电力系统分析A-4

1、2022-4- Email地址：时间： 电电力力系系统统分分析析一一李建华 第四章第四章 复杂电力系统潮流的计算机算法复杂电力系统潮流的计算机算法 随着计算机技术的迅速发展和普及，电子计算机已成为分析计算复杂电力系统各种运行情况的主要工具。在本章中将介绍应用计算机计算复杂电力系统潮流的数学模型和计算方法。 本章主要内容： 建立电力网络的网络方程，形成网络的节点导纳矩阵及节点阻抗矩阵。 导出复杂网络的功率方程(潮流方程) 求解潮流方程，得出全网的潮流分布即电压、功率分布。电电力力系系统统分分析析一一李建华 4.1电力网络的数学模型一、电力网的网络方程 要进行复杂系统的潮流计算，不能利用上一章介绍

2、的人工手算潮流的方法，必须借助计算机程序来进行计算，需要建立电力网络的网络方程。 反映系统中电流与电压之间相互关系的数学方程称为网络方程，要得到复杂系统的网络方程，需要对电力网进行数学抽象。下面以三母线系统为例建立三母线系统的电压方程，再推广到任意 n 母线系统。电电力力系系统统分分析析一一李建华 1GS1LS2GS 在该系统中，母线1处接有发电机和地方负荷，发电机向系统送出的功率为 ，负荷从系统中吸收的功率为 ；母线2只接有发电机，发出的功为 ；母线3只接有负荷，吸收的功率为3LS规定由外部向系统注入的功率为节点功率的正方向。 三母线系统电路图 发电机发出的功率为正，负荷吸收的功率为负，而注

3、入节点的净功率为发电机功率与负荷功率的代数和。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 各节点的净注入功率为 111GLSSS22GSS33LSS ijz1ijijyz 将各个线路和变压器用型等值电路表示，并将等值电路中的各个串联阻抗 zij用相应的串联支路导纳表示，则可以得出上图所示的等值电路。 在等值电路中，与节点注入功率相对应的电流称为节点注入电流，它的规定正方向与注入功率相一致。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 对上页中的等值电路进行化简，将接在同一节点上的接地导纳进行并联，得101201302021023030310320330yyyyyyyyyy从而可以得出本页所示的简化等值电路，

4、其中的节点注入功率用节点注入电流表示。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 由图可以列出网络的节点电压方程 11011212131310121311221332202122123231212012232233330313312332131232301323()()()()()()()()()Iy UyUUyUUyyyUy Uy UIy UyUUyUUy UyyyUy UIy UyUUyUUy Uy Uyyy 3U电电力力系系统统分分析析一一李建华 111112132212323231323333IUYYYIYYYUYYYIU上式可以写成下列矩阵形式 其中11101213Yyyy122112YY

5、y 133113YYy 22201223Yyyy233223YYy 33303132Yyyy 这就是三母线系统用节点导纳矩阵形式表示的网络方程。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 由三母线系统得出的结果，不难推广到一般系统。设系统中有 n 个节点，节点导纳矩阵形式表示的网络方程： 1111111111ijniiiijiniijjijjjnjjnninjnnnnYYYYIUYYYYIUYYYYIUYYYYIU可以简写为 IYU为节点注入电流所组成的向量， 为由节点电压所组成的向量, 为网络的节点导纳矩阵，简称导纳矩阵。 IUY1,1,2,niijjjIY Uin电电力力系系统统分分析析一一李建

6、华 二、节点导纳矩阵的物理意义和特点 当在节点上 i 施加单位电压 Ui=0，而其它节点的电压均等于零( Uj =0 ，j=1， ；)时，节点 i和节点 j的注入电流分别为 :ij i(1,2, ;)iiijjiIYIYjn ji 节点i的自导纳实际上是当其它节点的电压都等于零(相当于将节点直接接地)时，节点i的注入电流与其电压之比；而节点 i与节点 j 之间的互导纳为当节点i施加单位电压而其它节点电压都为零时，j节点的注入电流。电电力力系系统统分分析析一一李建华 节点导纳矩阵的组成和特点有： (1) 导纳矩阵为n阶复数方阵 (2) 导纳矩阵中大量的非对角元素为0，矩阵为稀疏矩阵。 (3) 导

7、纳矩阵为对称矩阵， 。jiijYY (4) 导纳矩阵可以根据网络元件参数和结线情况直观的得到。00iiiiijijj ij iiiYyyyijijYyjiji ，,1,2,in电电力力系系统统分分析析一一李建华 用节点阻抗矩阵形式表示的网络方程式 在电力系统计算中，有时需要用到用节点阻抗矩阵形式表示的网络方程 ，当节点导纳矩阵可逆时，将式 的两端分别左乘节点导纳矩阵的逆阵 便可得到用节点阻抗矩阵表示的网络方程 IYU1Y1111111111ijniiiijiniijjijjjnjjnninjnnnnZZZZUIZZZZUIZZZZUIZZZZUI电电力力系系统统分分析析一一李建华 简写为 U

