点的合成运动Cyj解析

1、Mechanics of Theory 理论力学理论力学第八章点的合成运动第八章第八章 点的合成运动点的合成运动8- -1 相对运动相对运动 牵连运动牵连运动 绝对运动绝对运动8- -2 点的速度合成定理点的速度合成定理8- -3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理8- -4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理牵连运动为转动时点的加速度合成定理8-1 相对运动 牵连运动 绝对运动一、动点 动点：作为研究对象的运动着的点。 二、两个坐标系 静坐标系：习惯上把固结于地面上的坐标系 称为静坐标系。 动坐标系：把固结于相对地面有运动的物体 上的坐标系称为动坐标系。 点

2、的合成运动研究动点相对两个不同参考系的运动关系。三、三种运动三、三种运动 绝对运动：动点相对于定系的运动 相对运动：动点相对于动系的运动 牵连运动：动系相对于定系的运动 绝对运动和相对运动都是点的运动 牵连运动是刚体的运动 四、三种速度3. 牵连速度 在某一瞬时，动坐标系中与动点M 相重 合的点相对于静坐标系的速度称为牵连 速度 。ev1. 绝对速度 绝对运动中动点相对于静系的速度称为 绝对速度 。av2. 相对速度 相对运动中动点相对于动系的速度称为 相对速度 。rv动点: 物块A，动系: 固连小车，静系: 固连地面。绝对运动：动点A静系绝对轨迹：绝对轨迹：未知曲线未知曲线相对运动:动点动点

3、A动系（动系（小车）小车）牵连运动:动系（小车）静系相对轨迹：铅垂直线牵连轨迹：直线平动动点动点: M点，点，动系动系: 固连飞机，固连飞机，静系静系: 固连地面。固连地面。 绝对运动：动点动点M静系绝对轨迹： 未知曲线 相对运动:动点M动系(飞机） 牵连运动:动系（飞机）静系相对轨迹：定轴转动（圆周）牵连轨迹：直线平动五点的合成运动动点 M 因动系的牵连运动而有的运动动点 M 相对动系 的相对运动合 成分 解动点 M 的绝对运动六动点与动系的选取原则 动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然，即是 一条简单、明了的已知轨迹曲线 -圆弧或直线。8-

4、2 点的速度合成定理 点的速度合成定理建立了动点的绝对速度，相对速度和牵连速度之间的关系。CC点一定理的导出1CCC也可以看成CCCC 曲线绝对轨迹矢量绝对位移11CCCC 曲线牵连轨迹矢量牵连位移11C CC C曲线相对轨迹矢量相对位移, tttCBC B 当曲线11CCCCC C 11000limlimlimtttCCC CCCttt 时的极限，得：后，取将上式的两边同除以0tt由矢量合成关系，得：由矢量合成关系，得：reavvv+=即：点的相对速度动的速度）是动系上一点（牵连点点的牵连速度动点的绝对速度动 reavvv二点的速度合成定理 定理 讨论 是是矢量式，符合矢量合成法则；矢量式，

5、符合矢量合成法则；reavvv+= 是瞬时关系式，两边可以求导是瞬时关系式，两边可以求导；reavvv+= 共包括大小共包括大小方向六个要素，方向六个要素， 已知任意四个要素，能求出另外两个要素已知任意四个要素，能求出另外两个要素。reavvv+=reavvv+= 动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。 1在摇杆O1B的槽中滑动，并带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动。曲 柄长OA=r，两轴间的距离OO1=l。求曲柄在水平位置的瞬时，摇杆O1B的角速度 及滑块A对于摇杆O1B的相对速度。 例8-3 刨床急回机构如图 (a)所示。曲柄OA的一端与滑块A用铰链连接。当

6、曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动时，滑块解: 1动点：滑块A动系：摇杆2运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动相对运动:沿O1B的直线运动牵连运动:绕O1轴定轴转动avr 三种速度分析:reavvv+=画出速度矢量三角形。 easinvv22sinrlravr2e22rvlr另一方面e11 vO A221 O Alr2122rlr由速度合成定理：racosvv22cosllrr22rlvlr 例8-4 如图所示，在偏心距为e的圆盘凸轮机构中，圆盘的半径为r，绕O轴做定轴转动，角速度为，轮推动顶杆AB沿铅直滑道运动，O点和AB杆在一条直线上。求当OC垂直OA时，顶杆AB的速度。解:1动点：AB杆上

