相似三角形知识点及典型例题.

1、相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（ 1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。（ 2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似。（ 3）判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。（ 4）判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。（ 5）判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例

2、，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。（ 6）判定直角三角形相似的方法：以上各种判定均适用。如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图， RtABC中， BAC=90°，AD是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：（ 1）（ AD） 2=BD· DC，（ 2 ）（ AB） 2=BD· BC ，（ 3）

3、（ AC） 2=CD· BC 。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即（ AB） 2+（ AC） 2=（ BC） 2。典型例题：例 1如图，已知等腰ABC 中， AB AC ， AD BC 于 D ， CG AB ， BG 分别交 AD ，AC 于 E、 F，求证： BE 2EF·EG证明：如图，连结EC， AB AC，AD BC ， ABC ACB ， AD 垂直平分BC BEEC， 1 2， ABC- 1 ACB- 2，即 34，又 CGAB， G3， 4 GCEEF又 CEG CEF ， CEF GEC ， EG = CE EC2 EG· EF ，故 EB

4、 2=EF ·EG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明而其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段 BE ， EF， EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。FBFD例 2已知：如图， AD 是 Rt ABC 斜 BC 上的高， E 是 AC 的中点， ED 与 AB 的延长线相交于F，求证： BA = AC证法一：如图，在Rt ABC 中， BAC Rt ， AD BC ， 3 C，又 E 是 Rt ADC 的斜边 AC 上的中点，1ED=2 ACEC，

5、 2 C，又 1 2， 1 3，FBBD DFB AFD ， DFB AFD ，FD AD（ 1 ）BDBA又AD是 Rt ABC的斜边BC上的高，Rt ABD Rt CAD，AD=AC（ 2 ）FBBAFBFD由（ 1 ）（ 2 ）两式得FD=AC，故BA=ACFBFD证法二：过点A 作E 是 AC 的中点，AG EF 交 CBEDAC ， D延长线于点G，则是 GC 的中点，又BA = AG（1）AD GC， AD 是线段GC的垂直平分线，AG AC（ 2 ）FBFD由（ 1 ）（ 2 ）两式得：BA = AC ，证毕。【解题技巧点拨】BD本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的

6、比例式，然后通过中间比“AD ”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证一、如何证明三角形相似例 1、如图：点 G 在平行四边形ABCD 的边 DC 的延长线上 ,AG 交 BC 、BD 于点 E、F，则 AGD 。AAD例 2、已知 ABC 中， AB=AC ， A=36 °， BD 是角平分线，42求证： ABC BCDFB3CDE 1GBC例 3：已知，如图，D 为 ABC 内一点连结ED 、 AD ，以 BC 为边在 ABC 外作 CBE= ABD ， BCE= BAD求证： DBE ABC例

7、4、矩形 ABCD 中， BC=3AB ，E、 F，是 BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、 AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。ADBEFC二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例 5、 ABC 中，在 AC 上截取 AD ，在 CB 延长线上截取BE ，使 AD=BE ，求证： DFAC=BCFEAFDEKCB例 6：已知：如图，在ABC 中， BAC=90 0， M 是 BC 的中点， DM BC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D 。2D求证：（ 1） MA 2=MD ME；（ 2） AEMEAD 2MDA1E2BMC例 7 ：如图 ABC 中， AD 为

8、中线， CF 为任一直线， CF 交 AD 于 E，交 AB 于 F，求证： AE： ED=2AF：FB 。三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例 8 ：已知：如图 E、F 分别是正方形ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且 EBAF1 。求证： AEF= FBDABAD3AFDGEBC例 9、在平行四边形ABCD 内， AR 、 BR 、 CP、 DP 各为四角的平分线，求证： SQAB ， RP BCDCRSQPAB例 10、已知 A 、 C、E 和 B、 F、 D 分别是 O 的两边上的点，且AB ED， BC FE，求证： AF CDECAOBFD例 11、直角三

