函数的单调性与曲线的凹凸性94313PPT学习教案

1、会计学1函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性943132 常用函数的麦克劳林公式352112sin( 1)()3!5!(21)!nnnxxxxxo xn 246221cos1( 1)()2!4!6!(2 )!nnnxxxxxo xn 2311ln(1)( 1)()231nnnxxxxxo xn 2(1)(1)12!(1)(1)()!nnxxxnxo xn 21()2!nxnxxexo xn第1页/共40页31( )nxf xxe 例例求求带带皮皮亚亚诺诺余余项项的的 阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式解( )xxfxexe ( )xxxfxeexe ( )2xxxfxeexe 2xx

2、exe 3xxexe ( )( )nxxfxnexe(0)0f ( )(0)nfn ()2(0)(0)()(0)(0)()2!nnnfff xffxxxO xn 012n()2(0)(0)( )(0)(0)()2!nnnfff xffxxxo xn 第2页/共40页42( )()(1)!nnxf xxxO xn 解法221()2!nxnxxexo xn已已知知 ( )xf xxe 2111()2!(1)!nxnxxexo xn 32( )()2!(1)!nxnxxf xxexxo xn 第3页/共40页5为为 的的幂幂的的多多项项式式. .(1)x 将将多多项项式式 表表示示23( )1352

3、p xxxx令令 则则 01,x ( 1)5,( 1)13,( 1)22,ppp ( )( 1)12,( 1)0(4),kppk 由由泰泰勒勒公公式式 得得, ! ! ! !232212( )513(1)(1)(1)23p xxxx 23513(1)11(1)2(1) .xxx三次多项式例例2 2解解 ( )000()( )()!knknkfxP xxxk 第4页/共40页62( )2 xf xen 求求 带带皮皮亚亚诺诺余余项项的的 阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式练习解解 2tx 令令 21()2!ntntteto tn 已已知知 2222221()2!nxnxxenxox所所以以 42221

4、()2!nnxxxo xn第5页/共40页71. 在近似计算中的应用 误差1( )(1)!nnMRxxn M 为(1)( )nfx 在包含 0 , x 的某区间上的上界.可解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxn 第6页/共40页8已知610 . 解:xe令 x = 1 , 得e1111(01)2!(1)!enn (01) 由于03,ee 欲使(1)nR3(1)!n 610 由计算可知当 n

5、= 9 时上式成立 ,因此11112!9!e 2.718281 2112!(1)!nxxnxxeexxnn 的麦克劳林公式为第7页/共40页92cos12!xx 计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解:近似公式的误差43( )cos()4!xRxx 424x 令40.00524x 解得0.588x 即当0.588x 时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .第8页/共40页10例例 3 3 计算计算 403cos2lim2xxexx . . 解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412

6、! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式第9页/共40页1111)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(例4. 证明211(0).28xxxx证:121(1)xx12x211 1(1)2! 2 2x52311 11(1)(2)(1)3! 2 22xx (01) 522311(1)2816xxxx 211(0)28xxxx第10页/共40页12e) 10(!) 1(!1!2111nen两边同乘 n !en!= 整数 +) 10(1ne假设 e 为有理数qp( p , q 为

7、正整数) ,则当 时,qn 等式左边为整数;矛盾 !证:2n 时,当故 e 为无理数 .等式右边不可能为整数.第11页/共40页1360sin(1)xxexxx例例 当当时时，的的阶阶是是多多少少? ?解221()2xxexo x33sin()3!xxxo x2323sin1()()23!xxxexxo xxo x33453222223()()23!3!2 3!3!1()()2xxxxxxxxo xo xxxo xo x 3()o x3()o x3()o x3()o x3323()23!xxxxo x333sin(1)()23!xxxexxxo xsin(1)3xexxx是是 阶阶无无穷穷小小