7、的A点动系：固结在圆盘上 2运动分析 绝对运动:点A沿铅垂方向的直线运动 相对运动:点A沿圆盘边缘的圆周运动 牵连运动:圆盘凸轮绕O点的定轴转动 三种速度分析:avevrvOA 垂直于OA，指向与 同速度大小未知未知方向沿AB 垂直于CA (半径)4. 求解aetanOCv =v=OA=eOAer cosvOA v =r= rOA8-3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 在上一节中研究了点的速度合成定理，它对于任何形式的牵连运动都是适用的。但是，加速度合成的问题则比较复杂，对于不同形式的牵连运动会得到不同的结论。本节研究当牵连运动为平动时绝对加速度、牵连加速度和相对加速度的关系。对于牵连运动

8、为定轴转动时的情况，下节再讨论。 由于牵连运动为平动，故 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动， 而曲线AB同时又随同动系Oxyz 相对静系Oxyz平动。一定理的导出ve =vOae =aOva =ve +vrvr=vrxi +vry j + vrx k 而，由速度合成定理dtdzdtdydtdx vavOijkdt2dt2dt2d2zd2yd2xaaaOijkaa =ae +ar (*)上式求导，因此，说明说明:(1) (*)式是矢量式，矢量式，符合矢量合成法则；(2) 对于复杂问题，建议采用复杂问题，建议采用矢量投影定理矢量投影定理求解。求解。 例8-5 如图所示，

9、曲柄OA长0.4 m，以等角速度=0.5 rad/s绕O轴逆时针转向转动。由于曲柄的A端推动水平板B，而使滑杆C沿铅直方向上升。求当曲柄与水平线间的夹角 时，滑杆C的速度和加速度 。030解：(1)动点：杆OA上点A ； 动系：滑杆； 绝对运动：A点绕O点的圆周运动； 相对运动：点A相对于滑杆的直线运动； 牵连运动：滑杆的平行移动。(2) 速度分析:reavvv+=由速度合成定理：a0.2 m/svOAea3cos300.2=0.173 m/s2vv(3) 加速度分析:aeraaan22aa0.1 m/saaOA2easin300.05 m/saa 例8-6 如图所示的曲柄滑道机构中, 曲柄O

10、A=10 cm，绕O轴转动。当时 ，其角速度 ，角加速度 。求导杆BC的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。301 rad/s21 rad/s解 (1) 取滑块A为动点，动参考系固连于导杆上。 (2) 动点A的绝对运动是圆周运动， 绝对加速度分为切向加速度和法向加速度。 2a10 cm/saOAn22a10 cm/saOA相对加速度的方向为水平，大小待求；牵连运动为导杆的直线平动，速度为铅垂方向，大小待求。 (3) 牵连运动为平动的加速度合成定理为naaaeraaaaa利用解析法，即假设 与 的指向如图所示，选投影轴 ，将上式各矢量分别投影在 轴和 轴上，得earaAnaarcos30sin3

11、0aaanaaesin30cos30aaa2r3.66 cm/sa 2e13.66 cm/sa 解得： 例8-7 半径为R的半圆形凸轮，当OA与铅垂线成 角时，凸轮以速度v0、加速度a0向右运动，并推动从动杆AB沿铅垂方向上升，求此瞬时AB杆的速度和加速度。解：（1）取杆的端点A为动点，动参考系固连于凸轮上。 （2）分析三种运动绝对运动： A点沿AB铅垂直线；相对运动： A点沿凸轮表面的圆弧；牵连运动： 凸轮的平动。（3）速度分析及计算aerv = vve0rcoscosvvvae0tantanAvvvv（4）加速度分析及计算： 根据牵连运动为平移的加速度合成定理有 aeraaa根据矢量投影定

12、理，取OA为投影轴，将上式向OA轴上投影，得：na0rcossinaaa20n220r0a003sincostantancoscoscosvaavRaaaR2003(tan )cosvaR 负号表示指向与假设相反，应指向下。 8-4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 一、定理的导出 为了便于推导，先分析动参考系为定轴转动时，其单位矢量 对时间的导数。 i j kddAAAtrvr AOrrkddddOOttrkrk ddOOOtrvr ddtkk 同理有ddtii ddtjj 上面三个式子是在动系作定轴转动的情况下证明的。当动系作任意运动时，可以证明仍然是正确的，这时为动系在该瞬时的角速度矢