9、角形 ABC 中， ACB=90 °， BCDE 是正方形， AE 交 BC 于 F， FG AC 交 AB 于 G，求证： FC=FGDCFEAGB例 12、RtABC 锐角 C 的平分线交 AB 于 E，交斜边上的高AD 于 O，过 O 引 BC 的平行线交 AB 于 F，求证： AE=BFAE1FO23BDC课后作业一、填空题1.已知：在 ABC 中， P 是 AB 上一点，连结 CP，当满足条件 ACP=或 APC=或 AC2=时， ACP ABC 2.两个相似三角形周长之比为4 9 ，面积之和为 291 ，则面积分别是。3.如图， DEFG 是 Rt ABC 的内接正方形，

10、若 CF 8 ， DG 42 ，则 BE。4如图，直角梯形 ABCD中， AD BC，AD CD ，AC AB ，已知 AD 4，BC 9，则 AC。5 ABC 中， AB 15 ， AC 9 ，点 D 是 AC 上的点，且 AD=3， E 在 AB 上， ADE 与ABC 相似，则 AE 的长等于。6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD ，则 BDC 的度数为。7. ABC 中，AB AC ， A 36 °，BC 1，BD 平分 ABC 交于 D ，则 BD ，AD ，设 AB x, 则关于 x 的方程是.8 如图，已知D 是等边 ABC 的 BC 边上一点，把 ABC 向下折叠

11、，折痕为MN ，使点 A 落在点 D 处，若 BD DC2 3，则 AM MN=。二、选择题9. 如图，在正 ABC 中， D 、 E 分别在 AC 、 AB 上，且 AD1 ，AE=BE ，则有（）AC3A AED BEDB AED CBDC AED ABDD BAD BCD10 如图，在 ABC 中， D 为 AC 边上一点， DBC A， BC=6 ， AC 3 ，则 CD 的长为（）A.13C.25B.D.2211 如图， ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点， AG 与 BD交于点 E，与 DC 交于点 F，则图中相似三角形共有 （）A3 对B4 对C5 对D6 对12 P 是

12、Rt ABC 的斜边 BC 上异于 B 、C 的一点，过点 P 作直线截 ABC ，使截得的三角形与 ABC 相似，满足这样条件的直线共有（）A1 条B.2 条C3 条D4 条13 如图，在直角梯形ABCD 中， AB 7 ， AD 2 ， BC=3 ，若在 AB 上取一点 P，使以 P、 A、 D 为顶点的三角形和以 P、 B 、C 为顶点的三角形相似，这样的P 点有（）A1 个B2 个C3 个D4 个三、解答下列各题14. 如图，长方形ABCD 中， AB=5 ， BC 10 ，点 P 从 A 点出发，沿 AB 作匀速运动， 1 分钟可以到达 B 点，点 Q从 B 点出发，沿BC 作匀速直

13、线运动， 1 分钟可到 C 点，现在点 P 点 Q 同时分别从 A 点、 B 点出发，经过多少时间，线段 PQ 恰与线段BD 垂直？15 已知：如图，正方形DEFG 内接于 Rt ABC ，EF 在斜边 BC 上， EH AB 于 H 求证：（ 1 ）ADG HED ；（ 2） EF2 BE·FC（答案）例 1 分析： 关键在找“角相等” ，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角。 本例除公共角 G 外,由 BC AD 可得 1= 2，所以 AGD EGC。再 1= 2（对顶角），由 AB DG 可得 4=G，所以 EGC

14、EAB 。例 2 分析： 证明相似三角形应先找相等的角，显然 C 是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得。借助于计算也是一种常用的方法。证明： A=36 °， ABC 是等腰三角形， ABC= C=72 °又 BD 平分 ABC ，则 DBC=36 °在 ABC 和 BCD 中， C 为公共角， A= DBC=36 ° ABC BCD例 3 分析： 由已知条件 ABD= CBE ， DBC 公用。所以 DBE= ABC ，要证的 DBE 和 ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件

15、中可看到CBE ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决。证明：在 CBE 和 ABD 中，CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BC = BE 即：BC = ABABBDBEBD DBE 和 ABC 中， CBE= ABD, DBC 公用 CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC 且BC = AB DBE ABCBEBD例 4 分析： 本题要找出相似三角形，那么如何寻找相似三角形呢？下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（ 1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形AEDADEABCBCBCDE(2)如图：其中 1=2，则 ADE AB

