高考数学总复习专项突破三　数列在高考中的热点问题

1、必备知识 整合 栏目多的在上面加，做超链接，且各个栏目居中放；只有“考点”的书，只上”考点一“这种简化标题 关键能力 突破 第六章第六章 数列数列专项专项突破三数列在高考中的热点问题突破三数列在高考中的热点问题必备知识 整合 关键能力 突破 从近几年高考情况来看,高考对数列部分内容的考查主要有:以客观题的形式考查等差、等比数列的运算和性质,试题多为中档或中档偏下难度的题目;等差、等比数列的通项与求和问题;非等差、等比数列的通项与求和问题,一般涉及分组转化法、裂项相消法与错位相减法等;与函数、不等式等综合考查.备考本部分内容重点在于熟练掌握等差、等比数列的基本知识与运算,同时有针对性地掌握几种特

2、殊数列求和的方法.值得注意的是,在数列这部分还有可能出现开放性试题这种新题型,解决这类问题需要更加注意思维的灵活性与严谨性.必备知识 整合 关键能力 突破 题型一与数列有关的开放性问题题型一与数列有关的开放性问题典例典例1 (2020山东威海高三二模)从条件2Sn=(n+1)an,+=an(n2),an0,+an=2Sn中任选一个,补充到下面的问题中,并解答.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,.若a1,ak,Sk+2成等比数列,求k的值.nS1nS2na必备知识 整合 关键能力 突破 答题规范答题过程第一步:阅读三个条件:2Sn=(n+1)an, +=an(n2),an0,+an=2Sn

3、,从中选择一个最熟悉,和自己的思维点最接近的条件;第二步:与条件a1=1,a1,ak,Sk+2成等比数列相结合,综合考虑解题方法;第三步:求出数列an的通项公式an,得6分;解析解析若选择,因为2Sn=(n+1)an,nN*,所以2Sn+1=(n+2)an+1,nN*,两式相减得2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an,整理得nan+1=(n+1)an,即=,nN*.所以为常数列.又=1,所以an=n.所以ak=k,Sk+2=,又a1,ak,Sk+2成等比数列,所以(k+2)(k+3)=2k2,所以k2-5k-6=0,解得k=6或k=-1,又kN*,所以k=6.若选择,由+=an(n2)

4、变形得,+=Sn-Sn-1(n2),所以+=(+)(-)(n2),易知Sn0,所以-=1,所以是公差为1的等差数列,又=1,所以=n,所以Sn=n2,所以an=Sn-Sn-1=2n-1(n2),又n=1时,a1=1满足上式,nSn 1S2na11nannannan11a(2)(12)2kk(2)(3)2kknS1nSnS1nSnS1nSnS1nSnS1nSnS1nSnS1S1anS必备知识 整合 关键能力 突破 第四步:求出Sk+2,得2分;第五步:根据条件a1,ak,Sk+2成等比数列列出方程,得2分;第六步:解上述步骤得到的方程,求出k的值,得2分所以an=2n-1.因为Sk+2=(k+2

5、)2且a1,ak,Sk+2成等比数列,所以(k+2)2=(2k-1)2,解得k=3或k=-,又kN*,所以k=3.若选择,因为+an=2Sn(nN*),所以+an-1=2Sn-1(n2),两式相减得-+an-an-1=2Sn-2Sn-1=2an(n2),整理得(an-an-1)(an+an-1)=an+an-1(n2),因为an0,所以an-an-1=1(n2),所以an是首项为1,公差为1的等差数列,所以an=1+(n-1)1=n,Sk+2=,又a1,ak,Sk+2成等比数列,所以(k+2)(k+3)=2k2,解得k=6或k=-1,又kN*,所以k=6.nan132na21na2na21na

6、(2)(12)2kk(2)(3)2kk必备知识 整合 关键能力 突破 方法归纳方法归纳解决数列的开放性问题要快速选择其中一个条件进行解答,千万不要在选择条件上左右徘徊,事实上,选择任何一个条件的难度一般是相当的.必备知识 整合 关键能力 突破 在a2=,a8=;a1=8,S130,S140,当n9时,an0,a70.S14=7(a7+a8)0,a7+a80.132121132282132172188()2aa151822211313()2aa11414()2aa7814()2aa必备知识 整合 关键能力 突破 a80,可知an的前7项的和最大,但仅知道a1=8,数列an是一个递减数列,无法求出

