函数的极限newPPT学习教案

1、会计学1函数的极限函数的极限new21( ).f xxx 观察当时的变化趋势1. 1. 自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限一、函数极限的定义oxyxy1第1页/共27页31( )0.xf xx，观察发现当 无限增大时无限接近于：问题问题: : 如何用数学语言描述这一观察结果?1( )0.xf xx 当时，分析( )0 xf x 数学上：当充分大时，可任意小;( )0f xx换言之，要使充分小，只要充分大即可.0( )0f xx ，。等价于：要使只要充分大即可办到x多大就能办到？第2页/共27页411( )0=f xxx11( )0.f xxx，欲使只需就行了，即，1X，于

2、是，取( )0.xXf x则当时，恒有1( )0 xf xx ，当时0( )01.()XxXf x ，当时恒有可取为x这样就回答了上面的提问“ 多大就能办到？”.通过上述分析，我们得到：第3页/共27页X定言义语（） :( )f xA ，00X ，总， 使得xX当时，恒有( )Af xx ，则称常数叫做当时的极限lim( )xf xA记作( )()f xA x 或,A如果存在常数 ( ).f xx设当大于某一正数时有定义第4页/共27页6oxyxy1 X X0( )0()XXxX ，可找唯当不一到时，( )(,)f xAA.的值就落在内( )( ),f xAAf xA几何解释几何解释: :第5

3、页/共27页7(1) x 情形:00( ).XxXf xA ， 当时 恒有(2) x 情形:Axfx )(lim00( ).XxXf xA ，当时，恒有其它两种情形其它两种情形: :lim( )lim( )lim( ).xxxf xAf xAf xA定 且理:第6页/共27页833533lim.22xxx例1 证明证证: :0,133,X （ ）取xX则当时，恒有33533,22xx要使333353353222xxxx13333xx，即，()只要得证.2sinlim0.xxx练证明习第7页/共27页92. 2. 自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限( )21.f xxx观察

4、当时的变化趋势oxy122yx第8页/共27页10( )20.xf x ，数学上：当 充分接近1时( )2xf x 换言之，当 充分接近1时，可任意小.x 究竟 充分接近1到什么程度？1( )22.xf xx，当时无限接观察发近于现：问题问题: :如何用数学语言来描述这个观察结果?1( )2.xf xx，当时分析 0( )2f xx ，.等价于：要使只要 充分接近1时即可办到第9页/共27页112001( )2.xf x (，)当时恒可有取为( )22221f xxx( )2112f xxx，.要使只要2即2，于是，取1).0(2xf x则当时，恒有 1( )=22xf xx当时，x 究竟 充

5、分接近1到什这样就回答么程度了提问？“”.通过上述分析，我们得到：第10页/共27页(-定义 语言）0( ).f xx设 在 的某去心邻域内有定义0 ，000 xx，当时( ).f xA恒有0( )Af xxx，则称 叫做 当的极限0lim( )xxf xA记作0( )()f xAxx或当10A，如果存在常数 第11页/共27页0( )f xx；（1）函数的极限与在点有无定义无关（2） 与有关；( )f xA，（3）用来刻划和 接近的程度0 xx用来刻划 与接近的程度；000 xxxxx)；( 既从 的左侧趋近，又从 （4）的方式是的右侧任意的 趋近 注释注释: :第12页/共27页几何意义几

6、何意义: :,)()(AxfAAxf)(00000 xxxxxxx定义可叙述为：00, ，(无论多么小)总000(,) (),xxxxx当( )(,).f xAA有)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo0(,)( )2.ox U xyf xyA，当时的图形完全落在以直线为中心线宽为的带形区域内第13页/共27页15. 211lim21xxx证明例2证证211)(2 xxAxf, 0,只要取时,当10 x1 x， Axf)(要使,2112xx就有. 211lim21xxx第14页/共27页16.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf, 0取时,当00 xx,0 xx就有不取负值.且只要x

7、xxx00.lim,0000 xxxxx时当:证明3例, 0要证,00时当xx,0 xx有第15页/共27页17左极限左极限.)(0000Axfxxx恒有时,使当，右极限右极限.)(0000Axfxxx恒有时,使当，00lim( )().xxf xAf xA记作或.)()(lim00AxfAxfxx或记作语言：:语言2 2、单侧极、单侧极限限 第16页/共27页18000()()( )f xf xf xx。（1）如果及有一个不存在，或者即 使存在但不相等，则在点无极限之一.极限是否存在较好方法（2）左右极限是判别000lim( )()().xxf xAf xf xA定理:注释注释: :第17页

8、/共27页19的存在性.讨论设4例)(lim0,10,00, 1)(0 xfxxxxxxfx解：)(lim0 xfx) 1(lim0 xx)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1，)0()0( ff显然，.)(lim0不存在xfx第18页/共27页20).(lim1,210,)(12xfxxxxxfx讨论5例解)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx1, )1 ()1 (ff. 1)(lim1xfx即，第19页/共27页21时的极限。当讨论6例22)(xxxf解：)(lim2xfx2lim2xx，不存在)(lim2xfx.)(lim2不存在xfx第20页/共

9、27页220lim( )xxf x定理 1 若存在，则此极（唯一性）限唯一.二、函数极限的性质证明：反证法.)(lim)(lim00babxfaxfxxxx，且，假设.2ab取，axfxx)(lim0因为，2)(abaxf) 1 ()(2baxf从而，时当故存在1010 xx，bxfxx)(lim0同理，因为，2)(abbxf)2()(2baxf从而，时当故存在2020 xx,min21取但(1)与(2)矛盾，故假设不成立 !.(1)与(2)皆成立时当，00 xx证毕！第21页/共27页2300lim( )000( ).xxf xAMxxf xM，和，定理 2 若则存在（局部有界性）常数当时，有则定理2得证.记时，当则所以取因为证明：，AMAAAxfxfAxfxxAxfxx11)()(1)(001)(lim00第22页/共27页2400lim( )0 (0),0(, )( )0( )0).xxf xAAAxU xf xf x，定理 3 若且或则当（局）时(或部保号性,)(lim. 00AxfAxx因为证明：不妨设,02A取所以，时，有当),(00 xUx，022)(2)(AAAxfAAxf0A ，如果如何证明？第23页/共27页25.2)(),(0,0)(lim00AxfxUxAxfxx有时当则若3定理，00( )0 ( )0)lim( )0 (0).xx