复数知识点归纳

1、z a bi得共轭复数记作z a bi，且zza2 b2【知识梳理】、复数得基本概念1虚数单位得性质2 2i叫做虚数单位，并规定： i可与实数进行四则运算； i 1 ；这样方程X1就有解了,解为X i或X i2、复数得概念(1)定义：形如a bi (a, b R)得数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做,b叫做全体复数所成得集合 C叫做复数集。复数通常用字母 z表示，即 z a bi (a, b R)罷鐋鍇爺诰鈀邝。对于复数得定义要注意以下几点:bi表示b与虚数单位i相乘z a bi (a, b R)被称为复数得代数形式，其中复数得实部与虚部都就是实数，否则不就是代数形式例题：当实数(2) 分

2、类:满足条件(a, b为实数)复数得分类a + bi为实数？ b= 0a + bi为虚数？ bM 0a+ bi为纯虚数？ a = 0且b丰0m为何值时，复数(m 5m 6) (m2 3m)i就是实数？虚数？纯虚数?二、复数相等a bi c di a c,b d(a,b,c,d R)也就就是说，两个复数相等，充要条件就是她们得实部与虚部分别相等 注意：只有两个复数全就是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知(X y 3) (X 4)i0求x, y得值三、共轭复数a bi 与 c di 共轭 a c, b d(a,b, c, d R)四、复数得几何意义1复平面得概念建立直角坐标系来表示复

3、数得平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上得点都表示实数；除了原点外，虚轴上得点都表示纯虚数。猎赣榿县釵呛槠。2、复数得几何意义复数z a bi与复平面内得点Z(a,b)及平面向量OZ (a,b) (a,b R)就是一一对应关系(复数得实质就是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点,也可以表示一个平面向量)畝卧夾駐黾娴繰。相等得向量表示同一个复数例题：(1)当实数m为何值时，复平面内表示复数z (m2 8m 15)(m2 5m 14)i 得点位于第三象限；位于直线y x上(2)复平面内AB (2,6)，已知CD/ AB，求CD对应得复数3、复数得模:向量0Z得模叫做复数z a

4、 bi得模，记作z或a bi，表示点(a,b)到原点得距离，即a biJa2b2 ,若 z1 a bi , z2c di，则z1 z2表示(a,b)到(c, d)得距离，即乙Z2V(a c)2 (b d)2例题：已知z 2i，求i得值五、复数得运算(1)运算法则：设Z1 = a+ bi,Z2 = c+ di, a, b, c, d R Wz2a bic di (ac) (b d)i z1 z2(a bi)(c di) (ac bd) (bc ad)i z1 (a bi) (a bi)(c di) (ac bd) (be ad)i Z2 (c di) (c di) (c di)21X.41, i

5、3 i, i41求in，只需将n除以4瞧余数就是几就就是i得几次(2)几何意义：复数加减法可按向量得平行四边形或三角形法则进行、如图给出得平行四边形 OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法得几何意义，即oZ= OZ1+ Oz2, z1z2= OZ2oN、鋯飩這規溅紆鄒。六、常用结论例题：i675(2) (1 i)22i(1i)22i，(2【思考辨析】判断下面结论就是否正确(请在括号中打或“X”(1)方程X2+x+ 1 = 0没有解、( (2)复数 z= a + bi(a, b R)中，虚部为 bi、(3) 复数中有相等复数得概念，因此复数可以比较大小、(4) 原点就是实轴与虚轴得交点、( (5

6、)复数得模实质上就就是复平面内复数对应得点到原点得距离，也就就是复数对应得向量得模、【考点自测】1、(2015安徽)设i就是虚数单位，则复数(1 i)(1 + 2i)等于()A、3+ 3iB、一 1+ 3iC、3+ iD、一 1 + i2、(2015课标全国I )已知复数z满足(Z 1)i = 1+ i，则z等于()B、一 2 + i3、在复平面内,复数6+ 5i, 2+ 3i对应得点分别为 A, B、若C为线段AB得中点，则点C对应得复数就是()纡洶懌掙鸠劲閿。A、4+&B、8+ 2iC、2+ 4i4、已知a, b R, i就是虚数单位、若a+ i = 2-bi，则(a + bi)2等于()

7、A、3-4iB、3+ 4iC、4- 3iD、4+ 3i5、已知(1 + 2i) z = 4+ 3i,则z=【题型分析】题型一复数得概念例1(1)设i就是虚数单位、10若复数Z= a ;(a R)就是纯虚数，则 a得值为(3 iA、一 3B、一 1C、1解题时一定要先瞧复数就是否为a+ bi(a, b R)得形式，以确定实部与虚部、已知a R，复数Z1 = 2+ ai, Z2= 1 2i，若：为纯虚数，则复数Z1得虚部为()與赞秆恼飩縟镰。(3)若 Z1= (m2 + m+ 1) + (m2 + m 4)i(m R), Z2= 3 2i，则m= 1 ” 就是Z1 = Z2” 得()佥桢臚篮鮫芻訶

