静电场的唯一性定理

1、静电场边值问题的静电场边值问题的唯一性定理唯一性定理n静电场小结静电场小结n典型的静电问题典型的静电问题n给定导体系中各导体的给定导体系中各导体的电量电量或或电势电势以及各导体以及各导体的形状、相对位置（统称边界条件），求空间的形状、相对位置（统称边界条件），求空间电场分布，即在电场分布，即在一定边界条件一定边界条件下求解下求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程泊松方程,泊松方程,0202UorU静电场静电场的边值的边值问题问题泛泛定定方方程程边界条件边界条件唯一性定理唯一性定理n对于静电场，给定一组边界条件，空间能否对于静电场，给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？存在不同的恒定电场分布？

2、回答：否！回答：否！n边界条件边界条件可将空间里电场的分布可将空间里电场的分布唯一唯一地确定地确定下来下来n该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要的正确解释至关重要n理论证明在电动力学中给出，理论证明在电动力学中给出，附录附录给出普物给出普物方式的论证方式的论证n论证分三步：引理论证分三步：引理叠加原理叠加原理证明证明几个引理几个引理n引理一：在无电荷的空间里电势不可能引理一：在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值有极大值和极小值n证明（反证）若有极大，则证明（反证）若有极大，则极大极大极小极小n若有极小，同样证明若有极小，同样证明0

3、,ESUPUPd EES，指指向向 点点, ,背背离离 点点但但面面内内无无电电荷荷矛矛盾盾n引理二：若所有导体的电势引理二：若所有导体的电势为为0，则导体以外空间的电，则导体以外空间的电势处处为势处处为0即意味着空间即意味着空间电势有极大值，电势有极大值，违背引理一违背引理一n证明（反证）证明（反证）在在无电荷无电荷空间里电势分布连续空间里电势分布连续变化，若空间有电势大于变化，若空间有电势大于0（或小于（或小于0）的点，而边界上）的点，而边界上电势又处处等于零电势又处处等于零必出现必出现极大值或极小值极大值或极小值矛盾矛盾n推广：若完全由导体所包围的空间里各导体推广：若完全由导体所包围的空

4、间里各导体的电势都相等（设为的电势都相等（设为U0），则空间电势等于，则空间电势等于常量常量U0引理三：若所有导体都不带电，引理三：若所有导体都不带电，则各导体的电势都相等则各导体的电势都相等n证明（反证）证明（反证）n若不相等，必有一个最高，若不相等，必有一个最高，如图设如图设U1U2、U3，导导体体1是电场线的起点是电场线的起点其其表面只有正电荷表面只有正电荷导体导体1上的总电量不为上的总电量不为0与前与前提矛盾提矛盾n引理二引理二 ( )引理三引理三可推论：所有导体可推论：所有导体都不带电都不带电的的情况下空间各处的情况下空间各处的电势电势也和导体一样，等于同一也和导体一样，等于同一常常

5、量量叠加原理叠加原理n在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两组边界条件：两组边界条件：n1 1：给定每个导体的电势：给定每个导体的电势Uk（或总电量（或总电量Qk）n2 2：给定每个导体的电势：给定每个导体的电势Uk（或总电量（或总电量Qk)n设设U、 U满足上述两条件，则它们的线性组合满足上述两条件，则它们的线性组合 U= =a U+b U必满足条件必满足条件3:3: 3 3：给定每个导体的电势：给定每个导体的电势Uk= =a Uk+b U k （或总电量（或总电量Qk= = Qk a k+b Q k） 特例特例 ： 取取Uk U k，则，

6、则U= =UU(a=1,b=-1)满足满足 4 4：给定每个导体的电势为：给定每个导体的电势为0 0 唯一性定理唯一性定理n给定每个导体电势的情形给定每个导体电势的情形n设对应同一组边值设对应同一组边值 IIIIIIEEUU)2 , 1(kUk 有两种恒定的电势分布有两种恒定的电势分布 IIIUU 和和相当于所有导相当于所有导体上电势为体上电势为0 0时时的恒定电势分的恒定电势分布布说明场分布是唯一的说明场分布是唯一的IIIIIISEEUUUdSnUk常常量量00与电势参与电势参考点有关，考点有关，不影响电不影响电势梯度势梯度n给定每个导体上总电量的情形给定每个导体上总电量的情形n 第第k个导