8、= ZI1ZY 称为节点阻抗矩阵。阻抗矩阵中的对角元素Zii称为节点的自阻抗，非对角元素Zij称为节点i和节点j之间的互阻抗。上式也可以展开成 1,1,2,niijjjUZ Iin 节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵表示的n个节点的电力网的网络方程，它们同时反映电力网节点注入电流和节点电压之间的关系，但各有自己的特点和使用场合。节点导纳矩阵用于电力系统的潮流计算中，节点阻抗矩阵主要用于电力系统的短路计算中。电电力力系系统统分分析析一一李建华 节点阻抗矩阵的特点及其元素的物理意义 由式 可以看出，如果在节点i注入单位电流，即 其余节点的注入电流均为零，即 1niijjjUZ IiiZ1iI 0,1,2,

9、 ;jIjnji则有 ,1,2, ;iiijjiUZUZjnji其中的第一式说明阻抗矩阵的对角线元素 在数值上等于节点i注入单位电流，其它节点j与外电路全部断开时，节点i的电压。换言之， 是从节点向网络看进去的对地等值阻抗 iiZ电电力力系系统统分分析析一一李建华 显然，如果忽略所有线路的接地导纳和变压器等值电路中的接地导纳，而且在节点上都没有并联电容器或并联电抗器，则网络中将不含接地支路，在此情况下，各节点的自阻抗都是无穷大，而节点阻抗矩阵将无意义。 第二式说明，阻抗矩阵的非对角线元素 在数值上等于节点i注入单位电流，其它节点j与外电路全部断开时，节点j的电压。 由于在网络中各节点之间都直接

10、或间接地通过不接地支路相连，当节点i注入单位电流，所有节点的电压都不为零。因此，在阻抗矩阵中所有非对角元素 都是非零元素，即阻抗矩阵为满阵。 ijZijZ电电力力系系统统分分析析一一李建华 阻抗矩阵有以下特点： 阻抗矩阵是n阶方阵，且 ，即为对称矩阵 (因导纳矩阵为对称矩阵)。(2) 如果略去网络中的全部接地支路，则阻抗矩阵元素都是无穷大。(3) 阻抗矩阵是满阵，没有零元素。(4) 阻抗矩阵一般不能像导纳矩阵那样，由网络的等值电路及其中的参数直接形成，而是需要采用一些其它的方法，包括直接对导纳矩阵求逆。 ijjiZZ电电力力系系统统分分析析一一李建华 作业：4-10，4-20电电力力系系统统分

11、分析析一一李建华 4.2潮流计算的节点功率方程 用前述方法存在的问题： 在实际电力系统的潮流计算中，已知的运行参数往往是节点的负荷和发电机的功率，而不是它们的电流，因此，在节点电压未知的情况下，节点的注入电流是无法得知的。这样就不能直接用上节介绍的网络方程来进行潮流计算，而必须在网络方程的基础上，将节点注入电流用节点的注入功率来代替，建立起潮流计算用的节点功率方程，再求出各节点的电压，并进而求出整个系统的潮流分布。电电力力系系统统分分析析一一李建华 上节讲的网络方程中电流表达式为 1niijjjIY U若把电流用功率来代替则有： 1niijjjiSY UU1,2, ;in1,2, ;in则功率

12、方程为：1niiijjjSUY U1,2, ;in 网络方程用功率表示之后，成为一组非线性的方程组，没有直接的解析方法，只能用迭代求解方法。电电力力系系统统分分析析一一李建华 为了更好的理解功率方程的意义，先以两母线系统为例，然后推广到n母线系统。 、两母线系统的功率方程节点1的注入功率 111GLSSS 节点2的注入功率222GLSSS电电力力系系统统分分析析一一李建华 采用标么值时： 111SU I222SU I电压采用极坐标形式： 111UU222UU111SIU222SIU线路并联支路为 1202101cyyjx节点的注入电流：111201121211()SIyUUUZU电电力力系系统

13、统分分析析一一李建华 222102211221()SIyUUUZU22201111121()iijjijijijiIY UyyUy UY UY U线路阻抗定义为： 121290ZRjXZ阻抗角： 1tanRX把以上关系代入节点电流方程式有：1111212111()90PjQU jUUXcZU2222112211()90PjQUjUUXcZU电电力力系系统统分分析析一一李建华 把以上公式展开，实虚部分开，得出四个实数方程式211211121212sinsin()0GLUU UPPZZ221222121212sinsin()0GLUU UPPZZ22111211121212coscos()0GLU

