周末培优8第八周一元二次方程根的分布

1、淘出优秀的你9淘说第八周一元二次方程根的分布重点知识梳理设f（x）=ax2+bx+c,则1,二次方程ax2+bx+c=0的根从几何意义上来说就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，所以研究方程ax2+bx+c=0的实根的情况，可从y=ax2+bx+c的图象上进行研究.若在（8,+oo内研究方程ax2+bx+c=0的实根情况，只需考察函数y=ax2+bx+c与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及根与系数的关系，由y=ax2+bx+c的系数可判断出,xi+x2,xix2的符号，从而判断出实根的情况.若在区间（m,n）内研究二次方程ax2+bx+c=0,则需由二次函数图象与区间关

2、系来确定.2 .若m,n都不是方程ax2+bx+c=0（aw0的根，则f（x）=0有且只有一个实根属于（m,n）的充要条件是f（m）f（n）<0.3 .方程ax2+bx+c=0（aw0的两个实根都属于区间（m,n）的充要条件是：b2-4ac>0af(m)>0af(n)>0m<27n4,二次方程ax2+bx+c=0的两个实根分别在区间（m,n）的两侧（一根小于m,另一根大于n）的充要条件是:0f(m)<0af(n)<05,二次方程ax2+bx+c=0的两个实根都在（m,n）的右侧（两根都大于n）的充要条件是:af(n)>0为二次方程ax2+bx+c

3、=0的两个实根都在（m,n）的左侧（两根都小于m）的充要条件是:b2-4ac>0af（m）>0-2a<mNa6.求解一元二次方程根的分布问题时，可借助函数图象，数形结合来写出相应结论.矶淘说淘出优秀的你典型例题剖析例1已知二次方程(2m+1)x22mx+(m1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围.【解析】二次方程有一正根一负根,.(2m+1)f(0)<0,1即(2m+1)(m1)<0,解得一2<m<1,1.m的取值范围为(一点1).变式训练已知二次函数y=(m+2)x2(2m+4)x+(3m+3)与x轴有两个交点，一个大于1,一个小于1,求实数m

4、的取值范围.【解析】对应二次方程(m+2)x2(2m+4)x+(3m+3)=0的一根大于1,一根小于1,.(m+2)f(1)<0,1即(m+2)(2m+1)<0,解得一2<m<一,.m的取值范围为(一2,去.【小结】一元二次方程ax2+bx+c=0的一根大于m,一根小于m,若a>0,则只需f(m)<0;若a<0,则只需f(m)>0.二者综合起来，即一元二次方程ax2+bx+c=0的一根大于m,一根小于m,则只需af(m)<0.例2已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(

5、1,2)内，求m的取值范围.(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围.rf(0)=2m+1<0,1m<-2mCR1m<一25工m>一公6【解析】(1)若抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(一1,0)和(1,2)内，则；f(-1)=2>0,1f(1)=4m+2<0,if(2)=6m+5>0,51故-6<m<-2,实数m的取值范围是(一6,-12).淘出优秀的你ff(0)>0,KI)>。，(2)若抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，列不等式组“刊l0<m<1,1，m>一5，、

6、1.m>5,m>加或m<1或，'1<m<0,1一2<mwi2,1实数m的取值范围是(一万，1J2.变式训练已知方程2x22(2a1)x+a+2=0的两个根在一3与3之间，求a的取值范围.【解析】若抛物线与x轴交点落在区间(一3,3)内，ff(-3)>0,f(3)>0,列不等式组A>Qc2a-1I-3<2<3,.18+6(2a-1)+a+2>0,18-6(2a-1)+a+2>0,44(2a-1)2-8(a+2)>0,2<a<2,解得一,<a产或3+产地<鲁1344II故a的取值范围

7、是(-秣T】U乎，羽例3求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根%3,且?足0<a<1<4;(3)至少有一个正根.【解析】设y=f(x)=x2+2(m1)x+2m+6.依题意有f(2)<0,即4+4(m1)+2m+6<0,切淘漠淘出优秀的你得m<-1.7(0)=2m+6>0(2)依题意有泣1)=4m+5<0,f(4)=l0m+14>0解得一7<m<一5.54(3)方程至少有一个正根，则有三种可能：/A>0,rf(0)>0有两个正根，此时可得

8、J2(m1)-2>0'mW1或m>5即彳m>3，二3<mw1.m<1有一个正根，一个负根，此时可得f(0)<0,得m<-3.6+2m=0有一个正根，另一根为0,此时可得，2(m-1)>0.m=3.综上所述，得mW1.变式训练已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间1,1上有零点，求a的取值范围.【解析】函数y=f(x)在区间1,1上有零点，即方程2ax2+2x3a=0在1,1上有解，a=0时，不符合题意，所以aw0.方程2ax2+2x3-a=0在1,1上有解，af(-1)>0af>0f(1

