求导法隐函数求导法（续四）（续四）223,22 yx43223,22 yxy)22(43223

16、 xy021243 yx计算机计算机数学数学32补充：导数的应用补充：导数的应用一、函数单调性的应用一、函数单调性的应用 由导数的几何意义知由导数的几何意义知 （其中（其中a a为曲线为曲线f(x)在点在点x0处的切线与处的切线与x轴正向的夹角）轴正向的夹角）。由图可知由图可知，若，若f(x0)0，则曲线切线的倾角，则曲线切线的倾角a a都都是锐角，函数是锐角，函数f(x)单调递增；单调递增； 若若f(x0)0,则曲线则曲线切线的倾角切线的倾角a a都是钝角，函数都是钝角，函数f(x)单调递减。单调递减。因此，可以利用导数的正负来判断函数的单调因此，可以利用导数的正负来判断函数的单调性。性。a

17、 atan)(0 xf计算机计算机数学数学33Bxyoab)(xfy )(xf A函数单调递增。函数单调递增。的夹角的夹角20 a a 内，切线与内，切线与在在x),(ba轴正方向轴正方向，斜率为正，斜率为正，即即0 计算机计算机数学数学34 a a 2Bxyoab)(xfy A0)( xf函数单调递减。函数单调递减。的夹角的夹角内，切线与内，切线与在在x),(ba轴正方向轴正方向，斜率为负，斜率为负，即即计算机计算机数学数学350cos xy01)(2 xxfxysin 2,2 例例 1 1 判断函数判断函数在在上的单调性。上的单调性。xysin 2,2 所以由定理可知，函数所以由定理可知，

18、函数在在上单调增加。上单调增加。，xxf1)( ，例例2 2 )2,2( 内，内，解解 在在)0 ,( 在在和和内函数单调减少。内函数单调减少。), 0(计算机计算机数学数学36判断函数单调性的一般步骤：判断函数单调性的一般步骤：（1 1）给出函数定义域；）给出函数定义域；（2 2）求一阶导数，用一阶导数的根和一阶导数不存在）求一阶导数，用一阶导数的根和一阶导数不存在的点来划分定义区间；的点来划分定义区间；（3 3）判定一阶导数在每个子区间上的符号。）判定一阶导数在每个子区间上的符号。计算机计算机数学数学37实例实例例例1 讨论讨论 的单调性的单调性解：先求出解：先求出f(x)函数的导数，通过考虑函数的导数，通过考虑导数的正负来判定函数的单调性。导数的正负来判定函数