14、UU UQQXcZZ22221222121212coscos()0GLUUUUQQXcZZ 以上为两母线系统的功率方程，也称为该系统的潮流方程，为四个实数非线性方程。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 以上方程的物理意义及特点如下： 4个功率方程包含电压的平方和三角函数，是一组非线性的代数方程组。 两个有功方程式相加反映了两母线系统的有功平衡：22121212121212sin2cos()GGLLPPPPUUU UZ2221212122cos()UUUU U222212121212sin()LUURUPRI RZZZZ显然，上式表示的是线路的有功损耗，该式反映了两母线系统的有功平衡。 电电力

15、力系系统统分分析析一一李建华 3把两个无功功率方程相加得222212121212121212cos2cos()GGLLUUQQQQUUUUXcZ222212121212cos()LUXUQUXI XZZZZ方程式左边第三项是线路的充电功率视为无功电源该式反映了两母线系统的无功平衡。 显然，上式表示的是线路的无功损耗。4从以上各式可以看出，当系统网络参数已知时 ,LLPQ仅仅是电压变量的函数。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 111212(,)LPf U U 121212(,)LQf U U 当两母线系统中电压相量不确定时，系统的有功和无功损耗也就不能确定。在非线性方程式的迭代过程中，只要迭

16、代没有收敛，系统的功率损耗就不确定。5 两母线系统中有12个变量（或用注入功率表示有8个变量），但只有4个方程必须根据系统的实际情况，给定4个值，使未知数减少到4个，该非线性方程组才有解。 从理论上讲任意给定四个变量，由方程解出其他四个变量，但给定的变量必须符合电力系统的实际，才能使求出的解有意义。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 母线1上的变量： 1111111111,GGLLPQPQUP Q U2222222222,GGLLPQPQUP Q U母线2上的变量： 二、两母线系统运行变量分类二、两母线系统运行变量分类各母线上的负荷： 完全取决于用户是不可 控变量，也称为扰动变量，从系统的实

17、 际来看一般情况下负荷都是已知值，在 潮流运算时作为原始数据输入。 1122,LLLLPQPQ母线上的发电功率： 可由运行管理人员根据需要调节，是可控变量，称为控制变量。为了系统的功率平衡，在迭代过程中因系统的功率损耗没有确定，则可控变量不能全部给定，1122,GGGGPQPQ电电力力系系统统分分析析一一李建华 各母线的电压和相角： 随系统运行状态的 变化而变化 的，称之为状态变 量，这四个状态变量一旦确定， 系统的运行状态就确定。 1212,U U 从两母线系统的情况来看：1122,LLLLPQPQ：扰动变量是已知的。 1122,GGGGPQPQ：虽然是可控的但由于 在计算之前是未知的则这四

18、个变量不能均为已知的，系统的有功，无功均要满足： ,LLPQ2221110GiLiLiiiPPP2221110GiLiLiiiQQQ电电力力系系统统分分析析一一李建华 111212121212(,)(,)LLPf U UQf U U 是系统的状态变量的函数。为满足功率平衡方程，则发电机的有功，无功不能都给定。假设已知 求 。 22,GGPQ11,GGPQ在四个方程中均有 的变量，满足方程 12()12()变量有无数组解，为使方程有确定的解，全系统必须有一个参考角度。一般选参考点 电压幅值标么值 该节点称为系统的平衡节点，而且选在 未知的母线上。 01U11,GGPQ经过以上分析12个变量中已知

19、： 11222211,LLLLGGP Q P QP Q U未知： 2211,GGUPQ。由四个方程可解出四个未知量。电电力力系系统统分分析析一一李建华 三、复杂系统的潮流计算功率方程及约束条件1电压用极坐标形式表示的节点功率方程 iIiSiU对于具有个节点的电力系统，节点i的注入电流与节点注入功率及节点电压之间的关系为*iiiiiSPjQU I12,in， ，考虑到1,niijjjIY U有*ijjiiij iPjQUY U12,in， ，以上介绍的两母线系统虽然比较简单，但是它具备了复杂系统的重要特征。对理解复杂系统功率方程及平衡点的意义有益。电电力力系系统统分分析析一一李建华 将电压相量表

