第3章《数据的集中趋势和离散程度》复习教案

1、教育精选第3章 数据的集中趋势和离散程度一、知识结构与回顾一组数据1、平均数、中位数、众数的概念及举例一般地对于n个数X1，Xn把（X1+X2+Xn）叫做这n个数的算术平均数，简称平均数. 如某中外合资企业要招工，测试内容为数学、语文、外语三门文化课的综合成绩，满分都为100分，且这三门课分别按25%、25%、50%的比例计入总成绩，这样计算出的成绩为数学，语文、外语成绩的加权平均数，25%、25%、50%分别是数学、语文、外语三项测试成绩的权.如果在n个数中，x1出现f1 次，x2出现f2次，x3出现f3次， x n出现fn次，（其中f1+f2+f3+fn=n），这n个数的平均数可表示为：.

2、 中位数就是把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的数（或最中间两个数据的平均数）叫这组数据的中位数.众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据.如3，2，3，5，3，4中3是众数.一组数据中的中位数是惟一的；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有.2、平均数、中位数和众数的特征 （1）平均数、中位数、众数都是表示一组数据“平均水平”的平均数. （2）平均数能充分利用数据提供的信息，在生活中较为常用，但它容易受极端数字的影响，且计算较繁.（3）中位数的优点是计算简单，受极端数字影响较小，但不能充分利用所有数字的信息. （4）众数的可靠性较差，它不受极端数据的影响，求法简便，当一组数据中个别数

3、据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”.3、算术平均数和加权平均数有什么区别和联系 算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数.4、利用计算器求一组数据的平均数当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释5、方差和标准差方差描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常先求这组数据的平均数，再求这组数据与平均数的差的平方和的平均数，用这个平均数来衡量这组数据的波动大小：设在一组数据 中，各数据与它们的平均数 的差的平方

4、分别是 ，那么我们求它们的平均数，即用 标准差有些情况下，需用到方差的算术平方根，即并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.4、利用计算器求一组数据的方差当所处理的数据较多时，手工计算的效率较低，运用计算器和计算机的方法就能迅速获得所需要的信息，将更多的时间用于对数据的讨论和对结果实际意义的解释利用计算器求一组数据的方差就能很好地解决.二、全章综合剖析平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中程度的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数运用最为广泛，应当注意平均数、中位数和众数的合理选用，避免平均数的误用.这三个量的各自特点是：平均数的大小与一组数据的每个

5、数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起相应平均数的变动，这表明平均数充分地反映了一组数据的信息.中位数的大小仅与数据的排列位置有关，当将一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，于是部分数据的变动 对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势.众数着眼于对各数据出现的频数的考察，因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频数就行了，众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势.极差、方差与标准差是用来描述一组数据的离散程度，它们是用来描

6、述一组数据的稳定性的.一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定.三、例题精讲类型之一 求平均数及应用例1 已知两组数据x1，x2，x3，xn和y1，y2，y3，yn的平均数分别为，求（1）2x1，2x2，2x32xn的平均数 （2）2x1+1，2x2+1，2x3+12xn+1的平均数（3）x1+y1，x2+y2，x3+y3xn+yn的平均数.分析:化单纯的知识记忆为理解记忆. （1）的平均数为2;（2）的平均数为2+1; （3）的平均数为+.例2 一家公司对A、B、C三名应聘者进行了创新、综合知识和语言三项素质测试，他们的成绩如下表所示： 测试成绩测试项目674588语言7

7、07450综合知识678572创新CBA （1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，你选谁？（2）根据实际需要，广告公司给出了选人标准：将创新、综合知识和语言三项测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩.你选谁？ 解：（1）A的平均成绩为70分.B的平均成绩为68分.C的平均成绩为68分. 由70>68，故A将被录用.（2）根据题意， A的成绩为65.75分.B的成绩为75.875分.C的成绩为68.125分. 因此候选人B将被录用.说明：当条件变化时，应注意平均数的不同求法.类型之二 求中位数与众数例3 在第29届奥林匹克运动会上，青岛姑娘张娟娟为中国代表团夺得了历史上首枚奥运

8、会射箭金牌，为祖国争得了荣誉下表记录了她在备战奥运会期间的一次训练成绩（单位：环）：序号123456789101112成绩9910981010987109根据表中的数据可得：张娟娟这次训练成绩的中位数是 环，众数是 环说明:考查众数、中位数概念.注意有时众数可能不止一个，也可能没有.求中位数时要排序. 答案:9，9类型之三 中位数与众数的实际应用例4 某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，下图是根据这组数据绘制的统计图，图中从左到右各长方形高度之比为34582，又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人（1）他们一共抽查了多少人？捐款数不

9、少于20元的概率是多少？（2）这组数据的众数、中位数各是多少？（3）若该校共有2310名学生，请估算全校学生共捐款多少元？图1解：（1）设捐15元的人数为5x，则根据题意捐20元的人数为8x5x8x39，x3一共调查了3x4x5x8x2x66（人）捐款数不少于20元的概率是（2）由（1）可知，这组数据的众数是20（元），中位数是15（元）（3）全校共捐款（9×512×1015×1524×206×30）÷66×231036750（元） 说明:方程思想是数学的基本思想之一,数型结合是我们解决问题的手段.例5 为了普及环保知识，增