16、C 称为“相交线型”的相似三角形。AAD1E4EE1AD1 D2C22BCBCB(3)如图： 1= 2， B= D ，则 ADE ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，及EAF 与 ECA解：设 AB=a ，则 BE=EF=FC=3a ，由勾股定理可求得AE= 2a ， 在 EAF 与 ECA 中， AEF 为公共角， 且 AEEC2 所以 EAF ECAEFAE例 5分析 ：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF：FE=BC ：AC ，再利用相似三角形或平行线性质进行证明：证明：过 D 点作 DKAB，交 BC 于 K，

17、A DK AB ， DF： FE=BK ： BED2又 AD=BE ， DF： FE=BK ： AD ，而 BK ：AD=BC ： AC1即 DF： FE= BC ： AC ， DFAC=BCFE例 6证明： （ 1 ） BAC=900， M 是 BC 的中点， MA=MC ， 1= C，E DM BC， C= D=90 0- B， 1= D， 2= 2 ， MAE MDA ， MAME ， MA2 =MDME ，BCMDMAAEMAAEMEAE 2MAMEME（ 2 ） MAE MDA ，ADMDMAMDADMDMAAD 2评注： 命题 1 如图，如果 1= 2 ，那么 ABD ACB ，A

18、B 2=ADAC 。命题 2 如图，如果 AB 2 =ADAC ，那么 ABD ACB ， 1= 2 。例 7分析：图中没有现成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考虑作平行线构造相似形。怎样作？观察要证明的结论，紧紧扣住结论中“AE ： ED ”的特征，作 DG BA 交 CF 于 G ，得 AEF DEG ， AEAF 。与结论 AE2 AFAF1FB 。DEDG相比较，显然问题转化为证 DGEDFB12BF2证明： 过 D 点作 DG AB 交 FC 于 G 则 AEF DEG 。（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似）AEAF（1）DEDG D

19、 为 BC 的中点，且 DG BF G 为 FC 的中点则 DG 为 CBF 的中位线， DG1 BF （2 ）将（ 2 ）代入（ 1）得：2AEAF2AFDE1FBBF2例 8 分析： 要证角相等，一般来说可通过全等三角形、相似三角形，等边对等角等方法来实现，本题要证的两个角分别在两个三角形中，可考虑用相似三角形来证，但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似（一个在直角三角形中，另一个在斜三角形中），所以证明本题的关键是构造相似三角形，证明： 作 FG BD ，垂足为 G。设 AB=AD=3k则 BE=AF=k ， AE=DF=2k ， BD= 32k ADB=450 ， FGD=900 D

20、FG=450 DG=FG=DF2k BG= 32k2k 2 2k AFFG12AEBG2又 A= FGB=90 0 AEF GBF AEF= FBD例 9分析：要证明两线平行较多采用平行线的判定定理，但本例不具备这样的条件，故可考虑用比例线段去证明。利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标，选择适当的比例线段。 要证明 SQ AB ，只需证明 AR：AS=BR ：DS。证明：在 ADS 和 ARB 中。 DAR= RAB=1 DAB ， DCP= PCB=1 ABC ADS ABRARBR2ARBR2ASDS但 ADS CBQ ， DS=BQ ，则AS， SQ AB ，同理可证， RPBCBQ例 10 分析：要证明AF CD ，已知条件中有平行的条件，因而有好多的比例线段可供利用，这就要进行正确的选择。其实要证明 AF CD ，只要证明 OAOF 即可，因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。OCOD证明： AB ED， BC FE OAOB，OEOF 两式相乘可得：OAOFOEODOCOBOCOD例 11 分析：要证明 FC=FG ，从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等，但存在较多的平行线的条件，因而可用比例线段来证明。要证明 FC=FG ，首先要找出与 FC、 FG 相关的比例线段，图中与 FC、 FG 相关的比例式较多，则应选择与