8、。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件引申探究1、对本例(1)中得复数Z,若园=10，求a得值、 2、在本例中，若Z1为实数，则a = 思维升华解决复数概念问题得方法及注意事项只需把复数化(1)复数得分类及对应点得位置都可以转化为复数得实部与虚部应该满足得条件问题,为代数形式，列出实部与虚部满足得方程(不等式)组即可、尋鄆隴鴉篓絛骘。（1）若复数z=（X2 1）+ （x- 1）i为纯虚数，贝y实数x得值为（）A、一 1B、 0 C、 1D、一 1 或 1算加减，有括号要先算括号里面得、陇钲锱俩鋟氲鈔。（2014浙江）已知i就是虚数单位，a, b R，则“ a

9、= b= 1 ”就是“（a+ bi）2= 2i”得（）仅馱慮鲸綜夠羅。A、充分不必要条件必要不充分条件C、充分必要条件既不充分也不必要条件题型二复数得运算命题点1复数得乘法运算例2（1）（2015湖北）i为虚数单位,i607得共轭复数为（）B、一 iD、一 1（2015北京）复数i（2 - i）等于（A、 1 + 2iB、1-2i1 + 2iD、一 1-2i命题点2复数得除法运算例3（1）（2015湖南）已知 z=1 + i（i为虚数单位），则复数z等于（）胧铱画颛愛呓晖。B、1 iC、一 1 + iD、一 1 i、槳壟摆櫞曉铒觶。1 + i6/2 + V3i（2）（T+）6+五矿命题点3复数

10、得运算与复数概念得综合问题例4 (1)(2015天津)i就是虚数单位，若复数(1- 2i)(a + i)就是纯虚数，则实数 a得值为 来蹒蝦内鱘噴驸。(2014江苏)已知复数z= (5 + 2i)2(i为虚数单位)，则z得实部为命题点4复数得综合运算例5 (1)(2014安徽)设i就是虚数单位，z表示复数z得共轭复数、若z= 1 + ),则彳+ i N等于()叹鎣縐伦燈赐龜。A、一 2B、一 2iC、2D、2i(2)若复数A、一 4C、4D、4爍僂鍍鳳勵覿競。5思维升华复数代数形式运算问题得常见类型及解题策略(1)复数得乘法、复数得乘法类似于多项式得四则运算，可将含有虚数单位i得瞧作一类同类项

11、，不含i得瞧作另一类同类项，分别合并即可、齡錯铸载宫务鐐。(2)复数得除法、除法得关键就是分子分母同乘以分母得共轭复数，解题中要注意把i得幕写成最简形式、(3)复数得运算与复数概念得综合题，先利用复数得运算法则化简,再结合相关定义解答、婭餞憐毂质蟶瀆。般化为a+ bi(a, b R)得形式,(4)复数得运算与复数几何意义得综合题、先利用复数得运算法则化简，一般化为a + bi(a, b R)得形式，再结合复数得几何意义解答、炜锵磯闫聾装荧。(5)复数得综合运算、分别运用复数得乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后z满足(3 - 4i)z=|4 + 3i|,则z得虚部为()Z（1

12、）（2015山东）若复数Z满足 一=i，其中i为虚1 i数单位，则 Z等于（）卢驷疇颛攪閑珑。C、一 1 iD、一 1 + i出2 016=、狰隽喲鸨睜塋舆。（3）誅+咅2心、桤膿剑騸鳶躚溃。题型三复数得几何意义例6 （1）（2014重庆）实部为2，虚部为1得复数所对应得点位于复平面得（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限（2） ABC得三个顶点对应得复数分别为Z1 , Z2,Z3,若复数 Z 满足 |Z Z1|= |Z Z2|= |Z Z3|,贝U Z 对应得点为 ABC得（A、内心B、垂心C、重心D、外心思维升华 因为复平面内得点、向量及向量对应得复数就是一一对应得，要求某个

13、向量对应得复数闡诜钥衔訂謙坠。时，只要找出所求向量得始点与终点，或者用向量相等直接给出结论即可、(1)如图，在复平面内，点 A表示复数Z，则图中表示z得共轭复数得点就是(2)已知z就是复数，z+ 2i、C 均为实数(i为虚数单位)，且复数(Z+ ai)2在复平面内对应得点在第2 i一象限,求实数a得取值范围、讧涨植閘挾皲随。【思想与方法】解决复数问题得实数化思想 典例 已知X, y为共轭复数，且(X+ y)2 3xyi = 4- 6i，求x, y、思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数得基本形式表示出来;(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题、温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问