20、示成极坐标的形式 ijiiUU e12,in， ，将导纳矩阵中的元素用相应的电导和电纳表示为ijijijjBGY12,ijn， ，则有() jijjiiiiji jjj iPjQU eGjBU e12,in， ，考虑到以下关系： cossinjej电电力力系系统统分分析析一一李建华 ()(cossin ) iiijijijijijj iPjQUU GjB + j节点功率方程变为ijij为节点i和节点电压的相位差。 GiGiGiSPjQLiLiLiSPjQ设节点上发电机发出的功率为负荷吸收的功率为则节点的净注入功率为()()iiGiLiGiLiPjQPPj QQ将上式代入功率方程并分开实部和虚部

21、后，得 (cossin)(sincos)GiLiijijijijijj iGiLiijijijijijj iPPUUGBQQUUGB12,in， ，电电力力系系统统分分析析一一李建华 上式就是当电压用极坐标形式表示时的节点功率平衡方程式，简称功率方程式，它包含2n个实数方程。 求解潮流方程就是在己知 和 及网络参数的情况下，寻求一组电压向量 ，以满足以上功率平衡方程。 可见，节点注入功率与节点电压相量之间呈非线性关系，而为要求得各个节点的电压相量，需要联立求解这组非线性代数方程。 GiLiPPGiLiQQiiU和电电力力系系统统分分析析一一李建华 电压用直角坐标形式表示的节点功率方程 如果将节

22、点电压相量用实部和虚部表示为iiiUejf1,2,in可以得出直角坐标形式下的节点功率方程 ()()()()GiLiiijjijjiijjijjj ij iGiLiiijjijjiijjijjj ij iPPeG eB ffG fB eQQfG eB feG fB e222iiiUef12,in， ，极坐标形式的功率方程和直角坐标形式的功率方程，由于其函数形式不同，它们有各自的特点和应用场合。电电力力系系统统分分析析一一李建华 潮流计算中节点的分类潮流计算中节点的分类在潮流计算中，给定的量应该是负荷吸收的功率，发电机发出的功率或者发电机的电压和具有电压调整能力的变电所母线电压。这样，按照给定量

23、种类的不同，可以将节点分为以下三类： (1) PQ节点。给定节点的注入有功功率P和注入无功功率Q，这类节点对应于实际系统中的纯负荷节点(如变电所母线)、有功和无功出力都给定的发电机节点(包括节点上带有负荷)，以及联络节点(注入有功和无功功率都等于零)。这类节点占系统中的绝大多数，它们的节点电压有效值和相位未知。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 (2) PV节点。给定节点的注入有功功率P和节点电压U有效值，待求量是节点的注入无功功率Q和电压的相位 。这类节点通常为发电机节点，其有功出力给定而且具有比较大的无功容量，它们能依靠自动电压调节器的作用使母线电压保持为给定值。有时将一些装有无功补偿设

24、备的变电站母线也处理为PV节点。 （3）平衡节点。在潮流计算中，必须设置一个平衡节点，其电压有效值为给定值，电压相位为=0 ，即系统其它各节点的电压相位都以它为参考；而其注入的有功功率和无功功率都是待求量。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 实际上，由于所有的PQ节点和PV节点的注入有功功率都已经给定，而网络中的总有功功率损耗是未知的，因此平衡节点的注入有功功率必须平衡全系统的有功功率和有功损耗而不能加以给定，这也是为什么称它为平衡节点的原因。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 4.3潮流计算的牛顿拉夫逊方法 从前面的介绍中，已经知道电力系统的潮流计算需要求解一组非线性代数方程。目前求解非

25、线性代数方程一般采用的是迭代方法,而应用电子数字计算机进行迭代计算可以得到非常精确的结果。先通过高斯-赛德尔方法建立迭代思想，再介绍牛顿-拉夫逊迭代方法。一、高斯及高斯-赛德尔迭代方法 1高斯法设有方程组：11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xya xa xa xya xa xa xy电电力力系系统统分分析析一一李建华 改写为如下方程组：11122133112221 1233223331 1322331()1()1()xya xa xaxya xa xaxya xa xa(0)(0)(0)123,xxx(1)(1)(1)123,xxx给 初始值，利

26、用上式可得写为迭代式：(1)( )( )1112213311(1)( )( )2221 123322(1)( )( )3331 1322331()1()1()kkkkkkkkkxya xa xaxya xa xaxya xa xa电电力力系系统统分分析析一一李建华 收敛判据为(1)( )maxkkiixx为任意小的正数。2高斯-赛德尔法 高斯塞德尔法潮流计算其中k为迭代次数，即把第k次迭代得到的结果立刻代入等式右边，求取第k+1 次的结果，然后再代入右边，求取下次迭代的结果，直到所有节点电压的前一次迭代值与后一次迭代值向量差的模小于给定的允许误差，然后求取平衡节点注入功率，利用电路基本原理求取