9、)f(1)或(a=4+8a(3+a)>0，1F137解得1WW5或av厂匚或a>5,r3/7,即a丁-或a>1.一3一f7.所以实数a的取值范围是a<一2"21一或a>1.淘出优秀的你切淘识跟踪训练1.对一元二次方程2012(x2)2=2013的两个根的情况，判断正确的是()A. 一根小于1,另一根大于3B. 一根小于2,另一根大于2C.两根都小于0D.两根都大于22,若一元二次方程3x25x+a=0的一根大于2且小于0,另一根大于1而小于3,则实数a的取值范围是()15A.(-12,0)B.(-oo,-)15_1_C.宅，十°°)D

10、.(；2)3,已知关于x的方程(m+3)x24mx+2m1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围是()A.3<m<0B.mv3或m>0C. 0<m<3D,m<0或m>34,方程x2+(2m1)x+42m=0的一根大于2,一根小于2,那么实数m的取值范围是5,若方程mx2+2mx+1=0一根大于1,另一根小于1,则实数m的取值范围为.6,已知方程4x2+2(m1)x+(2m+3)=0有两个负根，则实数m的取值范围是.7.一元二次方程x2+(2a-1)x+a2=0的一根比1大，另一根比一1小，则实数a的取值范围是.8,已知方程7x2(

11、m+13)x+m2-m-2=0(m为实数)有两个实数根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上，则m的取值范围是.9,若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是.10.方程x22ax+4=0的两根均大于1,则实数a的取值范围是.11,已知关于x的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0,探究a为何值时，(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1;(3)方程的一根大于1,一根小于1.淘出优秀的你12f(x)x22bxc(b,cR).若f(x)wcW解集为x|1<1求实数b,c的值;(2)若f(x)满足f(1)=0,且关

12、于x的方程f(x)+x+b=0的两个实数根分别在区间(3,2),(0,1)内，求实数b的取值范围.淘出优秀的你切淘说参考答案1. A：2012(x2)2=2013,.(x-2)2=2013>12012，-x-2<1或x2>1,，x<1或x>3,，该方程的两个根一个小于1,一个大于3.22. A设f(x)=3x-5x+a,根据函数图象可知ff(-2)>0f(0)v0f(1)<0if(3)>0r12+10+a>0a<03-5+a<0L27-15+a>0解此不等式组可得aC(12,0),即实数a的取值范围是(-12,0).故选A

13、.3. A由题意x1x2<0,x1+x2<0,A>0,由根与系数的关系x1x2=2m_1,x+x2=一吗,m+3m+3因此可知参数的范围选A.4. (一0°,一3)解析设f(x)=x2+(2m1)x+42m,其图象开口向上，由题意，得f(2)<0,即22+(2m1)>2+42m<0,解得m<-3.5. (-10)36. 11,+8)解析依题意得2(m1)4<0，2m+3丁>0，A=4(m1)216(2m+3)>Q2(m1)8<0,9)淘旗:淘出优秀的你,m>1,>3.即m2、m>11mw1,'

14、m>1,故m的取值范围是11,+°°).八2、7. (0,§)8. (-2,-1)U(3,4)解析设f(x)=7x2(m+13)x+m2m2,要使方程7x2(m+13)x+m2m2=0(m为实数)有两个实数根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上,f(0)>0m>2或m<1只需时(1)<0,即，一2<m<4f(2)>0m>3或m<0则m的取值范围为(2,-1)U(3,4).129. 伤，§)解析设f(x)=x2+(k2)x+2k1,2k1>0if(1)<0即43k2<0f(

15、2)>01.4k-1>0510. 2,2解析因为方程x22ax+4=0的两根均大于V2aX1+4>01,所以,2,|(2a)24X1X4>0.15解得实数a的取值范围是2,5).11. 解析(1)因为方程有一正一负两根,所以由根与系数的关系得a-1丁0IA=12a+4>0解得0vav1.即当0vav1时，方程有一正一负两根.(2)方法一：当方程两根都大于1时，函数y=ax2-2(a+1)x+a-1的大致图象如图(2)所淘出优秀的你9淘说示,12)a>0A>0所以必须满足aa+1>1af(1)>0a<060或$a+1,不等式组无解.&g

16、t;1af(1)<0所以不存在实数a,使方程的两根都大于1.方法二：设方程的两根分别为x1，X2,由方程的两根都大于1,得x1一1>0,即(X11)(X21)>0,X1X2一(x1+X2)+1>0|X1一1+X21>081+X2>2-1>0,所以a12(a+1)-+1>02(a+1)a>2a<0-d>0不等式组无解.即不论a为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1,一根小于1,函数y=aX2-2(a+1)X+a-1的大致图象如图(4)所示,所以必须满足a>0f(1)<0八a<0或,解得a>0.f(1)>0即当a>0时，方程的一个根大于1,一个根小于1.12.解析(1)依题意，X1=1