第2讲逻辑函数的化简

1、第一章第一章 开关理论基础开关理论基础第第2 2讲讲数子逻辑与数字系统数子逻辑与数字系统上节主要内容回顾上节主要内容回顾逻辑代数的基本运算：与或非及电路逻辑代数的基本运算：与或非及电路符号符号用真值表和逻辑函数描述逻辑电路用真值表和逻辑函数描述逻辑电路根据真值表写出原始的逻辑函数表达根据真值表写出原始的逻辑函数表达式式本讲主要内容本讲主要内容布尔代数的基本公式和定布尔代数的基本公式和定律律逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简用真值表证明分配律：用真值表证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A+BC=(A+B)(A+C)两个变量的摩根定律的真值表证

2、明：两个变量的摩根定律的真值表证明：基本定律的证明基本定律的证明吸收律证明： A+AB=A(1+B)=A(因为1+B=1) 1()(_AABABAAABAA因为根据分配律根据分配律A+BC=(A+B)(A+C)多余项定律证明如下：多余项定律证明如下：CAABBCACABBCAABCCAABAABCCAABBCCAAB_)1 ()1 ()(多余项定律可推广为多余项定律可推广为CAABEFGBCCAABBCBCEFGBCCAABBCEFGCAABCAABBCEFGCAAB_)1 ()(加多余项基本规则基本规则 1、代入规则：、代入规则： 逻辑等式等式中的任何变量A， 都可用另一逻辑函数Z代替，等式

3、仍然成立。例例 1 证明_CBACBACBA_CBACBA解解_BABA这是两变量的摩根定律， 若将等式两边的B用B+C代入便得到这样就得到三变量的摩根定律。同理可将摩根定律推广到n变量nnnnAAAAAAAAAAAA_2_1_21_2_1_21 2. 对偶法则对偶法则 对于任何一个逻辑表达式F， 如果将其中的“+”换成“”， “”换成“+”， “”换成“0”， “0”换成“1”，则可得原函数F的对偶式G， 且F和G互为对偶式。对偶法则：对偶法则：原式F成立，则其对偶式也一定成立。 CAAB_其对偶式为：其对偶式为：)()(_CABA如不加括号，就变成如不加括号，就变成CABA_是错误的。是错

4、误的。 注意：注意：在求对偶式时，要保持原式的逻辑优先关系，在求对偶式时，要保持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号。应正确使用括号。 “异或异或”逻辑和逻辑和“同或同或”逻辑逻辑互为对偶式_BABABAFBABABAF_3. 反演法则用途：由原函数求反函数，称为反演或求反。用途：由原函数求反函数，称为反演或求反。方法：方法：利用摩根定律利用摩根定律利用反演法则利用反演法则例例 ：求的反函数_F解解1 用摩根定律求_EDCBAF_EDCBAF利用反演法则反演法则求反：将原函数F中的“”换成“+”, “+”换成“”； “0”换成“1”， “1”换成“0”； 原变量换成反变量， 反变量换成原变量，

5、长非号即两个或两个以上变量的非号不变， 即可得反函数。如上例_EDCBAFEDCBAF_注意，与求对偶式一样，为了保持原函数逻辑优先顺序，应合理加括号，否则出错。公式的应用：公式的应用：逻辑函数的形式转换逻辑函数的形式转换用选定的逻辑器件实现用选定的逻辑器件实现逻辑函数的化简：逻辑函数的化简：实现单路简单，降低成本和系统的复杂性实现单路简单，降低成本和系统的复杂性例例 ：将函数与或表达式：将函数与或表达式 转换为其转换为其它形式。它形式。解：解： （1）转换为）转换为 与非与非-与非式。与非式。 将与或式两次取反，利用摩根定律可得将与或式两次取反，利用摩根定律可得CAABF_这样就可以全部使用

6、与非门实现这样就可以全部使用与非门实现CAABCAABF_（详见第（详见第2章）章）代数法化简代数法化简1 1、并项法、并项法2 2、吸收法、吸收法3 3、应用多余项定律、应用多余项定律4 4、 拆项法拆项法5 5、 添项法添项法例例 ：_CBACBAF解解 令 则GBA_BAGCGGCF1、并项法：利、并项法：利利用利用A +A=1的公式，将两项的公式，将两项合并为一项，消去一个变量合并为一项，消去一个变量用用1、并项法：、并项法：利利利用利用A +A=1的公式，将两项的公式，将两项合并为一项，消去一个变量合并为一项，消去一个变量用用DA原式DCBACDABF_例例 ：解解例例 ：_CBAC