7、Sn的最大值.若选择条件,a1=20,S10=S15,a11+a12+a13+a14+a15=5a13=0,a13=0,an为递减数列.又a1=20,an的前12项或前13项的和最大,最大值为S12=S13=130.11313()2aa13 202必备知识 整合 关键能力 突破 题型二与数列有关的不等式恒成立问题题型二与数列有关的不等式恒成立问题典例典例2若Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,S2=4.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,Tn是数列bn的前n项和,求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.13nna a20m必备知识 整合 关键能力

8、 突破 答题规范答题过程第一步:用数列an的首项a1和公差d(d0)表示S1,S2,S4,得2分;第二步:根据S1,S2,S4成等比数列列出方程,得到a1与d的关系,得2分;第三步:根据S2=4求出a1与d,写出an的通项公式,得2分;第四步:根据bn的结构特点将bn裂为两项,得2分;第五步:求数列bn的前n项和Tn及其取值范围,得2分;第六步:根据Tn的取值范围列出不等式,解不等式得出m的最小值,得2分解析解析(1)设an的公差为d(d0),则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d.因为S1,S2,S4成等比数列,所以a1(4a1+6d)=(2a1+d)2.所以2a1d=d2.因为

9、d0,所以d=2a1.又因为S2=4,所以a1=1,d=2,所以an=2n-1.(2)因为bn=,所以Tn=1-+-+-=.要使Tn对所有nN*都成立,则有,即m30.因为mN*,所以m的最小值为30.nn 13a a3(2n1)(2n1)32112n12112n132112n132m2020m32必备知识 整合 关键能力 突破 方法归纳方法归纳与数列有关的不等式恒成立问题一般转化为数列的求和问题,解决此类问题的关键有两个:(1)求有关数列的通项,这是解决问题的基础所在;(2)求数列的和,并且利用和的表达式中自然数n的取值范围与相关函数的单调性求得和的取值范围或最值,

10、根据这个取值范围或最值求出参数的取值范围或最值.必备知识 整合 关键能力 突破 已知数列an的前n项和为Sn,若2Sn=3an-a1,且a1-3a2+a3=3.(1)求数列an的通项公式;(2)记数列的前n项和为Tn,求使得Tn成立的n的最大值.1na492985必备知识 整合 关键能力 突破 解析解析(1)由2Sn=3an-a1,有2Sn-1=3an-1-a1(n2),两式相减得2an=3an-3an-1(n2),即an=3an-1(n2),所以a3=3a2,因为a1-3a2+a3=3,所以a1=3,所以数列an是以3为首项,3为公比的等比数列,其通项公式为an=3n.(2)由(1)得,=,

11、所以Tn=+=,因为Tn,所以1-,即3n985,又因为nN*,所以1n6,所以使得不等式成立的n的最大值为6.1na13n1321313n11133113n12113n49298513n984985必备知识 整合 关键能力 突破 题型三与数列有关的不等式的证明问题题型三与数列有关的不等式的证明问题典例典例3(2020天津,19,15分)已知an为等差数列,bn为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).(1)求an和bn的通项公式;(2)记an的前n项和为Sn,求证:SnSn+2(nN*);(3)对任意的正整数n,设cn=求数列cn的前2n项和.21nS211

12、(32),.nnnnnnabna aanb为奇数为偶数必备知识 整合 关键能力 突破 答题规范答题过程第一步:根据已知条件列出方程,并求得an和bn的通项公式,得3分;第二步:求数列an的前n项和Sn,进而得SnSn+2,得2分;第三步:利用作差法证明不等式SnSn+2,得2分;解析解析(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由a1=1,a5=5(a4-a3),可得d=1,从而an的通项公式为an=n.由b1=1,b5=4(b4-b3),又q0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,从而bn的通项公式为bn=2n-1.(2)证明:由(1)可得Sn=,故SnSn+2=n(n+1)(n+2)(n+