13、。 下面推导点的加速度合成定理。xyz rijkrddddddddxyzttttrvijk222rr222ddddddddxyzttttvaijkevr ee arvaerddddddxyztttvvvr +ijk 222aa222dddddddddddddddddd ddddddxyzttttttxyzttttttvrar +ijkijk aerrerrrerrdddddd 2xyzttt arvvaijkrvvava +av r2Cav 令 称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。 aerCaa +aa 这就是牵连运动为转动时点的加速度合成公式: 牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速

14、度，相对加速度与科氏加速度的矢量和。 aerCaa +aa 虽然该定理是在牵连运动为转动时推导出来的，但并不失一般性，当牵连运动为其他复杂运动时，上式同样适用。 例8-9 如图所示，直角弯杆OBC以匀角速度=0.5rad/s 绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动；OB=0.1m，OB垂直BC。试求当 时小环M点的速度和加速度。60解：(1) 运动分析动点：小环M ；动系：固连于OBC；绝对运动：小环M沿OA杆的直线运动；相对运动：小环M沿BC杆的直线运动；牵连运动：弯杆OBC绕O点的定轴转动。(2) 速度分析利用点的速度合成定理得aerv = vve0.2 0.50.1 m/svO

15、Mae30.173 m/svvre20.2 m/svv(3) 加速度分析 加速度绝对加速度 牵连加速度 相对加速度 科氏加速度 大小未知未知方向沿OA指向O点沿BC垂直BC20.2r2 vaaraneaCaaerCaa +aanaecoscosCaaa2a0.35 m/sMaa解得应用投影方法，将上式加速度合成定理的矢量方程向 轴投影 例8-10 求例8-3中摇杆O1B在下图所示位置时的角加速度。 解：运动分析和速度分析同前面例8-3，下面直接进行加速度分析。 根据加速度合成定理的矢量方程： e1aO A加速度大小未知未知方向沿OA，指向O垂直于 O1A沿O1A，指向O1沿O1A垂直于 O1A

16、naeerCaa + a + aanaaeanearaCa2r211O A01 r2sin90v将式(a)向 轴投影，得1O x（a） aecosCaaa 222e3/222rl lralraecosCaaa 222e2221rl lraO Alr摇杆O1B的角加速度角加速度的方向为逆时针转向，如图所示。 220lr为正值。正号表示真实方向与图中假设的指向相同。 ea因为，所以本 章 小 结1用点的合成运动理论研究点的运动时，必须正确选择一个动点，两个坐标系；分析三种运动，三种速度及三种加速度。点的绝对运动为点的牵连运动和相对运动的合成结果。绝对运动：动点相对于定参考系的运动；相对运动：动点相

17、对于动参考系的运动；牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动。2点的速度合成定理：动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和。aervvv绝对速度：动点相对于定参考系的运动速度；相对速度：动点相对于动参考系的运动速度；牵连速度：动坐标系中与动点重合的那一点(即牵连点)对定参考系的速度。 3点的加速度合成定理：aerCaa +aa绝对加速度：动点相对于定参考系的加速度；相对加速度：动点相对于动参考系的加速度；牵连加速度：动坐标系中与动点重合的那一点(即牵连点)对定参考系的加速度。科氏加速度：牵连运动为转动时, 牵连运动和相对运动相互影响而出现的一项附加的加速度。 8-1 相对运动 牵连运动

18、绝对运动三、三种运动三、三种运动 绝对运动：动点相对于定系的运动 相对运动：动点相对于动系的运动 牵连运动：动系相对于定系的运动 绝对运动和相对运动都是点的运动 牵连运动是刚体的运动 动点: 物块A，动系: 固连小车，静系: 固连地面。绝对运动：动点A静系绝对轨迹：绝对轨迹：未知曲线未知曲线相对运动:动点动点A动系（动系（小车）小车）牵连运动:动系（小车）静系相对轨迹：铅垂直线牵连轨迹：直线平动五点的合成运动动点 M 因动系的牵连运动而有的运动动点 M 相对动系 的相对运动合 成分 解动点 M 的绝对运动六动点与动系的选取原则 动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目