10、强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛，这些选手的决赛成绩（满分为100分）如下表所示：决赛成绩（单位：分）初一年级80 86 88 80 88 99 80 74 91 89 初二年级85 85 87 97 85 76 88 77 87 88初三年级82 80 78 78 81 96 97 88 89 86（1）请你填写下表：平均分众数中位数初一年级85.587初二年级85.585初三年级84（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析： 从众数和平均数相结合看（分析哪个年级成绩好些）； 从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级

11、成绩好些）.（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，你认为哪个年级的实力更强些？并说明理由.分析: 由所给的信息求出一组数据的平均数、中位数、众数；并结合具体的情境理解平均数、中位数和众数的区别与联系；并能根据具体问题，选择合适的统计量表示数据的集中程度，对日常生活中的有关问题与现象做出一定的评判.解：（1）年级平均数众数中位数初一年级85.58087初二年级85.58586初三年级85.57884（2）平均数都相同，初二年级的众数最高，初二年级的成绩好一些； 平均数都相同，初一年级的中位数最高，初一年级的成绩好一些.（3）初一、初二、初三各年级前三名学生决赛成绩的平均分分

12、别是93分、91分、94分，从各年级参加决赛的选手中分别选出3人参加总决赛，初三年级的实力更强一些.类型之四 极差、方差或标准差的实际应用例6 某农科所在8个试验点，对甲、乙两种玉米进行对比试验，这两种玉米在各试验点的亩产量如下（单位：千克）甲：450 460 450 430 450 460 440 460乙：440 470 460 440 430 450 470 440在这个试验点甲、乙两种玉米哪一种产量比较稳定？剖析：我们可以算极差.甲种玉米极差为460430=30千克；乙种玉米极差为470430=40千克.所以甲种玉米较稳定.还可以用方差来比较哪一种玉米稳定.s甲2=100，s乙2=20

13、0.图2次数环数321078910s甲2s乙2，所以甲种玉米的产量较稳定.四、中考链接1、（乌鲁木齐）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图2所示，这组数据的众数与中位数分别为（ ）A9与8B8与9C8与8.5D8.5与9答案C2、（烟台市）某校初一年级有六个班，一次测试后，分别求得各个班级学生成绩的平均数，它们不完全相同，下列说法正确的是（ ）A全年级学生的平均成绩一定在这六个平均成绩的最小值与最大值之间B将六个平均成绩之和除以6，就得到全年级学生的平均成绩C这六个平均成绩的中位数就是全年级学生的平均成绩D这六个平均成绩的众数不可能是全年级学生的平均成绩答案 A3、(南充)已知一组数据2

14、，1，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是（ ）A2B2.5C3D5答案 B图144、（甘肃省白银市）某校八年级320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考试成绩都以同一标准划分成“不及格”、“及格”和“优秀”三个等级为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生培训前后两次考试成绩的等级，并绘制成如图14的统计图，试结合图形信息回答下列问题：(1) 这32名学生培训前后考试成绩的中位数所在的等级分别是 、 ；（2）估计该校整个八年级学生中，培训后考试成绩的等级为“及格”与“优秀”的学生共有多少名？提示:（1）不及格，及格； （2）抽到的考生培训后的及格与优秀率

15、为（16+8）÷32=75%， 由此，可以估计八年级320名学生培训后的及格与优秀率为75% 所以，八年级320名学生培训后的及格与优秀人数为75%×320=240 5、（遂宁）“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”在今年的慈善一日捐活动中，济南市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图根据右图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）A20、20 B30、20C30、30 D20、30答案 C4天3天2天7天6天5天30%15%10%5%15%a6050403020102天3天4天5天6天7天时间人数6、（烟台

16、市）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出扇形统计图中的值，并求出该校初一学生总数；（2）分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，并补全频数分布直方图；（3）求出扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数；（4）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？（5）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”的大约有多少人？提示： （1）a=25% 初一学生总数：200（人）（2）活动时间为5天

17、的学生数：50（人）活动时间为7天的学生数：10（人）频数分布直方图（略）（3）活动时间为4天的扇形所对的圆心角是1080 （4）众数是4天，中位数是4天 （5）该市活动时间不少于4天的人数约是4500（人）7、为了考察某班普通话测试情况，从中抽查了10人的成绩如下（单位：分）：87，90，98，74，89，90，85，80，90，93（1）这个问题中，总体、个体、样本各是什么？（2）这个问题中，样本平均数、方差、标准差各是多少并估计总体平均数、方差、标准差？（平均数精确到1分，标准差保留三个有效数字）分析：（1）利用总体是所要考查对象的全体，个体是总体中每一个考查对象，样本是从总体中抽取的部分个体，即可得到答案；（2）利用样本平均数、方差、标准差估计总体即可解答：（1）总体是某班普通话测试成绩，个体是某班每个学生的普通话成绩，样本是抽查的10人的普