教案09-21离散型随机变量及其分布续

1、教学对象管理系505-13、14、15；经济系205-1、2计划学时2授课时间2006年3月3日；星期五；12节教学内容第二章 一维随机变量及其概率分布第一节 离散型随机变量及其分布律（续）三、常见离散型随机变量的概率分布1、二点分布和二项分布2、泊松分布教学目的通过教学，使学生能够：1、掌握两点分布2、掌握贝努利概型和二项分布3、掌握泊松分布知 识：1、两点分布2、贝努利概型和二项分布3、泊松分布技能与态度1、将生活中的随机现象与随机变量的分布相联系2、会分析计算生产实际中的概率问题教学重点常见的分布教学难点贝努利概型教学资源自编软件（演示贝努利概型）教学后记培养方案或教学大纲修改意见对授课

2、进度计划修改意见对本教案的修改意见教学资源及学时调整意见其他教研室主任：系部主任：教学活动流程教学步骤、教学内容、时间分配教学目标教学方法一、复习导入新课复习内容：（5分钟）1、随机变量的概念2、分布律的概念导入新课：（2分钟）上一次我们引入了随机变量的概念，已经学会了用含有随机变量的等式或不等式来表示不同的随机事件。在实际问题中，不同的离散型随机变量拥有各自不同的分布律。但生产管理和实际生活中，有很多随机变量的分布规律是类似的，常见的分布有三类：两点分布、二项分布、泊松分布巩固所学知识，与技能引出本节要学习的主要内容提问讲解二、明确学习目标1、掌握两点分布2、掌握贝努利概型和二项分布3、掌握

3、泊松分布三、知识学习（50分钟）三、常见的离散型随机变量的分布(一)两点分布（01分布）若随机变量X的分布律为，则称X服从以p为参数的（0-1）分布。若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面，射击是否中靶，新生儿的性别，等等，它们都可以用（0-1）分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。可见，（0-1）分布是经常遇到的一种分布。例1、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一球，以X表示取出球的颜色情况，即X=，求X的分布律。解：PX=1=0.6，PX=0=0.4则X的分布律为(二)二项分布二项分布是实际中很常见的一种分布，为了对它进行研究，需要先介

4、绍一种非常重要的概率模型贝努利概型我们在实际中经常会遇到这样的情况:所考虑的试验是由一系列的子试验组成的，而这些子试验的结果是互不影响的，即子试验之间是互相独立的。例如，将一枚硬币连续抛n次，我们可以将每抛一次看成一个子试验，而每次抛硬币出现正面与反面的结果是互不影响的。而且随机现象的统计规律性是在大量的重复试验的条件下才呈现出来的，因此对某个试验独立重复地进行n次，在概率分布的研究中也有重要的作用。我们只讨论每次只有两个结果的n次独立重复试验。1、贝努利(Bernoulli)试验定义：设随机试验E只有两种可能的结果：A或，在相同的条件下将E重复进行n次，若各次试验的结果是互不影响，则称这n重

5、独立试验。它是数学家贝努利首先研究的，因此也叫n重贝努利试验，简称贝努利试验，这时讨论的问题叫贝努利概型说明：贝努利试验应同时满足以下条件：(1)在相同条件下进行n次重复试验；(2)每次试验只有两种可能结果：A发生或A不发生；(3)在每次试验中，A发生的概率均相同，即P(A)=p；(4)各次试验是相互独立的对于贝努利概型，我们主要研究在n次贝努利试验中事件A出现k次的概率。定理：在贝努利概型中，设事件A在每次试验中发生的概率为p，则在n次贝努利试验中，事件A出现k次的概率为，（k=0,1,2,n）例2：将一枚均匀的硬币抛掷3次（与3枚硬币掷一次相当），求正面出现1次的概率解：n=3，k=1，p

6、=0.5，1-p=0.5，则=0.375用古典概率解释: =正正正,正正反,正反正,正反反,反正正,反正反,反反正,反反反说明:简单问题用古典概型解决还可以,当试验次数太多时,样本点有2n个，只能用公式求解软件演示：例3：从一批由9件正品，3件次品组成的产品中，有放回地抽取5次，每次取一件，求有两次取得次品的概率解：将每一次抽取当做一次试验，设A=取到次品，有放回地抽取5次，看成是一个5重贝努利试验，n=5，两次取得次品，则有k=2，每次试验中p = P(A)=，则1-p=，因此=2、二项分布定义：若随机变量X的取值为0,1,2,n，且PX=k=，k =0,1,2,n其中0<p <

7、1，则称X服从以n，p为参数的二项分布或贝努利分布，记为XB(n，p)特例：当n=1时，二项分布即为两点分布例4(P 21)说明：二项分布的应用非常广泛，但是当重复试验的次数很多时，计算量又很大，平时解题可以不用计算，当n>5时用式子表示即可。为便于应用，可直接查阅二项分布表(P157附表6），查表结果是X取值从0到x的累计概率。即PXx。若计算X=m的概率，可用PX=m=PXmPXm1例如：PX=5=PX5PX4例5(P22)、工厂生产的螺丝次品率为0.05，每个螺丝是否为次品是相互独立的，产品出售时10个螺丝打成一包，并承诺若发现一包内多于一个次品即可退货。用X表示一包内次品的个数。