14、题实数化，这就是解决复数问题最基本得思想方法、(2)本题求解得关键就是先把X、y用复数得基本形式表示出来，再用待定系数法求解、这就是常用得数学方法、(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解、【方法与技巧】1、复数得代数形式得运算主要有加、减、乘、除及求低次方根、除法实际上就是分母实数化得过程、2、复数z= a+ bi(a, b R)就是由它得实部与虚部唯一确定得，两个复数相等得充要条件就是复数 问题转化为实数问题得主要方法、对于一个复数z= a+ bi(a, b R),既要从整体得角度去认识它,把复数瞧成一个整体，又要从实部、虚部得角度分解成两部分去认识、鸚

15、噴顾暧习凛疇。3、在复数得几何意义中，加法与减法对应向量得三角形法则，其方向就是应注意得问题，平移往往与加法、减法相结合、姍单飕闪粮奥顽。【失误与防范】1、判定复数就是实数，仅注重虚部等于0就是不够得，还需考虑它得实部就是否有意义、2、两个虚数不能比较大小、3、注意复数得虚部就是指在a+ bi(a, b R)中得实数b,即虚部就是一个实数、【巩固练习】1、(2015福建)若(1 + i) + (2 3i) = a+ bi(a, b R, i就是虚数单位)，贝U a, b得值分别等于()稅鎩媧斩騍鏘窥。A、3,B、3,2C、3,D、一 1,42、设1z= +则2等于()A、2B、3、(2015课

16、标全国A、1 B、04、若i为虚数单位,A、EB、F1nC、)若a为实数,C、1图中复平面内点C、GD、2釙舆麼铿檣离駟。且(2 + ai)(a 2i) = 4i，贝U a 等于()D、2Z表示复数乙则表示复数丄得点就是()棲众贐鎪鮫谮語。5、（2014 西）z就是Z得共轭复数，若Z+ Z = 2, （Z z ）i = 2（i为虚数单位），则z等于（）鍛铬萬蠶嚨鲵洒B、一1 i C、一 1 + i6、（2015 苏）设复数z满足z2= 3 + 4i（i就是虚数单位），则Z得模为7、若严=a+ bi(a,I ib为实数，i为虚数单位），则a+ b =、潴蘋药綏鳢单韬。复数（3 + i）m （2

17、+ i）对应得点在第三象限内，则实数 m得取值范围就是9、计算：（1） r 2 + 1 ； （2） 1+ 2i：+ 31 1 ； （3）彳+丰+卡+=；（勺1黑2、飞鵝礡苧紗愾請。i33210、复数Z1= a+r（10 a2）i，Z2=+ （2a 5）i，若Z1 + Z2就是实数，求实数a得值、缡伫熾缉曉戇賠。【能力提升】11、复数Z1,Z2满足 Z1= m+ (4 m2)i, Z2= 2cos 0+ ( + 3sin 圳(m,人 0 R)，并且 Z1= zz,贝U 入得取值范围就是）蔦塋忾炖績贊蝇。A、 - 1,1B、-16,1C、-16,7糸,7矶鄧炉區鉚绋長。1612、设 f(n) =1

18、 in+ 芮 n（n N*），则集合f（n）中元素得个数为（B、2C、3D、无数个、鸢鋝詎进嘱彈碼。13、已知复数z= x+ yi，且|z 2|=U3，则y得最大值为Xa 1i14、设a R若复数z= 在复平面内对应得点在直线x+ y= 0上，则a得值为1 i 2学鸟賈轧硕鐙訴。15、若1+羽i就是关于x得实系数方程X2 + bx + c= 0得一个复数根，则b = 饿媪緋膠鈳愤渊。【巩固练习参考答案】1A、2、B、3、B、4、D、5、D、6、逅7、3、8、m3、綻缱喬鏈瓏蹕飛。39、解(1) 1 + i 2+ i；33 + i=1 3i、i攢瞞癮慣籪獎黨。1 + 2i 2 + 3 1 i 3+ 4i + 3 3i i i 2 一 i 12=+ i、瞒厦呖糁到頤稟。551+ i 1 i , 1+ i 1 + i , 1 + i十= Z十1 i +(3)7 + P+1 i2= 2i 十-2i = 21、枣怅缮嵘蠼壘枣。1 V3i_+ i _片：2=西+i2 =i、漸謐潴諍衮講搗。43210、解 z1+z2=a+5十(a210)i+13；+ (2a- 5)i=32+ + (a2 10) + (2a 5)i 帻觊将脶谵a + 51 a烧荫。a 13+ (a2 + 2a 15)i、a+5 a1 Z 1 + z2就是实数，. a2 + 2a15= 0，解得 a=