27、支路功率和支路功率损耗电电力力系系统统分分析析一一李建华 (1)( )( )1112213311(1)(1)( )2221 123322(1)(1)(1)3331 1322331()1()1()kkkkkkkkkxya xa xaxya xa xaxya xa xan维方程的一般式：三维方程的迭代式1112221212( ,)( ,)( ,)nnnnnxf x xxxfx xxxfx xx电电力力系系统统分分析析一一李建华 写为迭代式：(1)( )( )( )1112(1)(1)( )( )2212(1)(1)(1)(1)( )( )121221(1)(1)(1)(1)( )121(,)(,)

28、(,)(,)kkkknkkkknkkkkkknnnnkkkkknnnnxf xxxxf xxxxf xxxxxxf xxxx潮流方程*11*11(1)(1)( )*111()1,2,1nniiijjiiiijjjjiiniiiijjjiiiiinkkkiiiijjijjkjj iiiiPQy Uy Uy UUPQUy UinyUPjQUy Uy UyU 收敛判据同上。电电力力系系统统分分析析一一李建华 二、二、 牛顿牛顿拉夫逊法的原理和一般方法拉夫逊法的原理和一般方法 牛顿拉夫逊(Newton-Raphson)法，简称牛顿法，是求解非线性代数方程的一种有效且收敛速度快的迭代计算方法。下面先从一

29、维非线性方程式的求解来阐明它的原理和计算过程，然后推广到高维的情况。1一维非线性代数方程( )0f x (*)( )( )kkxxx设其准确解为 而 为其近似解，它与准确解之间的差为 ，有 (*)x( )kx( )kx电电力力系系统统分分析析一一李建华 ( )( )()0kkf xx在 处展开为泰勒级数，得 ( )kx( )2( )( )( )( )( )( )( )( )( )()()()()()2!()()0!kkkkkkkknnkxf xxf xfxxfxxfxn若 距离真解不远，则 比较小，略去泰勒级数展开式中的平方及以上各项，而只取其线性部分，得 (0)x(0)x( )( )( )(

30、)()0kkkf xfxx电电力力系系统统分分析析一一李建华 ( )kx(1)kx这一方程称为修正方程，利用它可以解出 1( )( )( )()()kkkxfxf x ( )kx称为修正量，可以对 进行修正，这样，使 ( )( )kkxx比( )kx更接近于准确解。 于是，可以重复进行上述过程，直至得到足够准确的解为止。 迭代收敛的判据 ( )()kf x为由收敛精度决定的任意小得正整数。电电力力系系统统分分析析一一李建华 有时在求解过程中永远得不出所需要的精度，甚至迭代过程中得到的解离准确解愈来愈远，这种情况称为迭代不收敛或迭代发散。 上述迭代过程可以整理成以下迭代格式：1( )( )( )

31、(1)( )( )()()kkkkkkxfxf xxxx 0 1 2k ， ，电电力力系系统统分分析析一一李建华 牛顿法的几何解释 迭代收敛迭代不收敛电电力力系系统统分分析析一一李建华 由于非线性代数方程式可能有多个解，因此要得出不同的解需要给定不同的初值。要想得到某个希望的解，应该给定一个距离这一解较近的初值。因此，初值的给定对于牛顿法来说是十分重要的，迭代过程之所以不收敛，是因为所给定的初值离解点太远。n维非线性代数方程组 11221212( ,)0( ,)0( ,)0nnnnf x xxfx xxfx xx 电电力力系系统统分分析析一一李建华 假定变量的初始值给定为 (0)(0)(0)1

32、2nxxx， ，并设 (0)(0)(0)12nxxx， ，分别为各变量的修正值，则有 (0)(0)(0)(0)(0)(0)11122(0)(0)(0)(0)(0)(0)21122(0)(0)(0)(0)(0)(0)1122(,)0(,)0(,)0nnnnnnnf xxxxxxfxxxxxxfxxxxxx 将上式在初始值附近展开成泰勒级数，并略去修正量的二次及以上的高次方项，得电电力力系系统统分分析析一一李建华 (0)(0)(0)(0)(0)(0)1111121212000(0)(0)(0)(0)(0)(0)2222121212000(0)(0)(0)(0)(012121200(,)()0(,)

33、()0(,)(nnnnnnnnnnffff xxxxxxxxxffffxxxxxxxxxfffxxxxxxx)(0)0)0nnnfxx其中 0ijfx为函数 12( ,)inf x xx对自变量 jx的偏导数在 (0)(0)(0)12(,)nxxx处的取值。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 表示成矩阵形式，得 11112000(0)(0)(0)(0)1121222(0)(0)(0)(0)212212000(0(0)(0)(0)1212000(,)(,)(,)nnnnnnnnnnnfffxxxf xxxxffffxxxxxxxxfxxxfffxxx )若用向量 (0)(0)、xxx分别表示由

