质点运动学和动力学习题课

1、1.质点的运动方程：2.位移公式：3.速度公式：22ddvd satdt4.速率（速度的大小）公式：5.加速度公式：6.自然坐标系中加速度公式：切向：法向：2nvan 21ttdtFI1.冲量冲量2.动量定理动量定理IFdtp3.质点系的动量定理质点系的动量定理0PPI恒矢量恒矢量 niiivmP14.动量守恒定律动量守恒定律5.牛顿第二定律牛顿第二定律ddpFt6、功的计算功的计算：恒力变力8、已知一维势能函数，求保守力已知一维势能函数，求保守力：7、质点的动能定理质点的动能定理：11、角动量定理角动量定理：10、力矩力矩：质点质点系9、角动量角动量：质点相对某一参考点质点系相对某一参考点1

2、、若一运动质点在某一瞬时的运动矢径为、若一运动质点在某一瞬时的运动矢径为r(x，y)，则其速度大小为：，则其速度大小为： ( ) (A) （B) (C) (D) dtdrdtrddtrd22)()(dtdydtdxD（A）只有）只有1、4是正确的；是正确的； (B)只有只有2、4是正确的；是正确的； (C)只有只有2是正确的；是正确的； (D)只有只有3是正确的。是正确的。2 2质点做曲线运动，质点做曲线运动， 表示位置矢量，表示位置矢量， 表示路程，表示路程， 表示速度，表示速度， 表示加速度，表示加速度， 表示切向加速度，下列表示切向加速度，下列表达式：表达式：( )( )(1) (2)

3、(3) (4) aavsrdvadtdrvdtdsvdtdvadtD解解（1）中的）中的dv/dt是切向加速度，不是是切向加速度，不是a的大小。的大小。(2)中中 而（而（4）中的中的 是加速度是加速度的大小。的大小。adtvdddddrrrs3、某质点沿直线运动的加速度、某质点沿直线运动的加速度a = Av2t(A为大于零为大于零的常数的常数)。当。当t0时，初速度为时，初速度为vo，则其速度则其速度v与时间与时间t的函数关系是：的函数关系是：解：解：tAvdtdv2Atdtvdv2改写为：改写为：vvvdv02202111Atvv（ C ）两边积分：两边积分： (A) (B) (C) (D

4、) 022vtAv02121vtAv02121vtAv0221vAtv01110vvvvvtAtdt0221At4. 质点沿XOY平面作曲线运动,其运动方程为:x=2t, y=19-2t2. 则质点位置矢量与速度矢量恰好垂直的时刻为( )(A)0秒和3.16秒.(B) 1.78秒.(C)1.78秒和3秒.(D)0秒和3秒.D3cos43sin4 SIxtyt，（），ddy12sin412cos4dddd48cos448sin4ddxyyxxyxvtvtttvvatattt ，12sin412cos4SI48cos448sin4SIvtitjatitj （）（）v22112 m sxyvvv（）

5、2-4 一质点在X-Y平面内运动，其运动方程分别为试求：1.质点任一时刻的速度和加速度的表达式；2.质点的切向加速度和法向加速度的大小。解：（1）故任一时刻速度和加速度分别为 （2）速度的大小为222d12048 m sd3nvvaatR（ ）（）2222223cos 4sin 43xytt（）naa和 法 向 加 速 度分 别 为的圆周运动，故切向加速度可知质点作半径3mR 由质点运动轨迹方程xax2dddd43ddddvvxv vaxtxtx382vxx243SIax（）2-5 一质点沿轴运动，其加速度与位置坐标的关系为。若质点在原点处的速度为零，试求其在任意位200d43dvxv vxx

6、得由初始条件置处的速度。处的速度为解：设质点在任一位置v，则x2-6 如图所示，手球运动员以初速度与水平方向成角抛出一球。当球运动到点处，它的速度与水平方向成角，若忽略空气阻力，求：球在点处速度的大小；球在点处切向加速度和法向加速度的大小；1.抛物线在该点处的曲率半径。解：手球的运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的匀变速直线运动。002222031coscos ,coscos2sincos3coscosxynnnvvvMvvagMgagagvavvag （）水平方向上，球在处的速度为（ ），在点将 分解可得，（ ）因为，故有2sinSI2at （）02v2-7 一滑块以加速度沿直

7、线运动。设滑块初速度，且以滑块中心与坐标原点重合时为起始位置，求：（1）滑块任意时刻的速度；（2）滑块的运动方程。解：滑块作匀速直线运动。022000d1sindsindd222 cos222 cosd2 cosd224sin2vtvxtvatvtttvtdxvtxttdtxt （），（ ），2-11 一质点由静止沿半径R=3m的圆周运动，切向加速度为23m sa（1）经过多少时间它的总加速度与径向成450？（2）在上述时间内，质点所经过的路程为多少？，问：22 2202 2213m s451s211.50m2nnava ta tvaRRaaaa tRatRasa t解：（）因为常量，故由任一