8、求（1）X的分布律；（2）工厂的退货率解：对一包内的10个螺丝逐个进行检验，相当于进行10重贝努利试验，因此XB(10,0.05)（1）X的分布律：PX=k=，（k =0,1,2,10）（2）当X>1时退货，退货率为：PX>1= 1PX1=1泊松定理（Poisson）:设>0是一常数，n是正整数。若npn=，则对任一固定的非负整数k，有。（证：P23注释）定理的条件npn=，意味着n很大时pn必定很小，由定理知，当XB(n, p)，且n很大而p很小时，有PX=k=，=np在实际计算中，当n20且p0.05时，用计算的近似值效果颇佳；当n100且np10时，效果更好。的值有表可

9、查（见书后附表P139）例6、某车间有同类型的设备300台，各台设备的工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，设一台设备的故障由一名工人维修，问至少需配备多少名维修工人，才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？解 设需配备N名工人，X为同一时刻发生故障的设备的台数，则XB(300,0.01)。所需解决的问题是确定N的最小值，使P(XN ) 0.99因=np =3，由泊松定理P(XN ) 故问题转化为求N的最小值，使0.99即查书后附表2（P140）可知，当N+19即时N 8时，上式成立。因此，为达到上述要求，至少需配备8名维修工人。类似的问题在其他领域也会遇到，如电话交换台

10、接线员的配备，机场供飞机起降的跑道数的确定等.(三)泊松分布定义：若随机变量X所有可能的取值为0,1,2,而PX=k=，其中>0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记为XP()具有泊松分布的随机变量在实际应用中是很多的。例如，在每个时段内电话交换台收到的电话的呼唤次数、某商店在一天内来到的顾客人数、在某时段内的某放射性物质发出的经过计数器的粒子数、在某时段内在车站候车的人数、单位面积上布匹的疵点数、单位时间内商店销售非紧俏商品的件数、等等，只要试验的结果为两个，且由很多因素共同作用来决定的随机变量，都可认为是服从泊松分布。泊松分布也是一种常见的重要分布。它是二项分布的极限分布，因此可用泊

11、松分布的计算公式计算二项分布。例15：每分钟经过收费站的汽车流量服从泊松分布：X P(5)，求每分钟经过该收费站的汽车不足9辆的概率。解：PX<9=1PX9=1-0.0681=0.9319掌握两点分布的概念理解贝努利概型掌握计算公式掌握二项分布的计算理解定理内容理解泊松分布的定义讲授法讲授法讲授法板书软件演示讲授法板书四、技能学习（20分钟）例1 某人独立地射击目标，每次射击的命中率为，射击200次，求目标被击中的概率。解：把每次射击看成一次试验，这是200重贝努利试验。设击中的次数为X，则XB(200,0.02)X的分布律为：PX=k=，（k =0,1,2,200）所求概率：PX1=1

12、PX=0=10.98200=0.9824说明：虽然每次的命中率很小，但当射击次数足够大时，击中目标的概率很大。这个事实告诉我们，一个事件尽管在一次实验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中，这个事件的发生几乎是必然的。也就是说，小概率事件在大量独立重复室验中是不可忽视的。当问题的规模很大时，一般n很大且p很小，无法查表。而直接计算又很麻烦，下面给出一个当n很大而p很小时的近似计算公式.例2、车间现有90台同类型的设备，各台设备的工作是相互独立的，每台发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障只能由一个人修理。配备维修工人的方法有两种，一种是由三人分开维护，每人负责30台；另一种是由3人共

13、同维护90台。分别求在两种情况下车间的设备发生故障不能及时维修的概率。解：设X为出现故障的设备台数（1）每人负责30台设，可认为是30重贝努利试验，因此XB(30,0.01)，当X>1时等待修理。=np =0.3，PX>1= PX20.0369Ai=“第个人负责的30台设备发生故障而无人修理”。可知P(Ai)=0.0369，而90台设备发生故障无人修理的事件为A1A2A3，故采用第一种方法，所求概率为P(A1A2A3)= 1- P(123)=1-(1-0.0369)3=0.1067（2）三人共同维护90台，认为是90重贝努利试验，因此XB(90,0.01)，当X>3时等待修理

14、。而所求概率为PX>3= PX40.0135因为0.0135<0.0369，显然共同负责比分块负责的维修效率提高了。因此后者的管理效益更好。由此可以看到，用概率的知识可以解决运筹学所要解决的有效运用人力、物力资源的某些问题。掌握分布律的性质教师提问引导学生写出答案五、态度养成做事认真的态度六、技能训练（16分钟）练习：一大楼有五个同类型的独立供水设备，在任意时刻每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻(1)恰好有两个设备被使用的概率P1是多少?(2)至少有三个设备被使用的概率P2是多少?(3)至多有三个设备被使用的概率P3是多少?(4)至少有一个设备被使用的概率P4是多少?解：在同一时刻观察五个设备,它们工作与否是相互独立的,故可视为5重贝努里试验，n=5，p=0.1，于是可得：(1)P1P5(2) C(0.1)2(0.9)530.0729(2)P2P5(3)+ P5(4)+ P5(5)0.00856(3)P3P5(0)+ P5(1)+ P5(2) + P5(3)0.99954(4)P41P5(0)10.950.40951X=0=没有取到次品，PX=0=X=1=取到一件次品，PX=1=X=2=取到两件次品，PX=2=X的分布律为：通过实际训练，使学生理解样本的