吉林东北师范大学附属中学2015届高三数学理科第一轮高考总复习阶段测试卷第24周版含答案

1、高三周考数学试题（理科）（第二十六周）时量120分钟总分150分一、选择题：本大题共一项符合题目要求的.1.如图：给定全集UA.A（CuB）【测试目标：了解外地考卷命题形式】8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有和集合A,B,则如图阴影部分表示的集合是（B.(CuA)BC.Cu(AB)B)D.Cu(AB)A2.函数f(x)1,，、一=lnx的一个零点所在的区间是（x3.4.A.(-1,1)化简对数式A.1B.(1,2)C.(2,e)D.(e,3)log53B.21.，一，log3,得到的值为（15C.-1D.A已知三个向重m=（a,cos?）,B、一,n=(b,cos2)

2、，P=(c，cosC2)共线,其中a,b,c,A,B,C分别是AABC的三条边和三个角，则MBC的形状是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形ji5.函数f(x)=Asin(ox+中)(A>0,<o>0,|*|(万)的部分图象如图示，将y=f（x）的图象向右平移二个单位后得到函数y=g（x）6的图像，则g（x）的单调递增区间为（A.2k二-一6B.一二一5二2k二一,2k二一36/o6C.k-,k-636.设函数f(x)=kax-aD.二5二k二-,k-36函数又是增函数，则二（aA0且a#1）在（-«,"）上既是奇7.设等差数列

3、an的前n项和为Sn且满足815A0,S16<0,则盘,92,名,，县中最大的aa?a3an项为A.S63e8.对于定义域为0,1Sa?a8的函数f(x),如果同时满足以下三个条件:对任意的xw0,1,总有f(x)>0f(1)-1若X1>0,x2>0,x1+x2<1,都有f(x1+x2)之f(x1)+f(x2)成立;则称函数f(x)为理想函数.下面有三个命题:(1)若函数f(x)为理想函数，则f(0)=0；(2)函数f(x)=2x1(xw0,1)是理想函数；(3)若函数f(x)是理想函数，假定存在小三0,1,使得f(x0)w0,1,且ff(x0)=x0,则f(x&

4、#176;)=x。；其中正确的命题个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.(一)选作题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)9.不等式x+1+x2a5的解集为10.直线l的参数方程是2fx二t2J2y=t-4、22(其中t为参数)，圆C的极坐标方程为冗P=2cos(0+-),过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是411 .如图，AB是OO的直径，P是AB延长线上的一点，过P作。O的切线，切点为C,PC=2<3,若NCAP=30*,则。O的直径AB

5、=(二)必做题212 .下面是关于复数z=的四个命题：-1i(1)z=2；(2)z2=2i；(3)Z的共轲复数为1+i;(4)z的虚部为1；其中所有正确的命题序号是1.13 .如果一个随机变量七B(15,2),则使得P=k)取得最大值的k的值为14 .如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为15 .采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A,编号落入区间451,750的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为.16 .已

6、知Sn=AA=(&,a2,a3,|,an),a=2012或2013,i=1,2,川n(n>2),对于U,VwSn,d(U,V)表示U和V中相对应的元素不同的个数.(I)令U=(2013,2013,2013,2013,2013)，存在m个Vw1,使得d(U,V)=2,贝Um=；(n)令U=(a,a2,a3,|,an),若VwSn,则所有d(U,V)之和为.高三周考数学(理科)答卷时量120分钟总分150分选择题:题号12345678二填空题：9.10.11.12.13.14.15.16.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1.117、(12

7、分)已知u,P是三次函数f(x)=x3+ax2+2bx(a,bwR)的两个极值点，且32口0(0,1Pw(1,2)，求动点(a,b所在的区域面积S.18、(12分)为迎接新年到来，某商场举办有奖竞猜活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的。正确回答问题A可获得奖金m元，正确回答问题B可获得奖金n元。活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止。假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获救金额的期望值较大入，为标明限高，请你根据该图所示数据计算限定高度C