8、第12页/共40页140, (cos)sin , .xxabxxa b 设设 是是5 5阶阶无无穷穷小小，求求例7解利用麦克劳林公式(cos )sin sinsin22bxabxxxaxx355sin()3!5!xxxxo x 35522sin22( 2)3!5!xxxxoxsinsin22bxaxx 35355522()2( 2)3!5!23!5!xxxxbxa xo xxox 3554161()3!5!ababab xxxo x10ab 40ab 160ab13b 43a 第13页/共40页15泰勒公式的应用(2) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(1) 利用多项式逼近

9、函数 , 1( )(1)!nnMRxxn 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 P142 ),xeln(1),x sin,xcos,x(1)x ()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxn 第14页/共40页16第15页/共40页17函数的单调性1212,xxIxx当当时时( );f xI则则称称函函数数在在区区间间是是单单调调增增加加上上的的12(1) ()(),f xf x 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI12(2) ()(),f xf x 恒恒有有( );f xI则则称称函函数数在在区区间间是是单单调调减减少少上上的的)(xfy )(1xf)(2xfx

10、yoI第16页/共40页182121 ()()( )() . f xf xfxx 拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理的的公公式式 xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA1212,xxIxx当当时时21( )0,()()Ifxf xf x 若若在在 内内，则则 21( )0,()()Ifxf xf x 若若在在 内内，则则 第17页/共40页19定理.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数ba

11、xfyxfbabaxfyxfbababaxfy 说明:1.该定理的条件是充分条件而非必要条件30(0)0,(,)yxxf 例例如如，在在处处 但但它它在在上上单单调调增增加加 ( ) , ( , ).( )00( )0( ) , yf xa ba bfxfxxyf xa b 设设在在上上连连续续，在在内内可可导导且且，又又的的点点 是是孤孤立立的的那那末末函函增增数数在在上上单单调调加加 减减少少 ；定理第18页/共40页20Oxy0 xOxy0 x0( ),yf xxx在在处处不不可可导导 但但它它在在相相应应区区间间上上有有单单调调性性2( )0 ( ) . fxf x 有有时时的的点点可

12、可以以作作为为函函数数单单调调性性的的分分界界点点20(0)0,(,0)(0,)yxxf 例例如如，在在处处 它它在在上上单单调调减减少少，上上单单调调增增加加，第19页/共40页21Oxy0 x观察下面的图形, 你能得出什么结论？Oxy0 x ( ) . fx 使使得得函函数数的的导导数数不不存存在在的的点点也也可可作作为为函函数数单单调调性性的的分分界界点点结结论论综上所述, 可知: ( ) ( )0 ( ) f xfxfx 使使得得函函数数的的导导数数或或不不存存在在的的点点 . 可可以以作作为为函函数数单单调调性性的的分分界界点点第20页/共40页22(1) 确定函数定义域; 判断函数

13、单调性的方法总结: 求求出出使使得得 和和， 并并以以这这些些点点为为分分界界点点导导数数不不，将将定定存存在在义义域域分分为为若若干干 子子区区间间；的的点点(2)( )0fx 符符号号, , 确确定定 在在各各个个子子区区间间内内的的从从而而判判定定出出 在在该该区区间间上上的的单单调调性性。( )( )(3)f xfx 第21页/共40页23例1解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函函数数单单调调增增加加).,(:D又又00 xy 第22页/共40页24问题:如上例，函数

14、在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点方法:.,)()(0)(数的符号数的符号然后判断区间内导然后判断区间内导的定义区间的定义区间来划分函数来划分函数不存在的点不存在的点的根及的根及用方程用方程xfxfxf 第23页/共40页25例2解32( )29123.f xxxx确确定定函函数数的的单单调调区区间间).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加

15、；在在 1 ,(时时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2 单调增区间为，1 ,(1,2，)., 2 单调减区间为第24页/共40页268 2 . yxx讨讨论论的的单单调调性性: (, 0)(0, ) 定定义义域域282yx 222(4)xx 0 , y 令令得得122 , 2 ,xx xy y( , 2) 2 ( 2, 0) 02) , 0(2) , 2( 00例3解单调增区间为(, 2 ，( 2,0) ，)., 2 单调减区间为(0,2)，第25页/共40页2702x 时, 成立不等式s