34、变量、变量的初值和修正量所组成的向量，得电电力力系系统统分分析析一一李建华 (0)(0)(0)() f xJx称为修正方程式。 式中右端的系数矩阵称为非线性方程式的雅可比矩阵。显然，上式为线性方程组，从中可以解出 的值，接着便可以计算出经修正后的 值 (0)(0)(0)12nxxx， ，x(1)(0)(0)111(1)(0)(0)222(1)(0)(0)nnnxxxxxxxxx然后，以 作为新的初值，重新形成并求解新的修正方程式，便可以解出新的修正量 (1)(1)(1)12nxxx， ，(1)(1)(1)12nxxx， ，依此类推。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 多维非线性代数方程的牛顿

35、法迭代格式为 ( )( )1( )0(1)( )( )()0,1,2,;kkkkkkkx（ ）给定xJf xxxx迭代的收敛判据通常采用( )max()kiifx其中 ( )max()kiif x表示向量 ( )()kf x中各分量绝对值最大者。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 二、极坐标形式的牛顿二、极坐标形式的牛顿拉夫逊潮流算法拉夫逊潮流算法1修正方程式及其求解设系统中有 n个节点，其中有 m个PQ节点，而除了PQ节点和一个平衡节点以外，其余的都是PV节点，显然PV节点的数目为 ，节点的编号如下1nmPQ节点 m 个1，2，m PV节点 1nm个m+1，m+2，n-1 平衡节点 1个n

36、 牛顿法的核心问题是修正方程式的建立和求解，首先对网络中各类节点的编号作如下约定：电电力力系系统统分分析析一一李建华 PQ节点的功率方程式 (cossin)(sincos)GiLiijijijijijj iGiLiijijijijijj iPPUUGBQQUUGB12,im， ，其中，PGi、PLi、QGi和QLi (1,2,)im都是给定值， 而Ui和 i(1,2,)im都待求。 PV节点的功率方程式(cossin),1,1(sincos)GiLiijijijijijj iGiLiijijijijijj iPPUUGBimnQQUUGB其中，PGi、PLii和Ui (1,1)imn都是给定值

37、，而(QGi-QLi)和 i(1,1)imn都待求。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 平衡节点的功率方程式(cossin),(sincos)GiLiijijijijijj iGiLiijijijijijj iPPUUGBinQQUUGB其中，Un和 n为给定值，且一般取为 0n，即以平衡节点的电压相位作为参考，而(PGi-PLi)和(QGi-QLi)为待求量。 可见在有n 节点的系统，理论上有2n个功率约束方程式，利用功率方程求解，实际上是给定末知量的初值，形成修正方程式，对末知量不断求解最终满足以上的功率方程。但在实际求解时根据不同类型的节点己知量不同，以上有些功率方程起不到的束的作用，

38、如PV节点的无功方程，Q是待求量。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 综合以上三类节点的功率方程式，可以看出，在极坐标形式的潮流计算中需要求解的非线形方程组为(cossin),1,2,1(sincos),1,2,GiLiijijijijijj iGiLiijijijijijj iPPUUGBinQQUUGBim它包含n-1个有功功率方程和m个无功功率方程，总共n+m-1个。其中1,2,11,2,GiLiGiLiPPinQQimn+m-1都是给定值；1,2,11,2,iiinUim 而n+m-1个未知量 电电力力系系统统分分析析一一李建华 于是，潮流计算问题便转化为求解以上非线性方程式的问题，

39、求出其中的n+m-1个未知量，即PQ节点和PV节点的电压相位和PQ节点的电压有效值。它们和给定的平衡节点电压相位、PV节点和平衡节点给定的电压有效值一起，便是系统中全部n个节点的电压相位和电压有效值。 然后，将这些节点电压相位和有效值代入PV节点中的无功功率方程式，便可以得出各个PV节点的注入无功功率，而代入平衡节点的有功和无功功率方程式便可以得出平衡节点的注入有功功率和注入无功功率。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 将待求的电压相位和有效值写成向量形式 12112TnTmUUU， ，U组成全部变量 xU 将功率方程改写成功率误差方程 ( )(cossin)012( )(sincos)01

40、2iGiLiijijijijijj iiGiLiijijijijijj iPPPUU GBinQQQUU GBim， ， -1， ，xx 求解这组潮流方程就是在己知 、 和网络参数的情况下，寻求一组电压向量，使 、 。 iP0QPiQ电电力力系系统统分分析析一一李建华 得出修正方程式(略去表示迭代次数的上标k)为 111121,111121,221222,121222,1,11,21,11,11,21,1111212( )( )( )( )( )( )nmnmnnnnnnnmnmPHHHNNNPHHHNNNHHHNNNPMMQQQ xxxxxx1211,111121,1121222,12122