7、BAF解解 令 则GBA_BAGCGGCF2、 吸收法：吸收法：应用以下定律应用以下定律)(_BABAAAABA 例例 ：CDBAABBF_ABABB_原式例例 ：)(_FEDCABCAF解解 令GCA_)(CAGFEGBDGF例例 13CDBAABCDBABAF_解解CDBABABABACDBAABBABA)()(_原式令则,_GBABACDBABACDGCDGGF_3、应用多余项定、应用多余项定律律)(_CAABBCCAAB例例 ：BCDECDAABF_解解CDAAB_原式例例 ：BDDCACABF)(_解解DCACABBDDCACAB_原式例例。_CBDBDAACF解解DCBACABDC

8、BACABDABCBACDBACBAC_)(原式综合例子综合例子化简DEGHEGBACEGBDCAABDAADF_解解EGBBDCADEGHEGBBDCADEGHEGBBDCAADEGHEGBACEGBDCAABA_原式)(_ABAAB)(AABA)(多余项定律)(_BABAA4、 拆项法拆项法例例。BACBCBBAF_拆项法就是用 去乘某一项，将一项拆成两项，再利用公式与别的项合并达到化简的目的。化简过程如下：)(_xx _)()(CBCABACBABCACBACBACBBACCBAAACBCBBA原式_)()(CBCABACBABCACBACBACBBACCBAAACBCBBA原式在函数中

9、加入零项因子 ，利用加进的新项，进一步化简函数。 例 解解)(_ABfxxxx或。_ABABCCABF_)(ABCABABCABCABABABCCABABABABCCABABAB原式5、 添项法添项法【例13】 ：有原始逻辑函数表达式为 要求：(1)画出原始逻辑表达式的逻辑图；(2)用布尔代数简化逻辑表达式； (3)画出简化逻辑表达式的逻辑图。化简：化简：【例15】设计一个逻辑电路，当三个输入A,B,C中至少有两个为低时，该电路则输出为高。 要求：(1)建立真值表； (2)从真值表写出布尔表达式； (3)如果可能，简化表达式； (4)画出逻辑电路图。 解解 (1)由于有三个变量，真值表有8种输

10、入组合。代数法化简存在的问题代数法化简存在的问题经验和技巧？是否最简？1.51.5卡卡 诺诺 图图 1 1、什么是最小项？、什么是最小项？对于一个给定变量数目的逻辑函数，对于一个给定变量数目的逻辑函数， 所有所有变量参加相变量参加相“与与”的项叫做最小项。的项叫做最小项。 在一在一个最小项中，个最小项中， 每个变量只能以原变量或反每个变量只能以原变量或反变量出现一次。变量出现一次。最小项 的个数：n个变量所有可能的组合最小项的特点最小项的编号三个变量ABC有八个最小项：,)2(_3CBABCACBACBACBA。ABCCABCBA,_ 以此类推，四个变量ABCD共有24=16个最小项，n变量共

11、有2n个最小项。为方便起见，将最小项表示为mi例如： 一个变量A有二个最小项： 二个变量AB有四个最小项：。_1,)2(AA。ABBABABA,)2(_2ABCmBCAmCBAmCBAmCABmCBAmCBAmCBAm76543210三变量最小项的编号三变量最小项的编号2 2、逻辑函数的标准式、逻辑函数的标准式最小项标准式最小项标准式全是由最小项组成的“与或”式叫做最小项标准式(不一定由全部最小项组成)。由一般式获得最小项标准式由一般式获得最小项标准式一般式采用添项法一般式采用添项法， 例如_CABCCBAF由上式可看出，第二项缺少变量A，第三项缺少变量B， 我们可以分别用 和 乘第二项和第三

12、项， 其逻辑功能不变。)(_AA)(_BB _)()(CBACABBCAABCCBABBCAAABCCBAF4、卡诺图的结构、卡诺图的结构逻辑函数的图形表示逻辑函数的图形表示卡诺图上每一个小方格代表一个最小项。卡诺图上每一个小方格代表一个最小项。 保证相邻关系，即图上几何相邻的项逻辑上相邻。保证相邻关系，即图上几何相邻的项逻辑上相邻。因此每相邻方格的变量组合之间只允许一个变量取因此每相邻方格的变量组合之间只允许一个变量取值不同。为此，卡诺图的变量标注均采用循环码顺值不同。为此，卡诺图的变量标注均采用循环码顺序排列。序排列。 一变量卡诺图：有21=2个最小项，因此有两个方格。外标的0表示取A的反

13、变量，1表示取A的原变量。ABABABABm0m2m1m3AB0101AAm0m1A01(a)(b)(c)(d )(e)ABCABCABCABCABCABCABCABCm0m2m6m4m1m3m7m5ABC0001111001aaABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDm0m4m12m8m1m5m13m9m3m7m15m11m2m6m14m10ABCD0001111000101110baabABCDE00000101101011011110110000011110m0m4m12m8m24m28m20m16m