8、D的值.(精确到0.1m)19、(12分)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=a,又PAL平面ABCD,PA=4.(1)线段BC上存在点Q,(2)线段BC上存在唯一点20、(13分)随着私家车的逐渐增多，居民小区谆车难”问题日益突出.本市某居民小区为缓解停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图.(1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶10tnA(下列数据提供参考：sin20°=0.3420,COS20°=0.9397,tan20°=0.3640)(2)在车库内有

9、一条直角拐弯车道，车道的平面图如图所示，设/PAB=H(rad),车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，长为4.5米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？2221、(13分)已知椭圆x2+4=1(aAb>0)上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为ab3+2反320.(1)如果直线x=t(twR)与椭圆相交于不同的两点A,B,若0(,0),口3,0),直线CA与直线BD的交点是K,求点K的轨迹方程；(2)过点Q(1,0)作直线l(与X轴不垂直)与该椭圆交于M、N两点，与y轴交于点R,若RM=?uMQ,RN=NNQ,试判断：儿+N是否为定值？并说明理由

10、.122、(13分)设函数fn(x)=xn(1x)2在,1上的最大值为an(n=1,2,).(1)求数列an的通项公式；、.一.1(2)证明：对任何正整数n(n22),都有an<2成立；(n2)(3)若数列an的前n之和为Sn,证明：对任意正整数n都有Sn<二成立.nnn16答案:选择题ABDBCCCD-15.3填空题9.(_oo,_2)U(3,F)10.2J611.412.(2)(4)13.8或914.1016.(I)c2=10；(n)根据(i)知使d(u,vk)=r的vk共有C；个2nZd(u,Vk)=0C+1C+2C+，,+nJonk42n“d(u,Vk)k1nlC：(n-1

11、)_C：,5-2)£：立0C：2n'、d(u,v=田2nlk1解答题:17.f(x)=1x31ax322+2bx(a,bWR)可得f(x)2=x+ax+2b,2分由题意知，a,P是方程根,且：0,1,I-'三11,2+ax+2b=0的两个f(0)=2b0f(1)=1+a+2b<0J(2)=4+2a+2b>0画出可行域如图.11分所以12分，一118.【解析】设该参与者猜对问题A的概率为P,则P1=一，猜对问题B的概率为4_1-P2=-,.1分5参与者回答问题有两种顺序:顺序一：先A后B此时参与者获得奖金额t的可能值为：0,m,m+n,P(-0)=1=914

12、1P代=m+n)=PP2=,20m从而数学期望E二4P1-”顺序二：先B后A此时参与者获得奖金额的可能值为:0,n,n+m,一一4Pf.U0)-1-P2口P(t=n+m)=PP2=，20n从而数学期望E=5204m3n而：E-E”=,则：20当mA3时：先回答A,当n4一一一1P"n)=P2"P)=5M32019.解法1:(1)如图，连AQ设BQ=t，则CQ=at,3“=一两者兼可,43<-时先回答412由于PA!平面ABCD贝U由POLQD在RtMBQ中有AQ="必有AQ-DQ在RtACDQ中有DQ="(a-tf+4在RtAADQ中有AQ2+DQ

13、2=AD24a=t4t.故a的取值范围为DC过M作MNLPD于N,连结NQ贝UQNLPD./MN建二面角A-PD-Q的平面角.在等腰直角三角形PAD中，可求得MN=J2,又MQ=2,进而MN、23cosMNQ=_=NQ.63.3故二面角A-PD-Q的余弦值为.3-I解法2:（1）以田、阳AP为x.y.z轴建立如图的空间直角坐标系,PQDxZBy则B(0,2,0),C(a,2,0),D(a,0,0),P(0,0,4),2,0)(tA°)，则PQ=(t,2,4),DQ=(t-a,2,0).PQLQDPQLDQ=t(t-a)+4=0.,4,2a=t4即t-at+4=0t故a的取值范围为4,