41、2,22,1,2,1,1,2,nnmnmmmmnmmmmmmMLLLU UMMMLLLU UMMMLLLU U在上式中采用了 iiU U来代替变量 iU的修正量 iU目的是为了使雅可比矩阵中各元素的计算式在形式上一致，以便简化雅可比矩阵元素的计算。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 根据功率误差方程可求出雅可比矩阵中的各元素如下： (1) 雅可比矩阵中的非对角元素(ji)(sincos)(cossin)(cossin)(sincos)iijijijijijijjiijjijijijijijjiijijijijijijjiijjijijijijijjPHU UGBPNUU UGBUQMU UG

42、BQLUU UGBU 并有以下关系ijijijijHLNM 电电力力系系统统分分析析一一李建华 (2) 对于各分块矩阵的对角元素(ji)有2222(sincos)()(cossin)2()(cossin)()iiiijijijijijiiiGiLij iij iiiiiijijijijijiiij iij iiiiGiLiiiiijijijijijiiiGiLij iij iiiPHUUGBU BQQPNUUUGBU GUU GPPQMUUGBU GPPL 22(sincos)2()iiijijijijijiiij iij iiiiGiLiQUUUGBU BUU BQQ 电电力力系系统统分分析

43、析一一李建华 修正方程式可以简写成( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )kkkkkkkkkkk PHNJMLUQU其中( )( )( )( )( )( )( )1122/TkkkkkkkmmUUUUUU U对修正方程式进行求解后，可以得出修正量 ( )k和 ( )kU，从而可以得出 ( +1)( )( )( )( +1)( )( )( )11kkkiiikkkkiiiikiinUUUUimU，2， ， -1，2， ，电电力力系系统统分分析析一一李建华 以上各式组成了牛顿法潮流计算的迭代式。形成雅可比矩阵和求解修正方程式是牛顿法潮流计算中的关键。 修正方程式有以下特点

44、： (1) 雅可比矩阵的阶数为 。 1nm(2) 如果节点i和节点j之间的互导纳 0ijijijYGjB，则雅可比矩阵各子阵H、N、M和L中相应元素也等于零，因此雅可比矩阵也是稀疏矩阵。 (3) 雅可比矩阵中的两个对角子矩阵H、和L是不对称 的，因为 jjiijijiPQPQUU，电电力力系系统统分分析析一一李建华 (4) 雅可比矩阵中各元素都是节点电压有效值和相位的函数，因此在整个迭代过程中，所有元素都将随着节点电压相量的逐次修正而不断变化。因此，每次迭代要重新计算雅可比矩阵中的各个元素，从而增加了计算工作量，这是影响牛顿法潮流计算速度最重要的因素。牛顿法潮流计算的收敛判据一般取 ( )(

45、)kkiiiimaxPmaxQ且 为节点功率不平衡量(或称失配量)的容许误差，其取值范围为10-310-7。 电电力力系系统统分分析析一一李建华 在实际潮流计算中，平衡节点的编号并不一定需要放在最后，而PV节点的编号也不一定在PQ节点之后，而且在系统中可以没有PV节点。 迭代求解得出各节点的电压和相位后，便可以求出平衡节点的注入有功功率和注入无功功率，以及PV节点的注入无功功率 。 2.初值的给定 变量的初值给定对于牛顿迭代法的收敛性和所得到的解有非常大的影响。在电力系统潮流计算中，各个节点电压相位的初值 一般给定为0，即与平衡节点电压的相位相同。对于各个PQ节点电压有效值初值，通常给定为1(

46、相当于额定电压)。 (0)(1,2,1)iin电电力力系系统统分分析析一一李建华 3.元件通过功率的计算 潮流计算收敛以后，还需要计算各个线路和变压器元件中通过的功率和电流。可以用它们的型等值电路来计算其两端所通过的功率。 *20*20ijijiiijijjijijjjiijSUyU UUySUyU UUy（）（）元件两端的电流分别为*/ijiijjijjiISUISU元件中的功率损耗为ijijjiSSS电电力力系系统统分分析析一一李建华 4. 牛顿法潮流计算程序框图电电力力系系统统分分析析一一李建华 三、直角坐标形式的牛顿三、直角坐标形式的牛顿拉夫逊潮流算法拉夫逊潮流算法仍假定1，2，m为P