16、in2.xx 证: 令sin2( ),xf xx ( )(0,2f x 则则在在上上连连续续(0,)2 在在上上可可导导，2cossin( )xxxfxx 2cos(tan )xxxx 1xtanx0 ( )(0,),2f x 因因此此在在内内单单调调递递减减从而sin2,(0 ,2xxx ( )()02f xf ( ),2f x 又又在在处处左左连连续续因此且证例4第26页/共40页28tan0 xx 令( )tan,xxx 则2( )1secxx 2tanx 0,(0,)2x ( )(0,),2x 在在上上递递减减从而( )(0)0 x 即tan0,(0,)2xxx 第27页/共40页29

17、例5证证明明：方方程程有有且且仅仅有有两两个个正正根根 ln1 . xxe令令 ( )ln1 ,xf xxe证:(0,).D11 ( )0fxxe xe 在在上上(0, )e11 ( )0fxxe 单单调调增增加加 ( )f x在在上上( ,)e ( )0fx 单单调调减减少少 ( )f x在在上上 曲曲线线与与轴轴至至多多有有两两个个交交点点(0,+ ) , ( ) .yf xx利用单调性判别方程根的情况第28页/共40页30)(0,(efx, ,在在上上连连续续 ( )1f e 00 lim( )limln1xxxf xxe 由由零零点点定定理理 曲曲线线与与轴轴至至少少有有一一个个交交点

18、点, ( ) .yf xx ( ,)xef 上上在在, ,连连续续 ( )1f e lim( )limln1xxxf xxeln11limxxxxex 由由零零点点定定理理 曲曲线线与与轴轴至至少少有有一一个个交交点点, ( ) .yf xx 综综上上所所述述曲曲线线与与轴轴有有且且仅仅有有两两个个交交点点, ( ) , yf xx 即即 方方程程有有且且仅仅有有两两个个正正根根 ln1 . xxe第29页/共40页31利用单调性判别方程根的情况的一般步骤:第一步( ),1,( )0iif xa binf x 求求出出函函数数的的单单调调区区间间在在每每个个单单调调区区间间上上，方方程程 至至

19、多多有有一一个个根根。第二步,)iiiia ba b考考察察每每个个区区间间端端点点处处函函数数值值是是否否异异号号，利利用用零零点点定定理理判判定定在在( (内内是是否否有有根根。第三步得得出出方方程程在在定定义义域域内内是是否否有有根根或或根根的的个个数数第30页/共40页32 (3) .nnxnn证证明明：是是单单调调减减少少的的数数列列1 ( ), 3, ) ,xf xxx 令令121ln( )xxfxxx 3 ,x 当当时时( )0 ,fx ( )3, ),f x 故故在在上上单单调调减减少少: , (3) . nxn由由此此可可得得利用函数处理数列例6证第31页/共40页33观察以

20、下曲线各曲线有什么不同?OxyAB.三、曲线的凹凸性弯曲方向不同第32页/共40页34问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC凸凹第33页/共40页35凸xP :PQ弦弦线线的的方方程程211121()()()() f xf xyf xxxxx 弦弦 :x点点的的坐坐标标12(1) , (0, 1)xxx :曲曲线线位位于于弦弦线线上上方方( )f xy 弦弦1212(1)( )(1) () fxxf xf x即即OxyabQ( )yf x 2x1x第34页/共40页36凹xaPOxybQ( )yf x 1x2x :PQ弦弦线线的的方方程程211121()()()() f xf xyf xxxxx 弦弦 :x点点的的坐坐标标12(1) , (0, 1)xxx :曲曲线线位位于于弦弦线线下下方方( )f xy 弦弦1212(1)( )(1) () fxxf xf x即