14、1m5m13m9m25m29m21m17m3m7m15m11m27m31m23m19m2m6m14m10m26m30m22m18pp15变量的卡诺图4 4、卡诺图上的有用组合、卡诺图上的有用组合观察卡诺图上相邻项的特点：只有一个变量取之不同两项、四项、八项相加？相邻最小项合并规律相邻最小项合并规律 (1) 两相邻项可合并为一项， 消去一个取值不同的变量，保留相同变量； (2) 四相邻项可合并为一项， 消去两个取值不同的变量， 保留相同变量， 标注为1原变量，0反变量； (3) 八相邻项可合并为一项，消去三个取值不同的变量，保留相同变量，标注与变量关系同上。合并的规律是2n个最小项的相邻项可合并

15、1111ABCD0001111000011110ABDACD(a)11111111ABCD0001111000011110BDCD(b)11111111ABCD0001111000011110BDBD11111111ABCD0001111000011110B(c)(d )图 1 8 相邻最小项合并规律用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数1 1、逻辑函数的卡诺图表示法、逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数表达式中含有的最小项在卡诺图相应的方格中填上1，其余填02、利用卡诺图化简逻辑函数、利用卡诺图化简逻辑函数(1) 将原始函数用卡诺图表示； (2) 根据最小项合并规律画圈， 圈住全部“”方格； (

16、3)每一个圈对应一个与项，然后再将各与项“或”起来得新函数。3 3、画包围圈的规则是：、画包围圈的规则是： （1）要尽可能地使卡诺圈大，这样消去的变量就多，但每个圈中所包含的的方格数只能是2n，且只有相邻的1才能被圈在一起； （2）使卡诺圈数目最少,这样逻辑函数的与项就少，但所有填1的方格必须被圈，不能遗漏； （3）每个为1的方格可被圈多次，但每个圈中至少有一个1只被圈过一次；化简举例：化简举例：1567_mmmmCBACBACABABCF0ABC00011110011010011 例： 将 用卡诺图表示。 解解 我们逐项用卡诺图表示，例如在B=1, C=0对应的方格(不管A，D取值)，得m4

17、、 m5、m12、m13，在对应位置填1； ABCDDCACDBDCCBF_CBCCBBAADD111111111111ABCD0001111000011110例例 ： 化简。CBADCACBCDBF_解解 第一步： 用卡诺图表示该逻辑函数。 CDB_： 对应m3、m11：_CB对应m4、m5、m12、m13：DCA_对应m1、m5：DCA_对应m10、m1111111111ABCD0001111000011110 第二步： 画卡诺圈圈住全部“”方格。 11111111ABCD0001111000011110ABDABCBC 第三步： 组成新函数。 第四步：画出逻辑电路。 DBACBACBF_

18、&AB&1F&BCCABD(a)(b)111111111ABCD0001111000011110ABCBDABCABDACD111111111ABCD0001111000011110ABCBDACDABC例例 ： 化简)15,13,12, 7 , 6 , 5 , 2 , 1 , 0(F_DCABDCABCBAF1111111111ABCD0001111000011110ACDABCDBCABACDBCD1111111111ABCD0001111000011110(a)(b)(c)1111111111ABCD0001111000011110ACDABCDBDBCACDAB

19、_DBBACBDCADCACDBAF11111111111ABCD0001111000011110BDABABDBC(a)(b)&A&1F BD AB ABD BC&BDBAD&BCB图 1 15 化简过程及逻辑图)15,14,11,10, 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 2 , 0(F&AC&1F&ACDAC&ACDBB11111111ABCD0001111000011110ABCABCACDACD(b)11111111ABCD0001111000011110(a)(c)图 1 16 化简过程及逻辑图(a)中出现了多余圈

20、。m5、m7、m13、m15虽然可圈成四单元圈，但它的每一个最小项均被别的卡诺圈圈过，是多余圈无关项及无关项的应用无关项及无关项的应用真值表中变量的某些取值组合不允许出现， 或者是变量的某些取值下，函数的值可以是任意。我们将这些变量取值对应的最小项称为无关项，我们用或者用表示，其值可以取0或1。例如：对于含有无关项逻辑函数： A B CF000011110011001101010101010X1XXX)7 , 6 , 5 , 3()4 , 1 (dF11ABC0001111001图 1 25 考虑无关项函数化简CAF例：例： 化简)15,14,13,12,11,10()9 , 8 , 7 , 6 , 5(dF解解 化简函数为BCBDAF11111ABCD0001111000011110BDABCBCD&F1&AF A BD BC例例 ： 化简。)15,14,11,10, 7 , 3()12, 8 , 5 , 1 (dF 解解 由于m11和m15对化简不利， 因此就没圈进。DADAF_1111ABCD0001111000011110ADADDDA&F1&A1.61.6数字集成电路数字集成电路把数字电路制做在同一块半导体基