14、+*）（n）由（I）知，当t=2,a=4时，边BC上存在口H一点Q使PQLQD此时Q(2,2,0),D(4,0,0).设“二（X,y,Z）是平面PQD的法向量,nLDP=。|-4x4z=0由1na=0,得1-2x+2y=0.取z=1,则n=（1,1,1）是平面PQD的一个法向量."4_KADLn3cos<AD,na=而AB=92Q)是平面PAD的一个法向量，AD1nl3二面角A-PD-Q的余弦值为3.tanZBAE=-，又AB=10,AB20.解：(1)在ABE中，/ABE=90°,/BAE=20:BE=AB?tan/BAE=10tan2O=3.6中BC=0.6,CE

15、=BE-BC=3m,在ACED中，-CD±AE,/ECD=ZBAE=20,cos/ECD=£d,.CD=CE?coSECD=3cos20°=3X0,94'2.8mCE故答案为2.8m.5分(2)延长CD与直角走廊的边相交于E,F,如下图,33.EF=OE+OF=+，其中0<日<.cos二sin12DA1,8容易得到DE=,CF=BCtanQ=1,8tan9tan【tan二AB二DC=EF-(DECF),于是3)331、3(sinucosu)-1,81,8(tan1)二,cos二sinutan?sin二cos?其中0<6<1.8分设s

16、in6+cos6=t，则t=72sin(e+),于是1<tWJ2.4.t2-1又sinccos8=,2mLI.6t-3.6因此ft)=g(t)-t7-26t-7.2t6因为g(t)=-nn(t2-1)226(t-0.6)3.84一(t2-1)211分,又1<twJ2,所以g(t)<0恒成立,6t-3.6.因此函数g(t)=1在tw(1,J2是减函数，所以g(t)min=g(J2)=6723.6A4.5,t-1故能顺利通过此直角拐弯车道13分a=3c=2x2b2ac=32%221.解：(1)由已知<Ua-c=3-2.22所以椭圆方程为y2=1.9t2依题意可设A(t,y0

17、),B(t,y。)，K(x,y),且有一+y0=19又CA:y=-(x3),DB:y=，(x-3),t3t-32t212y2=T_y0_(x2-9),将一+y02=1代入即得y2=(x29),-y2=1t2-99992所以直线CA与直线BD的交点K的轨迹方程是-y2=1(yw。)9(2)九十N是定值,依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k(x-1),y=k（x-1）,设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5）,则M、N两点坐标满足方程组，x2,y2=1.消去y并整理，得(1+9k2)x218k2x+9k29=0,2218k小9k-9石所以X3+X4=弓,X3X4=亍,1

18、-9k219k211分因为RM=九瓶，所以优芈）（0芈）=九匕，0）（X3，y3），。二九（1一"），所以x3=M1x3）,又l与x轴不垂直，所以x3/1,y3y5,丫3.X312分1-X3所以,=1-X3X41-X4(X3X4)-2x3X41-X4将代入上式可得1-(X3X4)X3X49.413分22.【解析】（1）由fn(x);nxn(1-x)2-2xn(1-x)nJ(1-x)n(1-x)-2x，Ji,当x=,1时，由2f'(X)=0得x=1或当n=1时,当n=2时,当n之3时,nn2nn2n1111工%，1,f1(1)=0,则(广8.1.，1、1,1,则a?=f2()=22216r1，1，1而当x2)时fn'(x)>0,当X(n/、,，1)时fn(x):0，故函数fn（X）在X=处取得最大值,即：anfn(4nnn2)一(n2)n2综上：ann个产(n-2)OOOoo000oo0000000000（2）当n±2时，要证an=4nn(n2)n212°<七，即证(1+2)n>4,(n2)2n而(1+2)n=C：+C：<-)1+C2<-)2n(n-1)12-n故不等式成立.ooooooooooooooo