变化线段和最大、差最小问题

1、初中数学专题复习：最短最长距离问题分析最值问题主要考察学生对平时所学的内容的综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)或利用一次函数和二次函数的性质求最值。一、“最值”问题大都归于两类基本模型：I、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值n、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：(1)归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。(2)归于"三角

2、形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。(1)归于“两点之间的连线中，线段最短”几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P,使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线l的对称点A',连结AB交l于点P,则PA+PB=AB的值最小.求线段的长，以归入“解直角三角形”和相似三角为重要选择。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”模型应用：1 .如图1,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上一动点.连结BD,由正方形对称性

3、可知,B与D关于直线AC对称.连结ED交AC于P,则PB+PE的最小值是；2 .如图2,00的半径为2,点A、B、C在。0上，OA_LOB,/AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；3 .如图3,/AOB=45°,P是/AOB内一点，PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点，求4PQR周长的最小值.4 .如图，(1),在&ABC中，AC=BC=2，/ACB=901P为BC边上一定点，(不与点B,C重合)，Q为AB最小值，并说明理由。边上一动点，设BP的长为a(0<a<2),请写出CQ+PQ(2)归于“三角形两边之差小于第三边”几何模型：

4、条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P,使|PAPB|的值最大.方法：作过点A与点B的直线，直线AB与交l于点P,则|PAPB|的值最大.若A、B是直线l异旁的两个定点.则先做对称点，再连接对称点与A(或B)。模型应用:1抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3).求(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使点P到B,C两点的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。2已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中,沿x轴的负方向平移OC的长度后得到

5、ADAO.(1)直接写出点D的坐标；OC=3,BC=2，取AB的中点M，连结MC，把AMBC(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ_Lx轴于点Q,连结OP.试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T,使得TO-TB的值最大.o(3)、利用平移确定最短路径选址通过平移，除去固定部分的长，使其余几段的和正好为两定点之间的距离。选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上.如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常

6、根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决.解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题.例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，M财所建的桥。MN桥造在何处才能使从A到B的路径AMNBt短?BA.2逐B.276C.

7、3D.76练习1 .如图所示，正方形ABCD的面积为12,AABE一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为(2 ,一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点(1)求该函数的解析式；(2) O为坐标原点，设OAAB的中点分别为C、D,求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.y=-x-x23 .如图，抛物线4的顶点为A,与(1)求点A、点B的坐标；(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PBwAB;y轴交于点B.A(2,0),B(P为OB上一动点是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有)当PA-PB最大时，求点P的坐标.4 .如图，在矩形0ABe中，已知A、C两点的

8、坐标分别为A(4,0)C(°,2),D为°A的中点.设点p是NAOC平分线上的一个动点(不与点0重合).(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；(2)当点p运动到与点B的距离最小时，试确定过°、P、D三点的抛物线的解析式；(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和PDE的周长;测试1.已知：抛物线的对称轴为x=-1,与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中A(-3，0)、C(0，-2卜(1)求这条抛物线的函数表达式.(2)已知在对称轴上存在一点P,使得PBC的周长最小.请求出点P的坐标.(3)

9、若点D是线段0c上的一个动点(不与点。点C重合).过点D作DE/PC交X轴于点E.连接PD、PE.设CD的长为m,APDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.2一一2 .如图，抛物线y=ax+bx+c的顶点P的坐标为【3交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，J3）.（1）求抛物线的表达式.（2）把ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC判断四边形ADBCW形状，并说明理由.（3）试问在线段AC上是否存在一点F,使得FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.3 .恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P）,P到A、B的距离之和Si=PA+PB,图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A',连接BA'交直线X于点P）,P到A、B的距离之和S=PA+PB.（1）求&#