高考数学总复习第四节　简单的三角恒等变换

1、必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 第四章第四章 三角函数与解三角形三角函数与解三角形第四节第四节简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换必备知识 整合 关键能力 突破 学习要求学习要求:能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 必备知识 整合 1.公式的常见变形(1)1+cos

2、= 2cos2 ;1-cos = 2sin2 .22必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 (2)1+sin =;1-sin =.(3)tan=.2sincos222sincos222sin1cos1cossin必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 2.辅助角公式辅助角公式asin x+bcos x=sin(x+)(为辅助角),其中sin = ,cos = .22ab22bab22aab必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链

3、接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 知识拓展知识拓展和、差及倍角公式的关系 必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)y=3sin x+4cos x的最大值是7.()(2)在非直角三角形ABC中,有tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.()(3)设3,且|cos |=,那么sin的值为.()(4)公式asin x+bcos x=sin(x+)中,的取值与a,b的值无关.()5215215

4、522ab必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 2.(2020安徽毛坦厂中学4月联考)=()A.2 B. C. D.1cos23cos672sin6832D3.(2020福建厦门模拟)在平面直角坐标系xOy中,以Ox为始边作角与角,它们的终边关于x轴对称.若cos =,则cos(-)=()A. B.C.- D.-1134 297979C必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 4.(2020江苏,8,5分)已知sin2=,则si

5、n 2的值是 .42313必备知识 整合 关键能力 突破 考点一三角函数式的化简与求值考点一三角函数式的化简与求值关键能力 突破 1.(2019课标理,10,5分)已知,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A. B. C. D. 0,21555332 55B必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析 ,cos 0,2sin =cos ,tan =,sin =.故选B.0,21255必备知识 整合 关键能力 突破 2.化简:= cos 2x .42212cos2cos22tansin44xxxx12必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析原式=cos 2x.22212cos(cos1)2

6、2tansin44xxxx21cos 22sin1cos 212cos2sin21cosxxxxxx2221cos 22cossinxxx12必备知识 整合 关键能力 突破 3.已知0,则=-cos .(1sincos ) sincos2222cos解析解析原式=cos=.222sincos2cossin222224cos2cos222sincos22cos2coscos2cos2因为0,所以00,所以原式=-cos .222必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 必备知识 整合 关键能力 突破 2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角

7、化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中,“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,而根号中含有三角函数式时,一般需要升次.必备知识 整合 关键能力 突破 考点二三角函数式的求值问题考点二三角函数式的求值问题角度一给角求值角度一给角求值典例典例1(1)cos 20cos 40cos(-460)=- .(2)= .18sin1013tan1014必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)cos 20cos 40cos(-460)=cos 20cos 40cos 100=-cos 20cos 40cos 80=-=-=-=-=-=-.sin20cos20cos40cos80sin201sin40

8、cos40cos802sin201sin80cos804sin201sin1608sin201sin208sin2018必备知识 整合 关键能力 突破 (2)=.sin1013tan10sin10 cos10cos103sin102sin10 cos10134cos10sin1022sin204sin(3010 )14必备知识 整合 关键能力 突破 典例典例2(1)(2020福建厦门第一中学模拟)若sin=,A,则sin A的值为()A. B. C.或 D.(2)(2020甘肃静宁第一中学模拟)若sin=,则sin=()A. B. C. D. 4A7 210,43545354534633266

9、32 233313BD角度二给值求值角度二给值求值必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)A,A+,cos0,且(0,),00,02.tan =-0,(0,),11271112713222tan1tan212311334217必备知识 整合 关键能力 突破 ,-2-0.tan(2-)=1,2-=-.2tan2tan1tan2 tan31473114734必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评三角函数式求值的规律方法1.“给角求值”问题:给出的角一般是非特殊角,要观察所给角与特殊角的关系,利用三角恒等变换转化为求特殊角的三角函数值问题.2.“给值求值”问题:给出某些角的三角函数值

10、,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,使相关角相同或具有某种关系.必备知识 整合 关键能力 突破 3.“给值求角”问题:实质是转化为“给值求值”问题,即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围).在选取函数时,遵循以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,则选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,),则选余弦函数;若角的范围是,则选正弦函数.0,2,2 2 必备知识 整合 关键能力 突破 1.(2020浙江温州新力量联盟联考)已知,都是锐角,sin =,cos(+)=,则sin = .455131665必备知识 整合

11、关键能力 突破 解析解析,都是锐角,+(0,),又sin =,cos(+)=,cos =,sin(+)=,则sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin =-=.45513351213121335513451665必备知识 整合 关键能力 突破 2.计算:=2 .2cos102 3cos( 100 )1 sin102解析解析 =2cos102 3cos( 100 )1 sin102cos102 3sin101 sin10134cos10sin102212sin5 cos54cos50cos5sin5必备知识 整合 关键能力 突破 =4cos50222cos5sin522=

12、2.4cos502cos502必备知识 整合 关键能力 突破 3.(2020河南六市联考)已知cos =,cos(-)=,若0,则= .17131423解析解析由cos =,0,得sin =.由0,得0-,又cos(-)=,17221 cos 21174 37221314必备知识 整合 关键能力 突破 sin(-)=.cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)21 cos ()2131143 314=+=.,=.1713144 373 314120,23必备知识 整合 关键能力 突破 考点三考点三 三角恒等变换与三角函数的综合应用三角恒等变换与三角函数的综合应用典例典

13、例4已知函数f(x)=sin+cos.(1)求函数f(x)在区间上的最值;(2)若cos =,求f的值.244x644x3,42453,2223必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)由题意得f(x)=sin+cos=sin+cos=-sin.因为x,所以x-,所以sin,244x644x22124x324x22712x3,4271211,312712x3,12必备知识 整合 关键能力 突破 所以-sin,即函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.(2)因为cos =,所以sin =-,所以sin 2=2sin cos =-,cos 2=cos2-sin2=-=,所以f=-sin=-

14、sin22712x26,243,426422453,2235242516259257252322723122224必备知识 整合 关键能力 突破 =-(sin 2-cos 2)=(cos 2-sin 2)=.12121272425253150必备知识 整合 关键能力 突破 名师点评名师点评三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换(变角、变函数名称、变结构)时,注意公式的逆用和变形使用.(2)把形如y=asin x+bcos x的式子化为y=sin(x+)的形式时,可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.22ab必备知识 整合 关键能力 突破 (2020湖南长沙雅礼中学模拟)已知函数f(x)=2sinsin,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期,并写出函数f(x)的单调递增区间;(2)已知x0,且f(x0)=+,求f的值.2x3x,6 2 453206x必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)f(x)=2cos xsin x+cos x=sin 2x+cos 2x+=