47、Q节点，m+1，n-1为PV节点，平衡节点编号为n，则功率和电压平衡方程为()()0121()()012iGiLiiijjijjiijjijjj ij iiGiLiiijjijjiijjijjj ij iPPPeG eB ffG fB einQQQfG eB feG fB eim ， ， ，2222()0iSiiiUUef12,1immn，其中， SiU为PV节点i的电压给定值，平衡节点的电压为 。0nnef给定值，电电力力系系统统分分析析一一李建华 修正方程式为1111111,11,11, 11, 111111111,11,11, 11, 1111,1,1, 1,121121mmmmnnmm

48、mmnnmmmmmmmmmmmnmnmmmmnnHNHNHNHNPMLMLMLMLQHNHNHNHNPQPUPU 111,1,1, 1, 1111,1,1,1,11,11, 11, 1111,11,1,1,11,11, 11, 111111,mmmmmmmmmmmnmnmmmmmmmmmmmmnmnmmmmmmmmmmmnmnnnnmMLMLMLMLHNHNHNHNRSRSRSRSHNH，11111,1,11,11, 11, 1111111,1,1,11,11, 11, 11mmmmnmnmnmnnnnnnnnmnmnmnmnnnnnfefefeNHNHNfRSRSRSRSe ，电电力力系系统

49、统分分析析一一李建华 雅可比矩阵各元素为：2200iijijiijijiijijiijijiijijiijiijjiijijiijiijjiijjiijjPHB eG ffPNG eB feQMB fG eNfjiQLG fB eHeURfUSe 电电力力系系统统分分析析一一李建华 1112()2()2()j niiiii iiiiii iijjijjii iiiiijij ij niiiiiiii iiiijjijjii iiiiijij iiiiiiiii iii iijjijjii iiiiijiPHB eG fB eG fB eB eG fbfPNB fG eB fG eB fG eB

50、 faeQMB fG eG eG eB fG eB faf1222()22j nj ij niiiii iiiiiiiijjijjii iiiiijij iiiiiiiiiiiQLB eG fG fG fB eB eG fbeURffUSee对角元素为电电力力系系统统分分析析一一李建华 *1111()()()()innjijijijjjjjnnijjijjijjijjjjiiIY UGjBejfG eB fjG fB eajb其中，ai和bi分别为节点i注入电流的实部和虚部。即 四、潮流计的约束条件四、潮流计的约束条件minmaxminmaxminmaxmaxGiGiGiGiGiGiiiiij

51、ijPPPQQQUUU电电力力系系统统分分析析一一李建华 10.21/kmr 10.4/kmx 612.85 10 S/kmb线路长度分别为l1=150km，l2=100km，l3=75km。变压器容量为63000kVA，额定电压为110/38.5kV，短路电压百分数 在-2.5%分接头上运行。电容器额定容量为5MVA。取 ， 。%10.5KU100MVABS BNUU例题例题 图示系统线路额定电压为110kV，各元件参数为取节点4为平衡节点，节点3为PV节点，节点1为联络节点，节点2为PQ节点。试用极坐标形式的牛顿-拉夫逊法计算系统的潮流分布。LGJ-120电电力力系系统统分分析析一一李建华

52、 电电力力系系统统分分析析一一李建华 线路参数的标幺值为 112233/ 2/ 2/ 20.2603+ 0.4959,0.0259,0.1736+ 0.3306,0.0172,0.1302+ 0.2479,0.0129llllllzyjzyjzyjjjj。变压器参数的标幺值为2210.5 1101000.166710063110TX38.5 351.1282110(10.025) 110k 0.1880TZkZj110.6818TkYjkZ 2210.6044TkYjk Z电容器导纳的标幺值为2205/1000.05yjj1. 计算导纳矩阵。电电力力系系统统分分析析一一李建华 各串联支路的导纳

53、为4310.83001.58090.26030.4959yjj1311.66003.16190.13020.2479yjj4111.24502.37140.17360.3306yjj1215.31820.1880yjj 电电力力系系统统分分析析一一李建华 等值电路如图 电电力力系系统统分分析析一一李建华 22220210210.050.60445.31820.00004.6638Yyyyjjjj111401301201413120.01720.01290.68181.24502.37141.66003.16195.31822.905011.5031Yyyyyyyjjjjjjj444304104

54、3410.02590.01720.83001.5809 1.24502.37142.07503.9092Yyyyyjjjjj3334031034310.02590.0129 0.83001.5809 1.66003.16192.49004.7040Yyyyyjjjjj互导纳为4334430.83001.5890YYyj 4114411.24502.3714YYyj 3113311.66003.1619YYyj 1221215.3182YYyj 42240YY32230YY电电力力系系统统分分析析一一李建华 最终形成的节点导纳矩阵为2.9049- 11.50300.00005.3182-1.66003.1619-1.24502.37140.00005.31820.0000-