7、体上的电量个导体上的电量dSnUdSEdSQkkkSSSnek00电量与场电量与场强、电势强、电势的关系的关系设对设对应同应同一组一组边值边值有两有两种恒种恒定电定电势分势分布布说明场分布是唯一的说明场分布是唯一的解释静电屏蔽解释静电屏蔽n唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷分布就是分布就是唯一唯一可能的分布。可能的分布。 n图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布在的电荷分布的迭加就是唯

8、一的分布 电像法电像法解静电问题的一种特殊方法解静电问题的一种特殊方法n在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间求空间的电场分布和导体表面上的电荷分布的电场分布和导体表面上的电荷分布n基本思想：基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了，利用唯一性定理，边界条件确定了，解是唯一的，可以寻找合理的试探解解是唯一的，可以寻找合理的试探解像电荷像电荷解：解：n任一任一P点的电势点的电势0)(41),(0zrqrqzyxU222222)()(azyxrazyxr；其中其中2222220)(1)(141),(azyxazyxzyxUn导体上电荷的面密度导体上电荷的面

9、密度Ue0nDn2322200)(2ayxaqzUze2l真空中有一半径为真空中有一半径为R的接地导体球，距球心的接地导体球，距球心为为a(aR)处有一点电荷处有一点电荷Q，求空间各点电势求空间各点电势n寻找像电荷寻找像电荷n对称性分析，确定像对称性分析，确定像电荷位置电荷位置n使球面上电势使球面上电势0n任取任取 P点，利用叠加点，利用叠加原理求出像电荷位置原理求出像电荷位置0QQrQr QrQrrrQ cos2cos22222QRaaRQRbbR对所有对所有 都成立，都成立，即要求与即要求与 无关，要求无关，要求22cosaQbQ 的系数的系数？取取 有有QaRQabQaRb2三角形三角形

10、相似相似求求p p点电势点电势414100arRQrQrQrQUPcos2cos22222RaaRrRbbRr；其中其中讨论：由讨论：由高斯高斯定理收敛于球面上的电通量为定理收敛于球面上的电通量为Q，Q=球球面上的总感应电荷，它受电荷面上的总感应电荷，它受电荷Q产生的电场产生的电场吸引从接地处吸引从接地处传至导体球上，传至导体球上，|Q|Q, ,Q发出的电力线只有一部分收敛于发出的电力线只有一部分收敛于导体球，剩下的伸展至无穷导体球，剩下的伸展至无穷电偶极层电偶极层n设想一厚度均匀的曲设想一厚度均匀的曲面薄壳，两面带有符面薄壳，两面带有符号相反的面电荷号相反的面电荷 电偶极层，如图，电偶极层，

11、如图，求求P P点的电势和场强点的电势和场强 e 041)(SerdSpU 0)(41SerdS SedSrr11410夹夹角角),( :,cosnrlrr rlrrlrlrrcos11)cos1 (1cos1122cos11cos1rlrrrlr )(pU代代入入 SerdSlpU20cos41)(面元面元dS在垂直在垂直于矢径于矢径r方向方向的投影的投影drdS 2cosn定义电偶极层强度：定义电偶极层强度：单位面积上的单位面积上的电偶极矩电偶极矩 lee 0044)(eSedpU P点的电场强度点的电场强度 n电偶极层的电势和场强只与对场点电偶极层的电势和场强只与对场点所张的立体角有关所张的立体角有关n几何上决定，电偶极层两侧立体角几何上决定，电偶极层两侧立体角有的跃变有的跃变n负电荷一侧：负电荷一侧： 曲面曲面S对场点对场点P 所 张 的 立所 张 的 立体角体角 04)(epUE0, 0cos, 2/,cos2 SdrdSdn正电荷一侧正电荷一侧：0, 0