8、时刻的速率，得当总加速度 与径向成时，即（ ）在上述0到1s内，质点经过的路程为3-3 一个质量为m的人站在质量为M的小船的船头上。小船以速度 在静水中向前行驶。若此人突然以相对于小船的速度u向船尾跑去，问小船的速度变为多少？如果人到达船尾后停止跑动，此时小船的速度又变为多少？0v011100220mMmMvMvmuvmuvvmMmMvmMvvv解：研究系统（），因系统所受合外力为零，故系统动量守恒：（选择静水作为参考系，并选择船的速度方向为正方向）（）（）得到达船尾不动后（）（） 得三、计算题三、计算题1.如图，质量为如图，质量为2kg的物体由的物体由A点沿点沿1/4的光滑圆弧轨道的光滑圆弧

9、轨道静止滑下，轨道半径为静止滑下，轨道半径为2.5m，到达，到达B点后物体沿水平点后物体沿水平作直线运动，在水平面上物体所受的阻力作直线运动，在水平面上物体所受的阻力f与速率成正与速率成正比，且比，且f=-v/2，求物体在水平面上滑行多远时其速率降，求物体在水平面上滑行多远时其速率降为为B点速率的一半。点速率的一半。解：221BmvmgR 由)/(72smgRvB得dxdvmvdtdvmvf2,220BBvvxmdvdx)(14)2(2mvvmxBB法一：法二：冲量定理fdtmvmvBCdtv2xdx022x)m()mvmv(xCB142法三：dtdvmvf2,20tvvmdtvdvBdtdx

10、evvmtB2xlnmmtBdtevdx02202BBlnmmtBmv)(mvemvx121222202, 0tvvB2ln22/mtvvB)(14 m2 6N3FxxxF1.一物体在外力= + （）作用下沿X轴正方向运动，当物体从 =0处移到 = m处的过程中，外力对物体作功多少？223 4SI3mxt tW.质量=4kg的质点在外力作用下，其运动方程为 = + （），求该外力在最初 s内对质点所做的功为多少？235Uxxx3.一 质 点 的 势 能 函 数 可 近 似 表 示 为 （ ） =-， 求 该 质 点 所 受 的 保 守 力为 多 少 ？302 633JWxx 1.解：= （ +

11、）d020242043101168J2xvtttvtvWm vvd.解： =d，（）6565dUxFxxx d （ ）3.=-（）4.一特殊弹簧，其弹性力一特殊弹簧，其弹性力F=kx3, k为倔强系数，为倔强系数，x为为形变量。现将弹簧水平放置于光滑的平面上，一端固形变量。现将弹簧水平放置于光滑的平面上，一端固定，一端与质量为定，一端与质量为m的滑块相连而处于自然状态。今的滑块相连而处于自然状态。今沿弹簧长度方向给滑块一个冲量，使其获得一速度沿弹簧长度方向给滑块一个冲量，使其获得一速度v ,则弹簧被压缩的最大长度为：则弹簧被压缩的最大长度为：41241)2()( ,)4()( ,)( ,)(k

12、mvDkmvCvmkBvkmA（D）分析：根据动能定理： ,210203mvdxkxA24214mvkA4122kmvA解得 ： 5 5. .如图，一弹簧劲度系数为如图，一弹簧劲度系数为k k，一端固定在，一端固定在A A点，另一点，另一端连接一质量为端连接一质量为m m的物体，靠在光滑的半径为的物体，靠在光滑的半径为R R的圆柱表的圆柱表面，弹簧原长为面，弹簧原长为ABAB，在切向变力，在切向变力F F的作用下，物体极缓的作用下，物体极缓慢地沿表面从位置慢地沿表面从位置B B移到移到C C，试分别用积分方法和功能原，试分别用积分方法和功能原理求力理求力F F作的功。作的功。解：积分法mgco

13、smgkRkRmgFcos0)()cos(RdkRmgAF2221sinkRmgR功能原理2221sinkRmgREAFpE1.1.一小球在竖直平面内作匀速圆周运动，则小球在运一小球在竖直平面内作匀速圆周运动，则小球在运动过程中：动过程中：（A A）机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒）机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒（B B）机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒）机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒（C C）机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒）机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒（D D）机械能守恒、动量守恒、角动量守恒）机械能守恒、动量守恒、角动量守恒（A）分析： 小球在竖直平面内作匀速圆周

14、运动，其动能不变，势能改变，所以机械能不守恒。 小球在运动过程中，速度方向在改变，所以动量不守恒。 由于小球作匀速圆周运动，它所受的合力指向圆心，力矩为零，所以角动量守恒。一、选择题一、选择题二、填空题二、填空题1 1. .在光滑的水平面上在光滑的水平面上, ,一根长一根长L=2mL=2m的绳子的绳子, ,一端固定于一端固定于O O点点, ,另一端系一质量为另一端系一质量为m=0.5kgm=0.5kg的物体的物体, ,开始时开始时, ,物体位于物体位于位置位置A A，OAOA间距离间距离D=0.5mD=0.5m，绳子处于松弛状态，绳子处于松弛状态, ,现在使物现在使物体以初速度体以初速度v vA A=4m=4ms s-1-1垂直于垂直于OAOA向右滑动向右滑动, ,如图所示。设以如图所示。设以后的运动中物体到达位置后的运动中物体到达位置B,B,此时物体速度的方向与绳垂此时物体速度的方向与绳垂直直, ,则此时刻物体角动量的大小为则此时刻物体角动量的大小为 。速率。速率为为 。1m/s1m/s1kg1kgm m2 2/s/ssmkgDmvLAA/145 . 05 . 02BBLmvL smkgLLAB/1