线性控制理论第5章线性系统的综合设计

1、第第5章章 状态反馈和状态观测器状态反馈和状态观测器知识要点： 串联解耦和反馈解耦的可解耦性条件，解耦控制的设计方法步骤； 理解分离定理，分别独立设计矩阵K 和L ，以构成状态反馈的闭环控制系统。 利用状态反馈任意配置系统的极点; 利用输出到反馈任意配置观测器的极点； 目 录5.1 线性反馈控制系统的基本结构5.2 系统的极点配置5.4 状态观测器的设计5.5 带状态观测器的闭环控制系统5.6 利用MATLAB实现系统的状态反馈 和状态观测器 小结习题 5.1 线性反馈控制系统的基本结构 无论是在经典控制理论中，还是在现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式。 经典控制理论是用传递函数来描述

2、系统的，因此，只能从输出引出信号作为反馈量。 现代控制理论使用系统内部的状态来描述系统，所以除了可以从输出引进反馈信号外，还可以从系统的状态引出信号作为反馈量以实现状态反馈。 采用状态反馈不但可以实现闭环系统的极点任意配置，而且它也是实现系统解耦和构成线性最优调节器的主要手段。 5.1.1 状态反馈 状态反馈就是将系统的状态向量通过线性反馈阵反馈到输入端，与参考输入向量进行比较，然后产生控制作用，形成闭环控制系统。 状态反馈系统框图如图5-1所示。图5-1多输入多输出系统的状态反馈结图 图5-1中被控系统 的状态空间表达式为 0CB,A,uDxCyuBxAx （5-1） 式中， n维状态向量，

3、 r维输入向量， m维输出向量， nn矩阵， nr矩阵， mn矩阵， mr矩阵。 xuyBCDA状态反馈控制律为 xruK （5-2） 式中, r维参考输入向量， rn状态反馈矩阵。对于单输入系统， 1n行矩阵。 rKK 把式（5-2）代入式（5-1）中整理后，可得状态反馈闭环系统的状态空间表达式为 DrxDKCyBrxBKAx)()(（5-3） 若 ，则 0DCxyBrxBKAx)(（5-4） 简记为 KCBBKA,),( 经过状态反馈后，系统的传递函数阵为 BssK1)()(BKAICG由此可见，经过状态反馈后: 输入矩阵B B和输出矩阵 没有变化，仅仅是系统矩阵 发生了变化，变成了 ；

4、状态反馈阵 的引入，没有引入新的状态变量，也不增加系统的维数，但通过 的选择可以有条件自由改变系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。 BCABKA KK图5-2多输入多输出系统的输出反馈结构图 5.1.2 输出反馈 输出反馈就是将系统的输出向量通过线性反馈阵反馈到输入端，与参考输入向量进行比较，然后产生控制作用，形成闭环控制系统。 图5-2中被控系统 的状态空间表达式为0,CBAuDxCyuBxAx （5-5） 式中， n维状态向量， r维输入向量， m维输出向量， nn矩阵， nr矩阵， mn矩阵， mr矩阵。 uyBCADx输出反馈控制律为 yHru （5-6） 式中, r维参考输入向

5、量， rm输出反馈矩阵。把式（5-5）的输出方程代入式（5-6）中整理后，得 rH xHCrHDIu1 再将上式代入（5-5），可得输出反馈闭环系统的状态空间表达式为 rHDIDxHCHDIDCyrHDIBxHCHDIBAx1111（5-7） 若， 则 0DxCyrBxBHCAx （5-8） 简记为HCBBHCA,经过输出反馈后，系统的传递函数为 BBHCAICG1)(ssH若原被控系统的传递函数阵为 BAICG10)(ss则 和 有如下关系 )(0sG)(sHG100)()()(sssHHGIGG由此可见，经过输出反馈后: 输入矩阵B和输出矩阵C没有变化，仅仅是系统矩阵 变成了 ； 闭环系统

6、同样没有引入新的状态变量，也不增加系统的维数。 由于系统输出所包含的信息不是系统的全部信息，即mA=-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1;b=1;1;1;rc=rank(ctrb(A,b);p=-1,-2,-3;K=acker(A,b,p)结果显示K= -1 2 45.6.2 5.6.2 状态观测器的设计状态观测器的设计对于系统xCyuBxAx (5-73) 若系统完全能观测，则可构造状态观测器。式(5-59)为状态观测器的方程，式(5-63)为反馈阵L L的计算公式。 在MATLAB设计中，利用对偶原理，可使设计问题大为简化，求解过程如下：首先构造系统式(5-73)的对偶系统zBwnCz

7、AzTTT (5-74) 然后，对偶系统按极点配置求状态反馈阵K K K=acker(A AT,C CT,P P)或 K=place(A AT,C CT,P P)原系统的状态观测器的反馈阵L，为其对偶系统的状态反馈阵K的转置。即 TKL 其中，P P为给定的极点，L L为状态观测器的反馈阵。例例5-135-13 已知开环系统uyxAxbcx其中 0100001,0 ,10061161 Abc设计全维状态观测器，使观测器的闭环极点为， ， -5。322j解解 为求出状态观测器的反馈阵L L，先为原系统构造一对偶系统。zBwnCzAzTTT 采用极点配置方法对对偶系统进行闭环极点的配置，得到反馈阵

8、K K，再由对偶原理得到原系统的状态观测器的反馈阵L L。 MATLAB程序为%Example5_13.mA=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0;disp(The Rank of Obstrabilaty Matrix)r0=rank(obsv(A,C)A1=A;b1=C;C1=b;P=-2+2*sqrt(3)*j -2-2*sqrt(3)*j -5;K=acker(A1,b1,P);L=K 执行后得The Rank of Obstrabilaty Matrixr0 = 3L = 3.0000 7.0000 -1.0000 由于rankr0=3，所以系统

9、能观测，因此可设计全维状态观测器。 5.6.3 5.6.3 带状态观测器的系统极点配置带状态观测器的系统极点配置 状态观测器解决了受控系统的状态重构问题，为那些状态变量不能直接量测的系统实现状态反馈创造了条件。设能控能观测的被控系统为 xCyuBxAx （5-80） 状态反馈控制律为xKru（5-81） 状态观测器方程为yLBuxLCAx)(（5-82） 由以上三式可得闭环系统的状态空间表达式为xCyrBxBKLCAxLCxrBxBKxAx)( （5-83） 根据分离原理，系统的状态反馈阵K和观测器反馈阵L可分别设计。 例例5-155-15 已知开环系统 xxx011006 .2010yu设计

10、状态反馈使闭环极点为 -1.8j2.4，设计状态观测器使其闭环极点为-8,-8。 解解 状态反馈和状态观测器的设计分开进行。在设计之前，应先判别系统的能控性和能观测性，MATLAB的程序为%Example5_15.mA=0 1; 20.6 0;b=0;1;C=1 0;% Check Contrillability and Observablitydisp (The rank of Controllability Matrix)rc=rank (ctrb(A,b)disp (The rank of Observability Matrix)ro=rank(obsv(A,C)%Design RegulatorP=-1.8+2.4*j -1.8-2.4*j;K=acker(A,b,P)%Design State ObserverA1=A